Untervectorraum des R^2

Jester

Ich halte Deine Lösung für korrekt. Etwas einfacher machst Du es uns (und es ist außerdem ne gute Übung) jeweils noch dazuzuschreiben, warum es kein UVR ist. Eben welches Axiom verletzt wird. Bei dem Punkt wäre es: (0,0) ist nicht enthalten.

MfG Jester

Bashar

Das ist aber kein Axiom

Jester

Denken ist natürlich nach wie vor erlaubt. (0,0) ist das Neutralelement des R^2 als VR aufgefaßt. Und da ein VR insbesondere Gruppe sein muß muß dieses enthalten sein.

Hallo, ok ich versuch mal die Begründungen zu geben:

Soweit ich verstanden habe, reicht es zu zeigen:

Eine Teilmenge U eines R Vectorraumes V heißt Untervectorraum, wenn gilt
(1)  0 element U
(2)  u,v Element U => u+v element U
(3)  u Element U, [e]alpha[/e] Element R => [e]alpha[/e]u Element R

a)  {(0,0)} ist einer 

weil (0,0)+(0,0) = (0,0) und [e]alpha[/e] (0,0) = (0,0) und (0,0) ist enthalten mit [e]alpha[/e] element R.

b)  {(1,2)} ist keiner
(0,0) fehlt    
und 
(1,2)+(1,2) = (2,4) ist nicht mehr in der gegeben menge.

c)  {(0,0),(1,2)} ist keiner 
(1,2)+(1,2) = (2,4) ist nicht mehr in der gegeben Menge

d)  {x*(1,2) | x Element R} ist einer 

(0,0) ist in der Menge  (0,0) = 0*(1,2)
(1,2)+ [e]alpha[/e](1,2) mit [e]alpha[/e] Element R ist wieder in der Menge
[e]alpha[/e] (1,2) mit [e]alpha[/e] Element R ist auch wieder in der Menge

e)  {(2,1)+x(1,2) | xElement R} ist keiner 
(0,0) ist nicht in der Menge, weil kein x Element R existiert mit
(2,1) + x (1,2) =(0,0)

f)  {x* (1,2) | xElement R} vereinigt mit {z*(1,0) z Element R} ist keiner

(1,2) + (1,0) = (2,2) ist nicht mehr in der Menge

Ist das richtig so?

Jester

Ja, alles richtig.

Jester

Anmerkung für faule:

man kann Bedingung (2) und (3) auch zusammenfassen.
u,v Elememente von U, α in R => u+α*v in U.

Denn mit α=1 folgt dann (2) und mit u = Neutralelemente folgt (3).

MfG Jester

Bashar

$\vec{0} \in V$ folgt u.a. aus der Abgeschlossenheit der Multiplikation mit einem Skalar.

Jester

Ähtsch, jetzt bist Du an ner Feinheit hängen gelieben.

Die leere Menge ist zwar unter allen geforderten Operationen abgeschlossen, aber kein UVR. Wenn die Menge aber nichtleer ist, dann stimmt's.

Bashar

*grmpf*

OK aber Nichtleere ist ein schöneres Axiom als Enthaltensein des Nullvektors.

Jester

Bashar schrieb:

OK aber Nichtleere ist ein schöneres Axiom als Enthaltensein des Nullvektors.

Stimmt.

Meine Nachweise sehen dann aber oft so aus:
Nullvektor drin => nichtleer.