Wahrscheinlichkeitsrechnung

Hallo zusammen,

ich hab mal ne Beispielaufgabe zur Wahrscheinlichkeitsrechnung:

Es wird so lange gewürfelt, bis entweder die 1 und 2
2 mal öfter (Möglichkeit a) oder der Rest 2 mal öfter gekommen ist (Möglichkeit b).
(Nicht doppelt so oft)

(a) --- (a2) --- (s) --- (b2) --- (b)

(s) Start
Dann wird gewürfelt.
1 oder 2: nach links
3 - 6: nach rechts

Ende ist, wenn a oder b erreicht.
Die Wahrscheinlichkeit, dass er bei a endet ist 1/5 nach Computersimulation,
aber wie berechnet man das mathematisch?

Gruß,
Frank

Bloops

Ich würde da mal spontan an Markow-Ketten denken...

DocJunioR

also zuallererst mal kannst du davon ausgehen, daß die Wahrscheinlichkeit, daß eine bestimmte Zahl beim Würfeln kommt 1:5.

Daß die gleiche Zahl 2 Mal hintereinander kommt ist 1/5 * 1/5 = 1/25.

Letztendlich addierst du entweder die Wahrscheinlichkeiten, daß 1 oder 2 kommen oder eben den anderen Fall, daß alle anderen Zahlen kommen.
Mehr kann ich grade nicht sagen, weil mir die Aufgabenstellung zu unverständlich ist. Ein Beispiel wäre günstig.

dooya

Oder als Diffusionsmodell (Spezialfall der Markov-Kette).

% Matrix mit übergangswahrscheinlichkeiten:

%    (a) (a2)(s)(b2) (b) 
a = [ 1   0   0   0   0 ;  % (a)
      2/6 0   4/6 0   0 ;  % (a2) 
      0   2/6 0   4/6 0 ;  % (s)
      0   0   2/6 0   4/6; % (b2)
      0   0   0   0   1]   % (b)

% Startvektor

%    (a) (a2)(s)(b2) (b)
s =  [0   0   1   0   0]

'Nach einem Wurf:'
 s * a

'Nach zwei Würfen:'
 s * a^2

'Nach 60 Würfen:'
s * a^60

Matlab gibt aus:

ans =

Nach einem Wurf:

ans = 

   0    0.3333         0    0.6667         0

ans =

Nach zwei Würfen:

ans = 

    0.1111         0    0.4444         0    0.4444

ans = 

Nach 60 Würfen:

ans = 

    0.2000         0    0.0000         0    0.8000

Man endet also tatsächlich mit p = 0.2 bei (a).

Taurin

DocJunioR schrieb:

also zuallererst mal kannst du davon ausgehen, daß die Wahrscheinlichkeit, daß eine bestimmte Zahl beim Würfeln kommt 1:5.

Daß die gleiche Zahl 2 Mal hintereinander kommt ist 1/5 * 1/5 = 1/25.

Letztendlich addierst du entweder die Wahrscheinlichkeiten, daß 1 oder 2 kommen oder eben den anderen Fall, daß alle anderen Zahlen kommen.
Mehr kann ich grade nicht sagen, weil mir die Aufgabenstellung zu unverständlich ist. Ein Beispiel wäre günstig.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimtme Zahl gewürfelt wird, ist "Anzahl der günstigen Ereignisse"/"Anzahl aller Ereignisse" = 1/6
Die Wahrscheinlichkeit für einen Pasch ist nicht 1/25: Für den ersten Wurd ist es egal, welche Zahl gewürfelt wird. Beim zweiten Wurf muss das selbe raus kommen, wie beim ersten Wurf, dafür ist die W. 1/6. Zusammen: 1 * 1/6 = 1/6.