Erzeugendensystem beweisen

Andreas XXL

Hallo, ich soll beweisen, dass

(1)  (-1)  (1)
(1), (1 ), (0)

ein Erzeugendensystem von R^2 ist.

Nun habe ich duch "genaues Hinsehen" folgendes gefunden:

(x)       (1)         (-1)           (1)
(y) =  x* (1)+ (y-x)* (1 )  + (y-x)* (0)

gilt.

Also habe ich ein Erzeugendensystem.

Aber wie löse ich diese Aufgabe wenn sie komplizierter wird und "genaues Hinsehen" nicht mehr funktioniert?

Bashar

Dann löst du das Gleichungssystem eben durch eine der unzähligen anderen Verfahren.

Andreas XXL

OK, ich versuche es mal an diesem Beispiel:

Lineares Gleichungssystem bei den 3 oben genannten Vectoren:

1a -1b +1c =x
1a +1b +0c =y

Ergibt:
a=((x+y)-c)/2
b=-(x-y-c)/2

Leider weiß ich nichts mit der jetzt gefundenen Lösung anzufangen, da irgendwie das c in der Lösung komisch aussieht. Wie schreibe ich diese lösung in der Form auf, wie die, die ich durch "hinsehen" gefunden habe?
(Dort kam ja auch keine der Variablen a,b,c als Faktor vor den Vectoren vor)

c=y-x

Bashar

Andreas XXL schrieb:

a=((x+y)-c)/2
b=-(x-y-c)/2

Leider weiß ich nichts mit der jetzt gefundenen Lösung anzufangen, da irgendwie das c in der Lösung komisch aussieht.

c ist halt beliebig. Ein Parameter. Dein Erzeugendensystem ist ja mehr als eine Basis, also gibt es nicht nur eine eindeutige Linearkombination der Vektoren, um einen bestimmten Vektor darzustellen, sondern unendlich viele.

Wie schreibe ich diese lösung in der Form auf, wie die, die ich durch "hinsehen" gefunden habe?

Wenn du c=y-x setzt (danke an den Vorposter), kommst du auf deine erste Lösung.

Du mußt die Vektoren, die erzeugen sollen nur als Spalten in eine Matrix schreiben. Hat diese vollen Rang, so sind die angegebenen Vektoren ein Erzeugendensystem. Im Prinzip mußt Du also nur zum Beispiel Gauß anwenden.

btw. Da Zeilenrang und Spaltenrang gleich sind kannste es auch als Zeilen reinschreiben... oder beim Gauß machen auch Spaltenumformungen zulassen...

Andreas XXL

@Jester_uni: Sowas haben wir leider noch nicht als Satz gehabt.

Also habe ich es jetzt richtig verstanden, dass es mehrere (unendlich) viele Möglichkeiten geben kann und man dann einfach die Variable, die "zuviel" ist beliebig wählen kann?

ja

Den Satz kannste Dir leicht überlegen:

Das eintragen der Vektoren in die Spalten ergibt eine Matrix A.
Wenn Du jetzt einen Vektor b aus den Spalten basteln willst, dann ist das das Gleiche, wie A*x = b lösen. Und das ist genau dann lösbar, wenn A vollen Rang hat. Eindeutig ist es nur dann, wenn die Matrix auch noch quadratisch ist (dann kann man nämlich die Inverse berechnen).