Äquivalenzumformungen

<b>1)</b> Verwendet man das Äquivalenz-Zeichen <=> nur bei Äquivalenzumformungen, z.B.

2x - x + 4 = 7 | + 2

oder kann man es zwischen beliebigen äquivalenten Gleichungen, d.h. auch ohne Umformung) verwendent? Ein Beispiel ist

x(x-2) = 2 <=> x²-2x = 2

<b>2)</b> Außerdem habe ich gerade gelesen, dass Quadrieren und Wurzelziehen keine Äquivalenzumformungen sind, da die Lösungsmene der Gleichung dabei geändert wird. Doch Quadrieren ist ja nur ()² ("hoch zwei"). Wie ist es allgemein für ()^x mit x = 3, 4 etc?
Ein anderes Beispiel das ich im Internet gelesen habe ist
x² = 4 | Wurzel ( L = {-2,2})
<=> x = Wurzel(4) = 2 ( L = {2})

Das die Lösungsmenge durch das Wurzelziehen verändert wurde war die Begründung, dass es keine Äquivalenzumformung ist und die Verwendung von <=> dementsprechend hier auch falsch ist. Aber wenn man die positive und negative Wurzel nimmt, dann ist die Lösungsmenge nach der Umformung identisch mit der vor der Umformung:

x = +/-Wurzel(4) = 2 ( L = {-2,2})

Also denke ich das es falsch ist einfach nur die positive Wurzel zu nehmen und dass das Wurzelziehen (jedenfalls die zweite Wurzel) doch eine Äquivalenzumformung sein müsste.

Ideen?

Abbadon

Das Äquivalenzzeichen benutzt man, wenn die beiden Gleichungen links und rechts davon Äquivalent sind. Ob du da jetzt irgendwie was umgeformt hast, oder richtig geraten hast oder Gott zu dir gesagt hat das die beiden Gleichungen äquivalent sind spielt keine Rolle, solange es stimmt. Bei nichttrivialen dingen sollte man die äuqivalenz aber begründen begründen, vorallem bei Übungsaufgaben oder in einer Klausur.

Ja, Quadrieren und Wurzelziehen sind keine Äquivalenzumformungen:
z.B. f^2 = g^2 <=> f = g ist falsch, richtig wäre:
f^2 = g^2 <=> |f| = |g|.

Doch Quadrieren ist ja nur ()² ("hoch zwei"). Wie ist es allgemein für ()^x mit x = 3, 4 etc?

Bei ungeraden Potenzen ists ne Äquivalenzumformung, bei geraden nicht.

Also denke ich das es falsch ist einfach nur die positive Wurzel zu nehmen und dass das Wurzelziehen (jedenfalls die zweite Wurzel) doch eine Äquivalenzumformung sein müsste.

Die Wurzel ist immer positiv (ist so definiert), wenn du +/- vor die Wurzel schreibst ist das natürlich was anderes.

Bashar

Foster Kane schrieb:

x = +/-Wurzel(4) = 2 ( L = {-2,2})

Schreib besser
|x| = Wurzel(4)

Ist im Endeffekt die gleiche Fallunterscheidung, aber dafür eindeutig notiert. +/- ist immer so wischi-waschi.

Taurin

Bashar schrieb:

Ist im Endeffekt die gleiche Fallunterscheidung, aber dafür eindeutig notiert. +/- ist immer so wischi-waschi.

Wieso? Das ist doch eher Geschmackssache... Und über Geschmack sollte man nicht streiten

Jester

Abbadon schrieb:

Bei ungeraden Potenzen ists ne Äquivalenzumformung, bei geraden nicht.

Aber im komplexen auch nicht mehr.

Ist das Logarithmieren auf beiden Seiten der Gleichug eine Äquivalenzumformung?

Abbadon

Ist das Logarithmieren auf beiden Seiten der Gleichug eine Äquivalenzumformung?

Wenn man auf beiden Seiten Logarithmieren kann, also wenn beide Seiten größer als Null sind, dann schon.

Und wie sieht es aus, wenn man beide Seiten der Gleichung zum Exponenten einer gemeinsamen Basis machen will, z.B.

log(x) = 5 | 10^() <=> 10^log(x) = 10⁵ <=> x = 10^5

Wie heißt dieser Vorgang? Exponentieren?
Es ist ja wie aus dem Beispiel schon ersichtlich ist die Umkehrung des Logarithmus. Heißt das, dass nur beide Gleichungsseiten > 0 sein müssen, damit das Exponentieren eine Äquivalenzumformung ist?

Abbadon

Überleg dir das doch mal selber! Wenn eine Funktion f injektiv ist, das heisst wenn jeder Funktionswert höchstens einmal vorkommt, also wenn aus f(a)=f(b) folgt, dass a=b, dann ist es eine Äquivalenzumformung wenn man f auf beide Seiten der Gleichung anwendet.
Quadrieren ist nicht injektiv, da z.B. 1^2 = (-1)^2, also keine Äquivalenzumformung
Wenn man sich jetzt mal den Graphen der Exponentialfunktion ansieht, dann sieht man das die exponentialfunktion streng monoton steigend ist also aufjedenfall auch injektiv. Exponentieren (bin mir nicht sicher ob man das so nennt) mit beliebiger Basis b geht wenn b > 0 und b nicht 1. Es ist beim exponentieren egal ob da jetzt eine positive oder eine negative Zahl steht, da das exponentieren im gegensatz zum logartitmieren auch für negative Zahlen definiert ist.

Dankeschön