Beweis von linearer Unabhängigkeit

Ixtana

Folgende Aufgabe wurde mir gestellt: Betrachten sie $\mathbb{R}$ als $\mathbb{Q}$ Vektorraum und zeigen sie $sqrt(2) , sqrt(3), sqrt(5)$ sind linear unabhängig.

Mein Lösungsansatz war bis jetzt:
Ich habe folgende Gleichung aufgestellt: z\*sqrt(2)=x\*sqrt(3) + y*sqrt(5) diese hab ich dann umgeformt in $\frac{z}{xy} - \frac{3x} {2y} + \frac{3y}{2x} = sqrt(15)$ . Ich hatte mir jetzt gedacht ich beweise es, indem ich sage, dass $\frac{z}{xy} - \frac{3x} {2y} + \frac{3y}{2x}$ alles rationale Zahlen sind und demzufolge keine irrationale Zahl ( $sqrt(15)$ )ergeben können und demzufolge $sqrt(2) , sqrt(3), sqrt(5)$ linear unabhängig sind. Würde sowas als Lösung reichen, kann man das evtl besser oder anders machen oder ist das falsch?

Idee richtig, musst aber noch schauen, dass in deinem Ausdruck nicht durch 0 dividiert wird (Fallunterscheidung, aber wenn eines oder zwei 0 sind, wird es noch einfacher).

scrub

hui, noch ein ersti aus kassel.

ist es zu einfach gedacht, eine wurzel aus linearkombinationen der anderen darzustellen und zu zeigen, daß es keine reellen koeefizienten gibt? mein kumpel hatte da vorhin einen ähnlich komplizierten ansatz wie du...

Ixtana

Was studiert denn dein Kumpel? Lehramt?

Jester

scrub schrieb:

hui, noch ein ersti aus kassel.

ist es zu einfach gedacht, eine wurzel aus linearkombinationen der anderen darzustellen und zu zeigen, daß es keine reellen koeefizienten gibt?

Du meinst sicher keine rationalen Koeffizienten. Reelle gibt's natürlich.

Nein, das funktioniert nicht unbedingt:

linear unabhängig bedeutet: a1*x1+...+an*xn=0 => a1 = ... = an = 0.
Das kann man zwar Umformen zu -a1*x1 = a2*x2+...+an*xn.
Um jetzt auf die Form x1 = ... zu kommen muß Du durch -a1 teilen. Dazu muß aber a1!=0 sein. Das heißt diesen Fall müßte man nochmal gesondert betrachten.

scrub

Ixtana schrieb:

Was studiert denn dein Kumpel? Lehramt?

so genau weiß ich das nicht, anscheinend gibts an der UniKASSELversität nur lauter miteinander verkuppelte studiengänge. auf jeden fall sitzt er in den "computational mathematics"-dingern mit drin. sollte dir ein wohlbeleibter und bebrillter türkischstämmiger mitbürger auffallen, dann ist er es wahrscheinlich.

edit: sagmal, indiskret bist du ja gar nicht? mann, das war eben eine sprengung übers ICQ...

Jester schrieb:

scrub schrieb:

ist es zu einfach gedacht, eine wurzel aus linearkombinationen der anderen darzustellen und zu zeigen, daß es keine reellen koeefizienten gibt?

Du meinst sicher keine rationalen Koeffizienten. Reelle gibt's natürlich.

ja, ohne diese vorgabe wäre der beweis sicher trivial- aber beim versuch, während des chats mit ihm herauszufinden, ob das vorgegeben ist, bin ich nicht hartnäckig genug gewesen.