Reihen // Beschränktheit von Folgen

nep

Hi...

Bei folgender Reihe soll ich auf Konvergenz prüfen und gegebenenfalls die Summe berechnen.
S = 4/(2*6) + 4/(3*7) + 4/(4*8) + ...

Die Reihe ist konvergent. Das hab ich mithilfe des Wurzelkriteriums geprüft. Aber wie kann man jetzt die Summe ermitteln ? Da fehlt mir irgendwie der Ansatz.. (oder geht das so wie unten, mithilfe der n-ten Partialsumme ?)

Ein anderes Beispiel wäre z.B.
S = 1 / (1*2*3) + 1 / (2*3*4) + 1 / (3*4*5) + ...
Um von dieser konvergenten Reihe die Summe zu berechenen soll man zuerst die n-te Partialsumme ermitteln. Aber wie das genau funktioniert weiß ich auch nicht... Als Ansatz habe ich:

Sn = 1/(1*2*3) + 1/(2*3*4) + ... + 1/( n*(n+1)*(n+2) )

Dann:
1/( n*(n+1)*(n+2) ) = A/n + B/(n+1) + C/(n+2)

Das ganze dann multipliziert mit n*(n+1)*(n+2) ergibt:
1 = A(n+1)(n+2) + B*n*(n+2) + C*n*(n+1)

Aber das wars dann auch schon...

Eine andere Frage: Wie kann man eigentlich allgemein rechnerisch die Beschränktheit einer Folge überprüfen ? Man geht ja normal so vor, dass man erst ein paar Glieder der Folge ausrechnet, und dann eine Vermutung bezüglich der Schranke S aufstellt. Dann kann man doch sagen, dass a(n) - S >= 0 sein muss wenn die Folge nach unten beschränkt ist, und bei Beschränktheit nach oben muss dann halt S - a(n) >= 0 gelten oder ? Oder macht man das anders ?
Ok ist bisschen blöde Frage, aber irgendwie find ich das hier nirgends wo das konkret steht wie man es macht... das hier sind noch meine groben Erinnerungen aus der Schule...

Ich hoffe mal dass mir jemand weiterhelfen kann, v.a. bei den Reihen...
Danke schon mal..

asmodis

Bin mir nicht mehr ganz sicher, aber bei Folgen gab es glaub ich zwei Kriterien:
Monotonie Kriterium: Wenn eine Folge monoton und beschränkt ist, dann ist sie konvergent.

"Cauchy-Kriterium": wenn eine Folge eine Cauchy-Folge ist, dann konvergiert sie.

Bei beiden brauchst du nicht den Grenzwert der Folge.

Wie man den Grenzwert einer Reihe ausrechnet weiß ich nicht auch nicht mehr, aber vielleicht über Induktion eine Formel für die n-te Partialsumme finden und dann n gegen unendlich gehen lassen?

asmodis

edit: Doppelpost

S = 4/(2*6) + 4/(3*7) + 4/(4*8) + ... = sum(4/((n+1)*(n+5)),n=0..infinity)

=4/(n^2+6*n+5)

das kann man mit der zeta ftk abschaetzen also damit und dem majoranten kriterium die konvergenz beweisen.

bei dem wert bin ich mir nicht wirklich sicher vlt mit riemann integration
jerdenfalls meint mein maple es kommt 25/12 dabei raus.

gibt es ein wurzelkriterium fuer normale reihen?

das war doch fuer potenzreihen oder?

mata

potenzreihen sind auch reihen.

lol schon klar

nur ist diese keine SPEZIELLE potenzreihe