Tangentialraum

[bluecode]

Ich schreib grad an meiner Facharbeit (Differenzial- & Extremwertrechnung bei reelwertigen Funktionen) und bin auf folgendes begriffliches Problem gestossen: Ich kann eine Formel herleiten, welcher jedem Punkt einer reelwertigen Funktion (R^n -> R) eine Raum zuordnen, welcher in diesem Punkt tangential zum Funktionsgraph liegt (Im Spezialfall einer Funktion R^2 -> R ist das die Tangentialebene). Diese Formel ist eigentlich relativ einfach und v.a. Beinhaltet auch die "normalen" Funktionen (R -> R) stellt also somit eine Verallgemeinerung der Tangente dar. Nun weiß ich leider nicht ob der richtige Begriff dafür der Tangentialraum ist, da ich die Definition eines Tangentialraums nicht so ganz versteh (viele unbekannte Begriff: Mannigfaltigkeit, Karte usw.) oder ob das Schwachfug ist.

Für die dies interessiert kann ich auch die Formel posten.

Ich hoffe einer von euch kann mir helfen.
Bin dankbar für jede Hilfe

[asmodis]

Ohne die Formel ist es schwer eine Antwort zu geben (find ich zumindest). Wäre also nett, wenn du die Formel posten könntest.

Prinzipiell ist glaub ich der Funktionsgraph einer glatten (reelwertigen) Funktion eine glatte Untermannigfaltigkeit des R^n (möglicherweise muss der Definitionsbereich eingeschränkt werden), man muss also nicht das ganz allgemeine Zeug der Diffgeometer verwenden. Vielleicht hilft dir das ja schon was.

[edit] der Definitionsbereich muss glaub ich eine offene Menge sein.

[bluecode]

ok,

$D_f \subseteq \Re^n$ und $D_f$ offene Menge
Funktion $f: D_f \rightarrow \Re$
implizite Darstellung der Tangential*?* T im Punkt $\vec{v} \in D_f$:
$T: \sum_{i=1}^{n}{\left ( (x\_i - v\_i) \frac{\partial f}{\partial x\_i}(\vec{v}) \right ) } - x\_{n+1} + f(\vec{v}) = 0$

Die Tangential*?* ist halt ein Hyperraum des $\Re^n$ und im Spezialfall $D_f \subseteq \Re^2$ eben die Tangentialeben:
$T: (x\_1 - v\_1) \frac{\partial f}{\partial x\_1}(\vec{v}) + (x\_2 - v\_2) \frac{\partial f}{\partial x\_2}(\vec{v}) - x_3 + f(\vec{v}) = 0$

Danke im voraus!

[Taurin]

Das nennt man einen Tagentialraum, jap.

Kurz zum Begriff (lineare) Mannigfaltigkeit: Du weißt, was ein Vektorraum ist. Sei V solch ein Vektorraum und Teilraum des |R^n. M ist genau dann lineare Mannigfaltigkeit, wenn es einen Vektor w aus |R^n gibt, so dass M = {v + w | v € V}
D.h. du verschiebst den Vektorraum um einen konstanten Vektor w. Jeder Vektorraum ist auch Minnigfaltigkeit, in dem Fall ist dann halt w = 0.
Damit sind z.B. in der Ebene alle Geraden Mannigfaltigkeiten, alle Geraden und Ebenen im Raum etc.

[Jester]

Der Begriff der Mannigfaltigkeit ist aber deutlich allgemeiner. Der lineare Fall, den Du da ansprichst ist ja schon was sehr spezielles. Normalerweise muß man die Punkte einer Mannigfaltigkeit nicht addieren können oder sowas.

Dennoch ist das Vorgehen genauso wie hier beschrieben. Der Tangentialraum in einem Punkt p ist ein Vektorraum und wird von den Differentialen (d/dx_1, ..., d/dx_n), ausgewertet an der Stelle p aufgespannt.

Die Zusammenfassung der Tangentialräume in den einzelnen Punkten gibt dann das Tangentialbündel.

[asmodis]

Jester schrieb:

Dennoch ist das Vorgehen genauso wie hier beschrieben. Der Tangentialraum in einem Punkt p ist ein Vektorraum und wird von den Differentialen (d/dx_1, ..., d/dx_n), ausgewertet an der Stelle p aufgespannt.

Nur dass die d/dx^i keine Differtentiale sind, sonderen Derivationen.

[bluecode]

Danke für soviel Feedback.
Ihr seid große Klasse

Ich hab mir noch mal den Artikel zur Mannigfaltigkeit durchgelesen. Kann ich mir die Mannigfaltigkeit als eine Art gekrümmter R^n vorstellen? Diese Krümmung kann in verschiedenen "Bereichen" verschieden sein und wird in einem Punkt durch die Karte beschrieben. Die Gesamtheit der Karten wird scheinbar als Atlas bezeichnet. Ich versteh leider nicht ganz in wiefern diese Gebilde nützt? Oder anders gefragt: Was kann ich damit anstellen? Ich weiß zwar, dass nach Einstein's allgemeiner Relativitätstheorie die Raumzeit durch die Masse gekrümmt wird und dass man diese Krümmung in einem Punkt durch den Riccitensor (Ist das dann die Karte ) beschrieben wird...

[edit: Was ist denn eine Derivation und was unterscheidet diese von einem Differenzial?]

[Walli]

Derivation, Differenzial

[Jester]

bluecode schrieb:

Ich hab mir noch mal den Artikel zur Mannigfaltigkeit durchgelesen. Kann ich mir die Mannigfaltigkeit als eine Art gekrümmter R^n vorstellen?

Ja, das ist garnicht so falsch. Bekannte 2-dimensionale Mannigfaltigkeiten sind zum Beispiel der Torus, die 2-Sphäre (Oberfläche einer Kugel) oder auch das Möbiusband.

Diese Krümmung kann in verschiedenen "Bereichen" verschieden sein und wird in einem Punkt durch die Karte beschrieben. Die Gesamtheit der Karten wird scheinbar als Atlas bezeichnet. Ich versteh leider nicht ganz in wiefern diese Gebilde nützt?

Eine Mannigfaltigkeit ist ein sehr komplexes Gebilde. Insbesondere ist per se nicht klar, ob man die Mannigfaltigkeit in einen R^n einbetten kann oder nicht. Die helfen Dir, indem Du Dir an jede Stelle der Mannigfaltigkeit lokal ein Koordinantensystem hinlegen kannst. Denn lokal (also zu jedem Punkt in einer Umgebung) sieht jede Mannigfaltigkeit aus wie ein Stück des R^n. Dadurch kann man auch auf Mannigfaltigkeiten von differenzierbaren Funktionen sprechen. Man nimmt sich die Funktion und schaut, wie die Funktion ausgedrückt in lokalen Koordinaten aussieht und verwendet dann den Differenzierbarkeitsbegriff des R^n.

Oder anders gefragt: Was kann ich damit anstellen? Ich weiß zwar, dass nach Einstein's allgemeiner Relativitätstheorie die Raumzeit durch die Masse gekrümmt wird und dass man diese Krümmung in einem Punkt durch den Riccitensor (Ist das dann die Karte ) beschrieben wird...

Der Riccitensor beschreibt die Krümmung in einem Punkt. Die Karte beschreibt Dir die Geometrie um einen Punkt herum. Das ist nicht das Gleiche. Die Karten sind das große Hilfsmittel um überhaupt etwas rechnen zu können auf einer Mannigfaltigkeit. Wenn man etwas konkret berechnen will, so benutzt man meist die Karten, um sich auf den R^n zurückziehen zu können.