Ableitung von Vektorprodukt -> Produktregel?



  • nAbend!

    Ich wollt nur mal kurz fragen, ob das so richtig ist:

    d(A x 😎 / dt = ((dA/dt) x 😎 + ((dB/dt) x A)

    Kann man auf ein Kreuzprodukt, das man ableiten will, also einfach die Produktregel anwenden?
    Wenn ja, dann ist mir die Herleitung momentan nicht ganz klar. Ist vermutlich nicht so schwer, aber ich durchseh die Geschichte gerade nicht. Kann da mal bitte jemand n Tipp geben?



  • Du darfst die Reihenfolge hier nicht vertauschen, also so wäre es richtig:

    d(A x 😎 / dt = ((dA/dt) x 😎 + (A x (dB/dt))



  • Äh, ja, stimmt. Hast du natürlich Recht. War eine kleine Unachtsamkeit. Aber ich schließe aus der Antwort jetzt schonmal, dass es prinzipiell richtig ist. Jetzt nur noch die Frage: wie erklärt man das kurz und knapp?



  • Hmm, ich würde es einfach ausformulieren und dann umstellen. Kürzer könntest du es vielleicht über (a×b)_i=ϵ_ijka_jb_k(\vec a \times \vec b)\_i = \epsilon\_{ijk}a\_jb\_k machen 😕



  • Nicht besonders hübsch, aber ich zeigs mal für die erste Komponente. Die anderen Komponenten entsprechend:

    ((AxB)_1)=(a_2b_3a_3b_2)=a_2b_3+a_2b_3a_3b2a_3b_2=a_2b_3a_3b_2+a_2b_3a_3b_2((A x B)\_1)' = (a\_2 b\_3 - a\_3 b\_2)' = a\_2' b\_3 + a\_2 b\_3' - a\_3' b2 - a\_3 b\_2' = a\_2' b\_3 - a\_3' b\_2 + a\_2 b\_3' - a\_3' b\_2 =((AxB)+(AxB))1= ((A' x 😎 + (A x B'))_1



  • So könntest du es dann mit der anderen Schreibweise machen:
    (ddt(a×b))_i=ddt(ϵ_ijka_jb_k)=ϵijkddta_jb_k+ϵijka_jddtb_k=(ddta×b+a×ddtb)i(\frac d {dt}(\vec a \times \vec b))\_i = \frac d {dt}( \epsilon\_{ijk}a\_jb\_k) = \epsilon_{ijk}\frac d {dt} a\_j b\_k + \epsilon_{ijk} a\_j \frac d {dt} b\_k = (\frac d {dt} \vec a \times \vec b+ \vec a \times \frac d {dt}\vec b)_i



  • Alles klar. Besten Dank! 👍



  • Da man mit den Ableitungen etwas aufpassen sollte, wäre KLammerung besser. Außerdem kann man das mit den einzelnen Komponnten wie folgt zusammenfassen:

    $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt}(\vec a \times \vec b) &=& \frac{d}{dt}(\sum_{i,j,k}\epsilon_{ijk}a\_jb\_k \vec{e_i}) \\ &=& \sum_{i,j,k}\epsilon_{ijk} \frac{d}{dt}(a\_j b\_k)\vec{e_i} \\ &=& \sum_{i,j,k}\epsilon_{ijk} ((\frac{d}{dt}a\_j) b\_k + a\_j (\frac{d}{dt}b\_k))\vec{e_i} \\ &=& \frac{d\vec{a}}{dt}\times \vec{b} + \vec{a} \times \frac{d\vec{b}}{dt} \end{eqnarray*}$

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