Untervectorraum des R^2

[MisterX]

Hallo,

ich habe mich mit dem Thema Untervektorräumen befasst und meine
bezüglich Untervectorräumen des R^2

a)  {(0,0)} ist einer
b)  {(1,2)} ist keiner
c)  {(0,0),(1,2)} ist keiner
d)  {x*(1,2) | x Element R} ist einer
e)  {(2,1)+x(1,2) | xElement R} ist keiner
f)  {x* (1,2) | xElement R} vereinigt mit {z*(1,0) z Element R} ist keiner

Stimmt das?
Ich muss sicher sein können, das richtig verstanden zu haben!

[lookias]

a: true
b: wenn du den span meinst dann false
c: ---------------------""-----------
d: true das ist der span von 1,2 auch <1,2>
e: true affiner punktraum
f: true

[SG1]

lookias schrieb:

b: wenn du den span meinst dann false
c: ---------------------""-----------

Ich vermute mal, er meint das, was da steht. Das stimmt nämlich.

[lookias]

den einzelnen punkt?

[Bashar]

Ja, steht doch so da.

[lookias]

ja wird so sein

in der theoretie ist die frage auch berechtigt sry

[MisterX]

Hallo,

in den Übungsaufgaben steht wirklich nur der eine Punkt!

[Jester]

Ich halte Deine Lösung für korrekt. Etwas einfacher machst Du es uns (und es ist außerdem ne gute Übung) jeweils noch dazuzuschreiben, warum es kein UVR ist. Eben welches Axiom verletzt wird. Bei dem Punkt wäre es: (0,0) ist nicht enthalten.

MfG Jester

[Bashar]

Das ist aber kein Axiom

[Jester]

Denken ist natürlich nach wie vor erlaubt. (0,0) ist das Neutralelement des R^2 als VR aufgefaßt. Und da ein VR insbesondere Gruppe sein muß muß dieses enthalten sein.

[MisterX]

Hallo, ok ich versuch mal die Begründungen zu geben:

Soweit ich verstanden habe, reicht es zu zeigen:

Eine Teilmenge U eines R Vectorraumes V heißt Untervectorraum, wenn gilt
(1)  0 element U
(2)  u,v Element U => u+v element U
(3)  u Element U, [e]alpha[/e] Element R => [e]alpha[/e]u Element R

a)  {(0,0)} ist einer 

weil (0,0)+(0,0) = (0,0) und [e]alpha[/e] (0,0) = (0,0) und (0,0) ist enthalten mit [e]alpha[/e] element R.

b)  {(1,2)} ist keiner
(0,0) fehlt    
und 
(1,2)+(1,2) = (2,4) ist nicht mehr in der gegeben menge.

c)  {(0,0),(1,2)} ist keiner 
(1,2)+(1,2) = (2,4) ist nicht mehr in der gegeben Menge

d)  {x*(1,2) | x Element R} ist einer 

(0,0) ist in der Menge  (0,0) = 0*(1,2)
(1,2)+ [e]alpha[/e](1,2) mit [e]alpha[/e] Element R ist wieder in der Menge
[e]alpha[/e] (1,2) mit [e]alpha[/e] Element R ist auch wieder in der Menge

e)  {(2,1)+x(1,2) | xElement R} ist keiner 
(0,0) ist nicht in der Menge, weil kein x Element R existiert mit
(2,1) + x (1,2) =(0,0)

f)  {x* (1,2) | xElement R} vereinigt mit {z*(1,0) z Element R} ist keiner

(1,2) + (1,0) = (2,2) ist nicht mehr in der Menge

Ist das richtig so?

[Jester]

Ja, alles richtig.

[Jester]

Anmerkung für faule:

man kann Bedingung (2) und (3) auch zusammenfassen.
u,v Elememente von U, α in R => u+α*v in U.

Denn mit α=1 folgt dann (2) und mit u = Neutralelemente folgt (3).

MfG Jester

[Bashar]

$\vec{0} \in V$ folgt u.a. aus der Abgeschlossenheit der Multiplikation mit einem Skalar.

[Jester]

Ähtsch, jetzt bist Du an ner Feinheit hängen gelieben.

Die leere Menge ist zwar unter allen geforderten Operationen abgeschlossen, aber kein UVR. Wenn die Menge aber nichtleer ist, dann stimmt's.

[Bashar]

*grmpf*

OK aber Nichtleere ist ein schöneres Axiom als Enthaltensein des Nullvektors.

[Jester]

Bashar schrieb:

OK aber Nichtleere ist ein schöneres Axiom als Enthaltensein des Nullvektors.

Stimmt.

Meine Nachweise sehen dann aber oft so aus:
Nullvektor drin => nichtleer.