4. Anwendungen der Extremwertrechnung reelwertiger Funktionen

Anwendungen der Extremwertrechnung reelwertiger Funktionen

  • B

    hi,

    ich brauchte für meine Facharbeit noch ein oder zwei Anwendungsbeispiele für die Extremwertrechnung bei reelwertigen Funktionen (mit n Argumenten). Ich hab leider noch nicht viel konkretes dazu gefunden, würde aber gerne eben ein reales Beispiel aus einem anderen Fachbereich (nicht Mathe) also Physik/Wirtschaft/oä verwenden. Ich hoffe ihr hab da nen konkreteren Tipp wonach sich zu suchen lohnt.
    Ich hab zwar auf wikipedia schon im Berich Wirtschaft die Cobb-Douglas Produktionsfunktion gefunden, aber leider eben dazu kein richtiges Beispiel bzw. glaub ich nicht das man dafür wirklich Extremwertrechnung mit allem Schnickschnack, also Gradient = 0 und Hessematrix überprüfen.

    Danke im voraus 👍

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  • J

    Wie wär's mit nem neuronalen Netz? Oder überhaupt vielen parametrischen Lernverfahren? Man stellt die Fehlerfunktion auf und sucht den Extremwert (nämlich die Gewichte, bei denen das Netz die wenigstens Fehler macht).

    MfG Jester

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  • M

    allerdings ist das Lernen bei Neuronalen NEtzen (NN) ein iterativer Vorgang. Ich denke mal, der Threadstarter möchte AUfgaben, wo man direkt mit Rechnungen den Extremwert rausbekommt.

    Mir fällt eben gerade regressionsrechnung in der hyperebene ein. (zB Multilineare Regression). Is aber eben nicht sehr Praxisorientiert. Aber es gibt viele anwendungen für die Regressionsrechnung

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  • J

    Maxi schrieb:

    allerdings ist das Lernen bei Neuronalen NEtzen (NN) ein iterativer Vorgang. Ich denke mal, der Threadstarter möchte AUfgaben, wo man direkt mit Rechnungen den Extremwert rausbekommt.

    Ja, die verwendeten Lernalgorithmen verwenden iterative Optimierungsverfahren. Trotzdem ist dies eine Anwendung: Es gibt ne Fehlerfunktion mit mehreren Variablen und sie soll minimiert werden. Daß man das praktisch vielleicht doch ein bißchen anders löst ist ja erstmal egal.

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  • ?

    Oder was ganz anderes: In meschanischen Systemen sucht man manchmal Gleichgewichtslagen. Einfaches Beispiel: Ein Pendel hat zwei Gleichgewichtslagen.
    Eine, wenn die Masse gerade nach unten hängt, die zweite, wenn es gerade nach oben
    gerichtet ist. Ersteren Fall nennt man stabil (kleine Störungen haben kaum auswirkung auf die Lage der Masse), letzteren instabil (weil kleine Störungen dafür sorgen, dass die Masse nach unten kippt).
    Berechnen tut man dies, indem man die Energie des Systems in Abhängigkeit einer (oder mehrerer) Koordinate (hier z.B. des Pendelwinkels) aufstellt, und die Minima (stabile Gleichgewichtslagen) / Maxima (instabile Gleichgewichtslagen) sucht.

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  • B

    hi,

    Danke für eure schnellen Antworten 👍
    @Jester: Das minimieren einer Fehlerfunktion wird auf jeden Fall in der FA Erwähnung finden, aber mein Kursleiter meinte eigentlich ich solle dazu kein explizites Rechenbeispiel machen...
    @Taurin: Das Bsp. hört sich sehr interessant an. Ich werd mich da mal ausführlicher informieren...

    Bin aber für weitere Vorschläge offen

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  • T

    Noch ne kleine Ergänzung: Es muss heißen

    Taurin@Uni schrieb:

    ... indem man die potentielle Energie des Systems ...

    Im Fall von einem mathematischen Pendel mit der (Faden-)Länge L, der Masse (des Gewichts) m und dem (Auslenk-)Winkel Φ und der Höhe h (der Masse, Nullniveau am tiefsten Punkt) kommt dann auf:

    h = L * (1 - cos Φ)
    E_pot = m*g*h = m*g*L * (1 - cos Φ)

    Rest sollte dann einfach gehen.

    Falls du noch dringend weitere Beispiele brauchst, schreib mal. Ich müsste mich dafür aber erst durch einen Stapel Papier durchwühlen, da find ich aber bestimmt noch was zwischen.

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  • T

    Noch ne kleine Ergänzung: Es muss heißen

    Taurin@Uni schrieb:

    ... indem man die potentielle Energie des Systems ...

    Im Fall von einem mathematischen Pendel mit der (Faden-)Länge L, der Masse (des Gewichts) m und dem (Auslenk-)Winkel Φ und der Höhe h (der Masse, Nullniveau am tiefsten Punkt) kommt dann auf:

    h = L * (1 - cos Φ)
    E_pot = m*g*h = m*g*L * (1 - cos Φ)

    Rest sollte dann einfach gehen.

    Falls du noch dringend weitere Beispiele brauchst, schreib mal. Ich müsste mich dafür aber erst durch einen Stapel Papier durchwühlen, da find ich aber bestimmt noch was zwischen.

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  • B

    Taurin schrieb:

    Falls du noch dringend weitere Beispiele brauchst, schreib mal. Ich müsste mich dafür aber erst durch einen Stapel Papier durchwühlen, da find ich aber bestimmt noch was zwischen.

    Ich würd mich auf jeden fall freuen (falls es dir nicht zuviel Aufwand ist)!

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  • T

    Kannst du noch einmal Stichpunktartig die Themen deiner Arbeit aufschreiben? Kommt da auch Optimierung unter Nebenbedingungen drin vor (zb mit Lagrange Multiplikatorenregel?) Oder beschränkt sich die Betrachtung auf Gradient, Jakobi- und Hessematrix? Mit Nebenbedingungen lassen sich leichter Beispiele finden.

    Ansonsten hab ich eben noch ein kleines Beispiel aus der Geometrie gefunden (vielleicht nicht ganz das, was du haben willst; über das Ergbnis freuen sich bestimmt nur Mathematiker 🙂 ):

    Mit der Formel von Heron ergibt sich die Fläche eines Dreiecks zu: F=s(s−a)(s−b)(s−c)F = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, wobei s = U/2, U der Umfang und a,b,c die Kantenlängen. Nun sei der Umfang U gegeben und fest. Nun versuche, Kantenlängen a,b,c so zu finden, dass die Fläche maximal wird.
    Wenn du etwas rumrechnest, kommst du darauf, dass es solche a,b,c nicht gibt. Um sich Rechenarbeit zu sparen, maximiert man statt der Funktion F(a,b,c) lieber g(a,b,c)=s(s−a)(s−b)(s−c)2=s(s−a)(s−b)(s−c)g(a,b,c) = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}^2 = s(s-a)(s-b)(s-c).
    Kannst dir ja mal überlegen, warum beides mal das selbe rauskommt (vielleicht interessant für dein Thema) und wie die Formel von Heron zu stande kommt (wahrscheinlich eher weniger spannend).

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  • B

    Taurin schrieb:

    Kannst du noch einmal Stichpunktartig die Themen deiner Arbeit aufschreiben? Kommt da auch Optimierung unter Nebenbedingungen drin vor (zb mit Lagrange Multiplikatorenregel?) Oder beschränkt sich die Betrachtung auf Gradient, Jakobi- und Hessematrix? Mit Nebenbedingungen lassen sich leichter Beispiele finden.

    reellwertige Funktionen, Darstellung (Tabelle, Graph, Schnittkurvendiagramm), partielle Ableitung (partielle diff-barkeit, partielle Ableitung 1ster und höherer Ordnung, Satz von Schwarz), implizite & explizite Darstellung des Tangentialraums, Gradient, Hessematrix, kritische Punkte (Extrema & Sattelpunkte), als letzten Punkt wollt ich noch eine Anwendung als Rechenbeispiel reinbringen und ein paar andere Anwendungen erwähnen.
    Eigentlich keine Nebenbedingungen

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  • T

    Auf folgenes Beispiel hätte ich schon vorher kommen können: Ganz häufig braucht man eine "einfachere Version" einer gegebenen Funktion f, als nähert man f durch eine lineare Funktion an: f(\vec{x}) = f(\vec{x\_0}) + Jf(\vec{x\_0}) \cdot (\vec{x} - \vec{x\_0}) + o(\norm{\vec{x} - \vec{x\_0}}) mit gegebenem x_0. In der Nähe von x_0 ist dann der Term o(\norm{\vec{x} - \vec{x_0}}) ganz klein, so dass man ihn vernachlässigt. Den Punkt x_0 wählt man dann so, dass er möglichst dort in der Nähe liegt, wo man die Funktion auswerten will. Meist interessiert einen nicht der volle Definitionsbereich bzw. der ganze R^n. Dieses "Vereinfachen" nennt man Linearisieren.

    Das ist z.B. der Trick, nach dem das Newton Verfahren zur Nullstellenbestimmung funktioniert (im ein- wie im Mehrdimensionalen). Und Nullstellen hast du bestimmt in Physik... schon eine ganze Menge berechnen müssen.

    Der (eindimensionale) Newton wird unter http://de.wikipedia.org/wiki/Newton_Verfahren noch mal sehr fein erklärt.

    Schöne (und einfache) Beispiele finden find ich gräßlich schwierig, weil in den meisten Anwendungen noch ganz viel andere (zu komlizierte) Materie drin vorkommt.

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