Maximale Ordnung der Elemente berechnen?
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Was hat Dein erster Post mit dem zweiten zu tun?
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Ordnungen von Elementen kannst du nur in endlichen Mengen bezeichnen, sonst ist es immer unendlich. afair geht das über erzeugende elemente
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ne schon gut ich habe schon.
kgV(p-1,q-1) = kgV(2,6)=6=maximale Ordnung.
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Falls du hier von Gruppen redest mit |G| = pq, wobei p, q Primzahlen,
dann gilt (wenn man nichts weiteres weiß), dass die maximale Ordnung eines Elemnts gleich pq ist. (Dann wäre die Gruppe zyklisch)
Wenn man weiß, dass die Gruppe nicht zyklisch ist, ist die maximale Ordnung gleich dem max(p,q).Falls du nicht über Gruppen redest, vergiss was ich gesagt hab.
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asmodis schrieb:
Falls du hier von Gruppen redest mit |G| = pq, wobei p, q Primzahlen,
dann gilt (wenn man nichts weiteres weiß), dass die maximale Ordnung eines Elemnts gleich pq ist. (Dann wäre die Gruppe zyklisch)Ne, das kannste weiter eingrenzen.
Nimm an: p!=q.
Dann kriegste nach Sylow ne Untergruppe mit p und eine mit q Elementen. Die sind dann da Primordnung zyklisch. Und damit ist die Gesamtgruppe das direkte Produkt der einzelnen Gruppen. Und das Produkt der Erzeuger ist ein Erzeuger der Sylowgruppen ist ein Erzeuger von G. G ist also zyklisch.Nur für p=q kann sowas dann auch mal anders aussehen.
MfG Jester
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asmodis schrieb:
Wenn man weiß, dass die Gruppe nicht zyklisch ist, ist die maximale Ordnung gleich dem max(p,q).
Das stimmt nicht. Z/2Z x Z/3Z ~ Z/6Z... zähl da mal die maximalen Ordnungen...
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Jester schrieb:
asmodis schrieb:
Wenn man weiß, dass die Gruppe nicht zyklisch ist, ist die maximale Ordnung gleich dem max(p,q).
Das stimmt nicht. Z/2Z x Z/3Z ~ Z/6Z... zähl da mal die maximalen Ordnungen...
Die Gruppe ist ja auch zyklisch.
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Jo stimmt. Da hatte ich nen Denkfehler drin. Dann ist die Aussage wahr. Denn Erzeuger mit Ordnung p,q der entsprechenden Untergruppen hat man ja... und größer kann's nicht werden, wenn die Gruppe nicht zyklisch ist, da jede Ordnung die Gruppenordnung teilen muß.
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Jester schrieb:
asmodis schrieb:
Falls du hier von Gruppen redest mit |G| = pq, wobei p, q Primzahlen,
dann gilt (wenn man nichts weiteres weiß), dass die maximale Ordnung eines Elemnts gleich pq ist. (Dann wäre die Gruppe zyklisch)Ne, das kannste weiter eingrenzen.
Nimm an: p!=q.
Dann kriegste nach Sylow ne Untergruppe mit p und eine mit q Elementen. Die sind dann da Primordnung zyklisch. Und damit ist die Gesamtgruppe das direkte Produkt der einzelnen Gruppen. Und das Produkt der Erzeuger ist ein Erzeuger der Sylowgruppen ist ein Erzeuger von G. G ist also zyklisch.Nur für p=q kann sowas dann auch mal anders aussehen.
MfG Jester
Ich glaub, da liegst du falsch.
Das G das direkte Produkt ihrer Sylowgruppen ist, gilt nur, wenn alle Sylowgruppen Normalteiler sind. Das ist aber nicht automatisch erfüllt.
Nimm zum Beispiel G = Diedergruppe der Ordnung 10 (p=2, q=5), dann ist G nicht zyklisch.Du hättest recht, wenn G abelsch.
asmodis
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Stimmt auch wieder... da war ich wohl zu schnell.
