ne ungleichung mit 2 Variablen

ness

gegeben ist (kann kein latex):

a > b > 0
a,b e R

Die frage ist: für welche a,b ist die ungleichung

a + b
----- > a * b
a - b

erfüllt?
Vereinfachen kann ich:

a + b
----- > a * b
a - b

a + b > ab(a - b)
a + b > ba^2 - ab^2
a + b + ab^2 > ba^2

a + b + ab^2 > a
------------
   ba

1/b + 1/a + b > a
b + 1/b > a - 1/a

Aber dann weiß ich nicht mehr weiter.

scrub

du mußt mehrmals rechnen, da du nicht weißt, ob a - b oder a + b > 0 oder < 0 ist. wenn du mit negativen zahlen multiplizierst, mußt du das < bzw. > ändern.
deine obige rechnung gilt also unter der voraussetzung, daß a - b > 0 ist.

CStoll

scrub schrieb:

deine obige rechnung gilt also unter der voraussetzung, daß a - b > 0 ist.

Hast du dir mal die Vorbedingung der Ungleichung angesehen? aus a>b>0 folgt a-b>0 und a+b>0.

@ness:
a+b+a²b > ab²
-> a²b+a(1-b²)+b > 0

Jetzt kannst du die quadratische Gleichung a²b+a(1-b²)+b=0 nach a auflösen, anschließend benötigst du eventuell eine kompliziertere Fallunterscheidung.

ness

CStoll: danke, aber quadratische gleichungen hatten wir noch nicht (das müsste ich mir also erst ansehen)

Ich hab so weitergemacht:
da a>b>0 kann ich a auch als b+x mit x>0 schreiben.
Dann komm ich zu

b + 1/b > b + x - 1/(b + x)
1/b > x - 1/(b + x)
1 > bx - b/(b + x)
1 - bx > -b/(b + x)
b + x - b²x - bx² > -b
2b + x - bx² > b²x

2b + x - bx²
------------ > b
    bx

2/x + 1/b - x > b
2/x - x > b - 1/b

Wenn ich mir die beiden seiten der Ungleichung als separate funktionen vorstelle, ist die Ungleichung dort erfüllt, wo die funktion der linken seite höher als die funktion der rechten seite ist. Und die beiden kann ich einfach gleichsetzen, was dann die grenze ist?

f(x) = 2/x - x
g(x) = x - 1/x

f(x) = g(x)
2/x - x = x - 1/x
3/x = 2x
3 = 2x²
1.5 = x²
x = sqrt(1.5)

Aber was sagt mir das? Dass sqrt(1.5) > b > 0, sqrt(1.5) > x > 0 und daher a - b < sqrt(1.5)? Aber die Ungleichung ist doch z.B. für a = 1.5 und b = 0.1 erfüllt?

CStoll

du kannst in deiner Ungleichung nicht einfach x=b setzen, das sind immer noch zwei unabhängige Variablen.

ness

richtig, wusste daran ist irgend was komisch.
hab noch mal anders weiter gemacht:

b + 1/b > a - 1/a
b + 1/b > b + x - 1/(b + x)
1/b > x - 1/(b + x)
1/b + 1/(x + b) > x

In der ursprünglichen aufgabe war gegeben a,b e N. Nun zeige ich erst, dass die ungleichung für b=x=1 erfüllt ist. Dann argumentiere ich das, wenn b>1 1/b<=1/2 und 1/(x+b)<1/2, also 1/b+1/(x+b)<1, x aber per definition >=1 -> keine weiteren lösungen. Trotzdem, aus interesse: wie löse ich die quadratische gleichung auf, die du mir gegeben hast?

a²b + a(1 - b²) + b = 0
a = ?

ness

hab mich mal ein bischen schlau gemacht, komm aber nicht weiter

a²b + a(1 - b²) + b = 0

        1 - b²         (1 - b²)² - 4b²
a_1 = - ------ + sqrt(----------------)
         2b                4b²

        1 - b²         (1 - b²)² - 4b²
a_2 = - ------ - sqrt(----------------)
        2b                4b²

          1 - b²          1 - 2b² + b^4 - 4b²      1 - b²          1 - 6b² + b^4
a_1/2 = - ------ +- sqrt(--------------------) = - ------ +- sqrt(--------------)
          2b                 4b²                    2b                   4b²