Differentialrechnung
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Aus der Hüfte geschossen würde ich auch eine Fallunterscheidung machen oder irgendwas mit |x|=sgn(x)*x versuchen.
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differ schrieb:
Hallo! Wie finde ich raus wie oft folgende Funktionen stetig differenzierbar sind und wie begründe ich das?
Indem du sie differenzierst (genauer mußt du an x=0 (weil dort ein Knick sein könnte) jeweils die rechtseitige und linksseitige Ableitung bilden und überprüfen, ob sie übereinstimmen).
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CStoll schrieb:
differ schrieb:
Hallo! Wie finde ich raus wie oft folgende Funktionen stetig differenzierbar sind und wie begründe ich das?
Indem du sie differenzierst (genauer mußt du an x=0 (weil dort ein Knick sein könnte) jeweils die rechtseitige und linksseitige Ableitung bilden und überprüfen, ob sie übereinstimmen).
was ist die rechtsseite und linksseitige ableitung?
meinst du den grenzwert?
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Ich würde mal sagen Fallunterscheidung: für x>0 klappt fallen die Betragsstriche weg, was übrigbleibt ins unendlich oft diffbar. Ähnlich für x<0. Nur an der Grenze, also bei x=0 müssen genauere Untersuchungen angestellt werden.
MfG Jester
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steff3 schrieb:
was ist die rechtsseite und linksseitige ableitung?
meinst du den grenzwert?
Ja, genauer den Grenzwert der Differenzen-Quotienten: lim(x->0,x<0) f(x)/x bzw. lim(x->0,x>0) f(x)/x. Wenn diese beiden Grenzwerte gleich sind, ist die Funktion stetig differenziertbar, andernfalls hätte die Ableitung dort eine Unstetigkeit.
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Wenn linkseitiger und rechtseitiger Grenzwert gegen 0 gleich sind, ist die Funktion dann beliebig oft differenzierbar, wenn ja warum?
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Ne, dann ist sie stetig.
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Und wie kann ich dann erkennen wie oft sie stetig differenzierbar ist?
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Ableitung bilden und schauen, wie oft die stetig diffbar ist. Die Original-Fkt. ist dann einmal öfter stetig diffbar.
Außerhalb von 0 ableiten geht klar, da man |x| dort als x bzw. -x schreiben kann und die bekannten Ableitungsregeln dann funktionieren.
Bei 0: Über die Definition mit dem Grenzwert:
\lim_{h \rightarrow 0}\frac{|h|\*h^2 }{h} = }\lim_{h \rightarrow 0}|h|\*h = 0
Also ist die Ableitung bei 0 auch 0.
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Ok. Danke für deine Hilfe.