Rätsel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung

[Juergonaut]

Ich bin jetzt gerade erst auf dieses Thema gestoßen, und die wahnwitzige Fülle von Beiträgen hat mich nur verblüfft. Um meinen Senf dazu abzugeben, hier nochmal die Aufgabenstellung (gg):

Man bekommt neue Nachbarn, eine Familie mit zwei Kindern. Nun sieht man am Fenster einen Jungen stehen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind ein Mädchen ist?

Das ein Junge am Fenster steht ist nach dieser Aussage fix vorgegeben, das heisst, dass es nie zu jenem Fall kommen kann, dass ich solala vors ein Nachbarhaus trete und ein Mädchen sehe. Wenn es doch passieren sollte dann wird dieser Fall ausgeschlossen, da es die Bedingung "Nun sieht man am Fenster einen Jungen stehen" nicht erfüllt.

So, es gibt meiner Meinung nach drei Fälle, welche eintreten können (wobei jede dieser drei Fälle natürlich gleich wahrscheinlich ist):

Fall A: Es sind zwei Jungs: Hier ist das ergebnis eindeutig, das andere Kind ist ein Junge.
Fall B: Das erste ist eine Junge, das zweite ist ein Mädchen: Hier sieht man den ersten Jungen am Fenster, und das zweite ist ein Mädchen.
Fall C: Das erste ist ein Mädchen, das zweite ist ein Junge: Hier sieht man den zweiten Jungen am Fenster, und das erste ist ein Mädchen.

Daraus sieht man, dass 2 aus 3 Fällen zu einem Mädchen führen würde, was zu einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 für ein Mädchen sprechen würde.

Einen Fall D mit zwei Mädchen kann es ja aus der Bedingung, dass er einen Jungen sieht, nicht geben.

Das wichtige bei der Aufgabe ist doch, dass man aus der ersten Messung nicht weiss, ob es das erste, oder zweite Kind ist.

Gibt es in meiner Argumentation jetzt irgendwelche Widersprüche?

[scrub]

Juergonaut schrieb:

So, es gibt meiner Meinung nach drei Fälle, welche eintreten können (wobei jede dieser drei Fälle natürlich gleich wahrscheinlich ist):

nein, eben nicht. bei der kombination junge + junge ist doch die wahrscheinlichkeit doppelt so hoch, daß ein junge am fenster steht.

[Juergonaut]

Hallo Scrup, die Bedingung dass ein Junge am Fenster erscheint ist ja gegeben, das heist wenn eine Familie aus einem Jungen und einem Mädchen besteht, nehme ich sowiso nur jene Fälle in das Zufallsexperiment auf, in denen der Junge am Fenster steht, also selbst in Familien die einen Junge und ein Mädchen haben zähle ich nur jene Fälle, die nach der Bedingung betrachtet werden, also immer den Jungen, und somit ist die Warscheinlichkeit in einer Jungen Jungen Familie einen Jungen am Fenster zu sehen nicht größer, weil man sowiso nur Fälle betrachtet, wo der Junge am Fenster steht ...

[scrub]

scrub schrieb:

MM            JJ             MJ                   JM
        |             |             /\                   /\
        |             |            /  \                 /  \
       M|            J|          M/    \J             M/    \J  steht am femster                              
        |             |          /      \             /      \
        |             |         /        \           /        \
        1             1        0.5      0.5         0.5      0.5

[Juergonaut]

Hallo Scrup, jetzt ist mir die Sache erst klar geworden, du hast recht. Aber ist schon ein verzwicktes Problem, wie man an der Länge des Threads ja sehen kann

Ist im Nachhinein ja eigentlich auch Paradox zu glauben, nur weil man das Geschlecht des einen Kindes kennt auf das andere "besser" schließen zu können. Also 50% ist das andere ein Mädchen und passta

Auf weitere so berauschende Probleme

[b7f7]

scrub schrieb:

Juergonaut schrieb:

So, es gibt meiner Meinung nach drei Fälle, welche eintreten können (wobei jede dieser drei Fälle natürlich gleich wahrscheinlich ist):

nein, eben nicht. bei der kombination junge + junge ist doch die wahrscheinlichkeit doppelt so hoch, daß ein junge am fenster steht.

Wo stehet da, dass die Beobachtung des Kindes zufällig ist?

"Eines der Kinder ist ein Junge " ist 100% korrekt dies eliminiert genau die Möglichkeit Mädchen-Mädchen.
"Eines zufällig beobachtetes Kind ist ein Junge" dies sagt nix über das andere Kind aus weil unabhängig.

und da beide Lösungen nicht gleich sind, ist es nicht entscheidbar.

[Juergonaut]

Warum sollte die Ausgangssituation nicht genau definiert sein? Sie ist es doch, siehe Aufgabenstellung:

Man bekommt neue Nachbarn, eine Familie mit zwei Kindern. Nun sieht man am Fenster einen Jungen stehen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind ein Mädchen ist?

Diese Aufgabenstellung könnte sogar durch ein Experiment nachgebildet werden, und wenn man dieses Experiment oft genug durchführt wird die Wahrscheinlichkeit dass es ein Mädchen ist auf eine Prozentzahl konvergieren. Und wenn das passiert, dann kann man es auch berechnen.

Ein Experiment: Du Erschaffst dir eine Zufällige Familie mit zwei zufälligen Kindern. Dannach lässt du eines der beiden Kinder (der Zufall entscheidet welches) ans Fenster treten. Ist es ein Junge ist die Bedingung für das Experiment erfüllt und dann zählst du die Geschlechter des anderen Kindes. Ist es ein Mädchen, so brichst du dieses Experiment ab, weil es eine Bedingung nicht erfüllt hat.

Wo ist jetzt das Problem

[scrub]

hihi, lies doch einfach den ganzen thread durch... dann siehst du das problem relativ schnell.

[kenner des kerns]

scrub schrieb:

hihi, lies doch einfach den ganzen thread durch... dann siehst du das problem relativ schnell.

Der Kern des Problem ist, dass jeder Recht haben will und sich hier ne Menge Klugscheißer rumtreiben

[Cyriz]

"Man bekommt neue Nachbarn, eine Familie mit zwei Kindern. Nun sieht man am Fenster einen Jungen stehen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind ein Mädchen ist?"

wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind ein Mädchen ist?

ergo 50% keine Bedingung...

wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Familie zwei Jungen hat?

33% da hier die bedingte Wahrscheinlichkeit vorhanden ist. Wie tausendfach erwähnt...

Das Problem ist, da wir Menschen in "Ähnlichkeiten" denken.

Dein Kind ist gernen Schokokekse und die Musilkekse bleiben immer liegen, aus erziehungstechnischen Gründen, soll es nun immer mit verbundenen Augen ein Keks ziehen.
Du packst 9 Müsliekekse und ein Schokokeks in die Dose, und dein Kind soll einen rausnehmen ohne zu gucken.
Du kommst zurück in die Küche und siehst dein Kind mit schokoladen-verschmierten Gesicht den Schokokeks essen. Dann bekommt's bestimmt eine Standpauke.
Wären aber in der Dose 900 Müslikekse und 100 Schokoladenkese. Müsste er sich nichts anhören.
zwar gleiche Wahrscheinlichkeit aber trozdem erscheint den Meisten der erste Fall fast ausgeschlossen...

Ich hoffe hierbei nur das auch Richter sich dessen bewust sind...

grüße

/Edit: Fehler

[Jester]

Cyriz schrieb:

wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind ein Mädchen ist?

ergo 50% keine Bedingung...

wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Familie zwei Jungen hat?

33% da hier die bedingte Wahrscheinlichkeit vorhanden ist. Wie tausendfach erwähnt...

Huh? Wie paßt denn das jetzt zusammen? Wenn die Chance für das andere Kind 50:50 ist, dann ist doch auch die Wahrscheinlichkeit für zwei Jungen 50:50. Ein Junge ist ja schließlich gegeben und für den anderen steht's 50:50.

[Cyriz]

Ne du hast mich falsch verstanden:

Ein Junge ist ja schließlich gegeben

naja, und da finde ich kommt es auf die Formulierung an...
erfragt man nun die bedingte P oder nur P?

Und ich finde eben in dem Beispiel wird die normale P(Kind-Geschlecht) erfragt.
Da tut dies nix zu Sache ob vorher schon was erwähnt wurde oder nicht.
Also Junge oder Mädchen.
Das hat ja nichts damit zu tun was schon war
wenn der Wortlaut ist:

[...]dass das andere Kind ein Mädchen ist?

anders natürlich wenn man die bedingte P() erfragt
P(Familie-mit-unteschiedlich-Geschlecht-der-Kinder)
dann muss man den Fall Mädchen/Mädchen ausschließen da bereits ein Junge vorhanden ist.
Dann wäre diese P wohl 2/3 und die P(gleich-geschlechtliche-Kinder), in Betracht das es bereits ein Jungen gibt, 1/3.

Kommt drauf an wie man die Frage interpretiert, und ich sehe es eben als eine Frage nach P.

Aber darüber lässt sich auch wieder streiten, wie es nun gemeint ist.

Das meinte ich.

[TGGC]

Juhu, die Erklaerung auf der Seite ist so genial! http://stabi.hs-bremerhaven.de/mathezirkel/lsg_feb07.html

Ich lach mich nur noch weg. Ich muss den Leuten da erstmal eine Mail schreiben... f'`8k

Gruß, TGGC (making great games since 1992)

[jl klkj ölkj ölkj ölkj lk]

TGGC schrieb:

Juhu, die Erklaerung auf der Seite ist so genial! http://stabi.hs-bremerhaven.de/mathezirkel/lsg_feb07.html

Ich lach mich nur noch weg. Ich muss den Leuten da erstmal eine Mail schreiben... f'`8k

die mail würden wir gerne sehen.

p.s.: du threadschänder

[TGGC]

jl klkj ölkj ölkj ölkj lk schrieb:

die mail würden wir gerne sehen.

Ja klar, ich werds posten, wenn sie Antworten. Vielleicht sind es bloss Grundschullehrer und blicken es selber nicht.

Gruß, TGGC (making great games since 1992)

[sag mal]

TGGC schrieb:

Gruß, TGGC (making great games since 1992)

Schreibst du das immer wieder neu oder kopierst du es von irgendwo her?

Ist doch klar, dass die Chancen sinken, wenn der Junge zuerst geboren wurde.

[LinkeT]

also die antwort im buch ist falsch ... jedesmal wenn ein paar ein kind zeugt is die wahrscheinlichkeit 50% unabähnig vom ersten kind ...

das es die wahrscheinlichkeiten J,M und M,J gibt ist statisischer blödsinn , da J,M = M,J ist ... also gibt es nur J,J J,M M,M [wenn man das alter weglässt]
wenn aber ein junge schon gegeben ist interresieren nurdie ersten beiden ergebnise [j,j j,m] 2 möglichkeiten und 1 lösung ... also 50%

mit dem alter:
j,j j,m(mädchen ist älter), m,j (mädchen ist junger)
was aber doch blödsin ist, ausser der junge ist etwas älter als sie und seine schwester soll halt junger sein da wäre dann die wahrscheinlichkeit 1/3

was aber wiederum nicht im ersten post stand xD entweder weggelassen oder sonst wie ...

aber die wahrscheinlichkeit kann nicht über 50%sein! [wenn das alter egal ist, ist dies nicht zuberücksichtigen]
PS
@tggc tolle games haste da auf der seite also meine sind auch wunderbar [........]

[Jester]

LinkeT schrieb:

also die antwort im buch ist falsch ... jedesmal wenn ein paar ein kind zeugt is die wahrscheinlichkeit 50% unabähnig vom ersten kind ...

das es die wahrscheinlichkeiten J,M und M,J gibt ist statisischer blödsinn , da J,M = M,J ist ... also gibt es nur J,J J,M M,M [wenn man das alter weglässt]
wenn aber ein junge schon gegeben ist interresieren nurdie ersten beiden ergebnise [j,j j,m] 2 möglichkeiten und 1 lösung ... also 50%

mit dem alter:
j,j j,m(mädchen ist älter), m,j (mädchen ist junger)
was aber doch blödsin ist, ausser der junge ist etwas älter als sie und seine schwester soll halt junger sein da wäre dann die wahrscheinlichkeit 1/3

was aber wiederum nicht im ersten post stand xD entweder weggelassen oder sonst wie ...

aber die wahrscheinlichkeit kann nicht über 50%sein! [wenn das alter egal ist, ist dies nicht zuberücksichtigen]
PS
@tggc tolle games haste da auf der seite also meine sind auch wunderbar [........]

[TGGC]

Also mittlerweile glaube ich ja auch, das die 2/3 Antwort ueberhaupt nur verbreitet werden konnte, weil es immer wieder _solche_ Argumentationen fuer die richtige Loesung gab... f'`8k

Gruß, TGGC (making great games since 1992)

[TGGC]

Naja, ich schreibe es einfach mal kommentarlos hier her.

Sehr geehrter Herr Rösch,
ich gehe nach wie vor davon aus, dass die Lösung im Netz korrekt ist.
Ich werde in Ihrer Mail auf die Stellen eingehen, wo ich anderer
Meinung bin.

Am 06.05.2007 um 19:43 schrieb Christian Rösch:

> Sehr geehrter Herr Begoihn,

> ich bin auf folgendes Raetsel inklusive Loesung gestossen:
> http://stabi.hs-bremerhaven.de/mathezirkel/lsg_feb07.html

> Dem Loesungsweg muss ich widersprechen. Durchaus korrekt ist die
> Aussage:
> "Sobald Dorothea weiß, dass eines der Kinder ein Junge ist, beträgt
> die
> Wahrscheinlichkeit, dass das andere ein Mächen ist, 0,667 (zwei
> Drittel).".
> Oder um es mathematisch praeziser zu formulieren: "Sobald Dorothea
> weiß,
> dass mindestens eines der Kinder...". Unter diesen Voraussetzungen
> waere die
> Rechnung korrekt.
Hier sehe ich nicht, wo der Unterschied der Voraussetzung "Sobald
Dorothea weiß, dass mindestens eines der Kinder ein Junge ist,
beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind ein Mädchen ist,
0,667" zu der im Aufgabentext umrissenen Voraussetzung besteht. Indem
Dorothea nur sieht, dass es sich beim Kind am Fenster um einen Jungen
handelt, weiß Dorothea nämlich nur, dass mindestens eines der Kinder
ein Junge ist. Sie weiß nämlich nicht, ob es sich bei diesem Kind um
das ältere oder das jüngere handelt.

> Nun entspricht das allerdings nicht ganz der Aufgabenstellung.
> Dorothea
> kennt naemlich das Geschlecht eines bestimmten Kindes ("das Kind am
> Fenster") und es muesste dann der Loesungsweg aus dem dritten Teil der
> Aufgabe angewendet werden. Der Unterschied ist lediglich, das die
> Notation
> nicht in der Reihenfolge (aelteres Kind;juengeres Kind) erfolgt,
> sondern
> (Kind am Fenster; anderes Kind). Somit erhaelt man die korrekte
> Loesung von
> 0,5.
Der Unterschied in der Notation ist wesentlich, was man daran
erkennt, dass ein Wechsel der Notation zu anderen Ergebnissen führt.

> Der konkrete Fehler des benuzten Rechenwegs liegt in der Annahme,
> das die 3
> Faelle in {(J;J), (J;M), (M;J)} gleich wahrscheinlich waeren. (J;J)
> ist
> besitzt tatsaechlich die doppelt Wahrscheinlichkeit, wie die beiden
> anderen
> Faelle fuer sich. Man muss davon ausgehen, das ein zufaellig
> gewaehltes Kind
> am Fenster steht und darum wird dies bei Familien mit zwei Jungen
> hauefiger
> zu beobachten sein, als in denen, wo lediglich das aeltere Kind ein
> Junge
> ist.
Die den Elementen zugeschriebene Wahrscheinlichkeit geht von der
Frage aus, wie wahrscheinlich es ist, dass eine Familie mit zwei
Kindern zwei Jungen hat. Es ist sozusagen eine
bevölkerungsstatistische Aussage, die völlig unabhängig von
irgendwelchen Erscheinungen an irgendwelchen Fenstern ist. Um an
dieser Stelle schon die 6000 Familien ins Spiel zu bringen: Bei 1500
von ihnen sind beide Kinder Jungen, bei 1500 beide Mädchen, bei 1500
ist das ältere Kind ein Mädchen, das jüngere ein Junge, bei den
restlichen 1500 ist es umgekehrt. Indem man weiß, dass mindestens ein
Junge dabei ist, müssen die 1500 Familien mit zwei Mädchen aus der
Betrachtung genommen werden. Die übrigen Gruppen bleiben aber genauso
groß (immer 1500 Familien), sind also auch gleich wahrscheinlich. Die
Gesamtheit hat aber um die Familien mit zwei Mädchen abgenommen, so
dass man die 3000 (Zahl der Familien mit einem Mädchen) durch 4500
(Zahl der Familien mit mindestens einem Jungen) teilen muss, um zur
richtigen relativen Häufigkeit zu kommen.

> Man sollte eigentlich bereits stutzig werden, wenn allein aus der
> fuer das
> Geschlecht nutzlosen Information ueber das Alter der Geschwister
> ploetzlich
> eine scheinbar andere Aussage ueber die Wahrscheinlichkeit gemacht
> werden
> kann.
Das war in unseren Augen ein Reiz der Aufgabe, dass das Ergebnis für
viele unerwartet ist.
Die Statistik mit den 6000 Familien ist da aber ganz eindeutig. 1500
Familien scheiden aus, wenn das ältere Kind der Junge ist, übrigens
auch bei der neuen Gesamtheit, so dass hier die relative Häufigkeit
mit 1500 durch 3000 bestimmt werden muss.
> Noch kurioser ist, das die gegenteilige Aussage, der Junge waere das
> juengere Kind, zu genau der gleichen Wahrscheinlichkeit von 0,5
> fuehrt.
Das ist nicht kurioser als das andere. Die Besonderheit liegt darin,
dass eine Festlegung getroffen wird. Ohne diese Festlegung sieht die
jeweilige statistische Gesamtheit bei den 6000 Familien verschieden aus.
> Wir muessen zwingend davon ausgehen, das Ralph entweder juenger
> oder aelter ist,
> genau einer der Faelle muss zutreffen. Jeweils ist die
> Wahrscheinlichkeit
> 0,5, wenn wir eine der Aussagen annehmen.
Das ist unbestritten. Nur ändert sich mit der jeweiligen Annahme das
Problem.
> Den Gesetzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung zufolge ist daher
> grundsaetzlich die
> Wahrscheinlichkeit fuer ein Maedchen 0,5 und unabhaengig vom Alter der
> Geschwister.

> Ein etwas anderer Zugang
> Beobachte die genannten 6000 Familien bis eines der Kinder an das
> Fenster
> kommt. In 3000 Familien kommt ein Junge ans Fenster (nicht etwa
> 4500) und in
> 3000 Familien wird ein Maedchen an das Fenster kommen. Von
> erstgenannten
> Familien haben 1500 Familien einen weiteren Jungen. Auch das
> empirische
> Experiment fuehrt damit zur Loesung 0,5.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge ans Fenster geht, ist nicht
gefragt. Das wird als Fakt gesetzt und gefragt, wie sich die
Wahrscheinlichkeit für das Vorkommen eines Mädchens dadurch ändert.

> mit freundlichem Gruessen,
> Christian Roesch

Mit freundlichen Grüßen
Werner Begoihn

f'`8k

Gruß, TGGC (making great games since 1992)