Zahlentheorie - Teilungsregeln

Hallo!

Wir haben heute in der FH ein Übungsblatt mit einigen Aufgaben bekommen. Bei der folgenden Aufgabe hängt es jedoch ein bisschen:

Welchen Stammbrüche lassen sich auf genau eine Weise als arimethisches Mittel von zwei verschiedenen Stammbrüchen darstellen?

Also: (1/a + 1/b) / 2 = 1/c

Folgendes habe ich mir schon überlegt:

(1/a + 1/b) / 2 = (b + a) / 2ab

Die 2 kann man ja vorerst vernachlässigen und demnach müsste man nur noch feststellen wann a * b ohne Rest durch a + b teilbar ist. habt ihr dazu Ideen?

Thx in advance!

volkard

bei schwirigen sachen sucht man zuerst die lösung und später erst den beweis.

mal ein prog schreiben, was zahlen für c ausgibt.
erstmal
(1/a+1/b)/2 == 1/c
umformen, damit ints reichen, um rechenfehler bei doubles
auszuschliessen
(c/a+c/b)/2 == 1
(c/a+c/b) == 2
c/a+c/b == 2
c*b+c*a == 2*a*b

#include <iostream> 
using namespace std; 

int main(int argc, char *argv[]){ 
	int MAX=30000;
	for(int c=1;c<MAX;++c){
		int count=0;
		for(int b=1;b<MAX;++b){
			for(int a=1;a<MAX;++a){
				if(a>=b)
					continue;
				if( 2*a*b==c*b+c*a){
					++count;
//					cout<<"1/"<<a<<"+1/"<<b<<"==1/"<<c<<endl;
				}
			}
		}
		if(count==1)
			cout<<c<<endl;
	}
}

naja, dauert ein wenig und evtl sind die zahlen insbesondere in höheren bereichen nicht gerade glaubwürdig, weil der rechner ja nicht unterscheidet zwischen "gibt es nicht" und "gibt es nicht bis MAX". die kleinen zahlen am anfang kann man aber mal untersuchen, ob man eine gesetzmäßigkeit findet.

3 4 5 6 7...
naja, alle zahlen halt.

3 4 5 6 7 10 11 13 14 17 19...
öhm. was ist denn an dieser folge dran? vielleicht nur die zahlen mit weniger als 3 teilern? nee. 6 hat 1,2,3 und 8 hat 1,2,4 und die 6 ist drin und die 8 nicht.

3 4 5 6 7 10 11 13 14 17 19 22 23 26 29 31...
mal im internet nach der folge gucken. ok, es ist nur eine mit namen bekannt. http://www.research.att.com/projects/OEIS?Anum=A001751
der name lautet "Primes together with primes multiplied by 2."

ist es dir eine hilfe, zu wissen, was rauskommen muss?

wenn du dann auch den beweis hast, zeig ihn mir bitte.

Hallo volkard!

Danke für deine Mühen. Ich habe mir bereits auch gedanken zu den möglichen Nennern gemacht und auch auf die zahlen gekommen. aber am beweis happerts noch

klausi

borg

naja wenn wir volkards liste mal auffüllen:

c    a    b
3    2    6
4    3    6
5    3    15
6    4    12
7    4    28
10   6    30
11   6    66
13   7    91
14   8    56
17   9    153
19   10   190

dann können wir feststellen:
falls c prim: c = b/a
sonst: c = (b/a)*2

dann sehen wir erstmal sofort, aha: c kann nur primzahl oder 2*primzahl sein.

das heißt also entweder es gilt:
0 = 2a²b -b² -ab
oder
0 = a²b -b² -ab

wenn eins von beiden gilt, hab ich ein a und ein b gefunden, für das es c auf nur genau diese weise gibt.
ööööh, naja vielleicht bringts ja was, ich hab kein zeit mehr
(aber lustige aufgabe )

Also könnte man sagen, daß sich alle Stammbrüche, deren Nenner eine Primzahl sowie Primzahl*2 ist, sich als arimethisches Mittel zweier anderer Stammbrüche darstellen lassen. Jetzt müsste man dies nur noch noch beweisen... mhhhhhhh