möglich? Zerlegung von Mehrfachsumme in disjunkte Summen folgender Form

Hallo alle!

Habe mich neulich halb spaßeshalber (aber leider auch halb notwendigerweise) gefragt, ob eine Zerlegung einer endlichen Mehrfachsumme in disjunkte Summen einer bestimmten Form möglich sind.

Um konkret zu werden, es geht um folgende Summe:

$\sum_{\alpha_{0}, \alpha_{1}, ...,\alpha\_k = 0}^{n} ( 2^{\sum\_{i=0}^{k} \alpha_{i}} \prod_{i=0}^{k} \alpha_{i} )$ mit $\alpha_i \in {0,1}$

Dieses Teil ergibt sich, wenn man die Binärentwicklungen von k Zahlen miteinander multipliziert. Zusätzliche Symmetrie entsteht, wenn man sich nur k-te Potenzen von Zahlen ansieht, da dann alle Binärentwicklungen identisch sind (das würde reichen, um mein Problem lösen).

Ich brauche die Summe in einer geschlossenen (programmierbaren) Form, so dass nur Summen der Form

$\sum_{\alpha_{0} \neq \alpha_{1} \neq ... \neq \alpha_{m} = \alpha_{m+1}= ... = \alpha\_k}^{n} ( 2^{\sum\_{i=0}^{k} \alpha_{i}} \prod_{i=0}^{k} \alpha_{i} )$

auftauchen.

Gesucht ist also eine Zerlegung in disjunkte Summen, so dass man nie einen Indexwert doppelt benutzt, ohne es vorher genau zu wissen.

Der letzte Satz klingt hoffentlich weniger kryptisch, wenn ich den Hintergrund erkläre:

Das Programm, dass diese Multiplikation ausführt, läuft auf der Simulation eines Quantencomputers. Das Google: no cloning theorem besagt, dass man einen beliebigen Quantenzustand nicht kopieren kann, das heisst man hat effektiv nur eine Instanz seiner Zahl in einem Quantenregister gespeichert (in Binärdarstellung), und muss diese mittels gewisser Quantenoperationen mit sich selbst multiplizieren.

Ohne allzusehr in die Details zu gehen: man muss für die Zerlegung obiger Summe in Quantenoperationen vorher wissen, ob Indizes doppelt vorkommen (also ob die alphas von der Form (0,1,2,3,4) (alle verschieden, in diesem Fall aufsteigend sortiert) sind oder zB (0,0,2,3,3) (einige doppelt)). Wenn Interesse besteht, kann ich das noch näher ausführen.

Danke im Voraus!

P.S. frohen Faschingsdienstag