Differenzieren einer komplexen Funktion

Hallo,

die Differetional und Integralrechnung beherrsche ich eigentlich ganz gut...
Jetzt möchte ich eine komplexe Funktion differenzieren.
Was muss ich dabei beachten?

Wie differenziere ich beispielsweise:
f(x) = a * e^(ix+ib)
???

(Bitte nicht in Sinus umwandeln )

Danke,
Komplex

Jan

Was spricht dagegen es so zu machen wie sonst auch?

Jester

Jan schrieb:

Was spricht dagegen es so zu machen wie sonst auch?

Vielleicht die Definition?

Komplexe Differenzierbarkeit ist etwas anderes als reelle Differenzierbarkeit in zwei Variablen. Das macht man sich am leichtesten an der allg. Definition klar:

ist f:R^2 -> R^2 eine Funktion, dann ist ihre Ableitung in x0,y0 eine quadratische Matrix A mit folgender Eigenschaft:

f(x+h1, y+h2) = f(x0,y0) + A*(h1,h0) + O(h)

mit O(h) irgendwas, was bei lim(O(h)/|h|) = 0 gibt, also etwas das beim Grenzwert bilden verschwinden würde.

Komplex sieht die Definition aber so aus:
Die Ableitung einer komplexen Funktion f:C-->C in z0 ist eine komplexe Zahl a mit der Eigenschaft:

f(z+h) = f(z0) + a*h + O(h)

Multiplikation mit komplexen Zahlen ist aber gerade eine Drehstreckung. Wenn die Funktion also reell auffasst müßte die Matrix A bei der reellen Ableitung also von der Form

c* (cos(alpha) -sin(alpha) )  = (a  -b)
   (sin(alpha) cos(alpha)  )    (b   a)

sein. Das leistet aber nicht jede reell differenzierbare Funktion.
Die dazu nötigen Bedingungen heißen Cauchy-Riemannsche Differenzialgleichungen.

Beispielsweise ist f(z) = Re(z) - i*Im(z) (also die komplexe Konjugation) überalle reell differenzierbar, aber nirgends komplex differenzierbar.

Weiß man allerdings, daß eine Funktion komplex differenzierbar ist, so darf man glücklicherweise alle gewohnten Rechenregeln anwenden. Daher ist die Ableitung von e^z auch wieder e^z.

MfG Jester