4. Determinanten

Determinanten

  • ?

    Hallo,

    ich lerne gerade Determinanten zu berechnen.
    Für n*n Matrizen mit n<=3 ist mir alles klar. Aber ich verstehe noch nicht ganz, was man bei größeren quadratischen Matrizen macht.

    Ich weiß z.B. das folgende Matrix die Determinante = 85 hat.
    Aber wie berechnet man das?

    (Ich vermute, dass es einem hilft, dass die erste und letzte Spalte fast
    die Negation voneinander sind, aber ich weiß nicht genau, wie ich das nutzen
    soll)

    / 2  1  0 -2 \
 | 1  3  3 -1 |
 | 3  2  4 -3 |
 \ 2 -2  2  3 /
    0
  • L

    da gibet verschiedene verfahren

    ich denke dass du mit <= 3 die saurussche regel meinst

    ansonsten wuerde man das ueber entwicklung nach einer zeile machen

    kann das hier nur kurs erklaehren:

    das geschieht in dem man die multilinearitaet ausnutzt und die matrix einfach in summanden zerreisst
    und zwar so dass man jeweils immer faktorten rausziehen kann und danch dann die naechst kleinere(genannt adjungierte matrix) bearbeitet

    stichpunkt: laplacscher entwicklungssatz

    0
  • L

    wenn zwei zeilen gleichoder vielfache sind ist die determinante eh null da sie dann nicht mehr regulaer ist

    man kann regularitaet auch ueber die determinante definieren

    0
  • D

    du kannst wie lookias bereits gesagt hat, nach einer Reihe entwickeln.

    Wenn du nach der ersten Reihe entwickeln würdest, sieht das etwa so aus:

    (210−2133−1324−32−223)=2∣33−124−3−223∣−1∣13−134−3223∣+0∣13−132−32−23∣−(−2)∣1333242−22∣\left( \begin {array} {cccc} 2 & 1 & 0 & -2 \\ 1 & 3 & 3 & -1 \\ 3 & 2 & 4 & -3 \\ 2 & -2 & 2 & 3 \end {array} \right) = 2 \left| \begin {array} {ccc} 3 & 3 & -1 \\ 2 & 4 & -3 \\ -2 & 2 & 3 \end {array} \right| - 1 \left| \begin {array} {ccc} 1 & 3 & -1 \\ 3 & 4 & -3 \\ 2 & 2 & 3 \end {array} \right| + 0 \left| \begin {array} {ccc} 1 & 3 & -1 \\ 3 & 2 & -3 \\ 2 & -2 & 3 \end {array} \right| - (-2) \left| \begin {array} {ccc} 1 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \\ 2 & -2 & 2 \end {array} \right|

    Warum bricht Latex einfach in der Zeile ab???

    Die letzte Determinante soll natürlich so aussehen:

    ∣1333242−22∣\left| \begin {array} {ccc} 1 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \\ 2 & -2 & 2 \end {array} \right|

    Jetzt hast du ja nur 3x3 Matrizen, die du ja ausrechnen kannst.

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  • L

    hab das mal in dem linalg buch von benno arthmann gelernt da ist das sehr anschaulich erklaehrt

    0
  • ?

    Mit dem Tipp, sich die erste und letzte Spalte anzuschauen, kommt man schon mal etwas weiter. Dann fällt einem nämlich auf, dass die sich bis auf den Wert in der letzten Zeile aufheben.
    Egal ob man die erste zur letzten Spalte addiert oder die letzte zur ersten, man bekommt eine Spalte mit drei Nullen und in der letzten Zeile 5.
    Diese Spalte und die Zeile mit der 5 werden "ausgeblendet". Damit erhält man eine 3x3-Matrix, deren Determinante man sehr einfach ausrechnen kann.
    Dieser Wert wird dann mit den 5 multipliziert.

    Zu beachten ist aber noch das Vorzeichen. Bei Entwicklung nach der i-ten Zeile und k-ten Spalte berechnet sich das Vorzeichen mit:
    Vz = (-1)^(i+k)

    Für die Entwicklung nach 1. Spalte und 4. Zeile ist das Vorzeichen also negativ.
    Die Determinante der 3x3-Matrix ist (-17)
    Macht also (-17)*(-1)*5 = 85

    Und für die Entwicklung nach der 4. Spalten und 4. Zeile ist das Vorzeichen positiv. Die Determinante der 3x3-Matrix in dem Fall 17
    Insgesamt also auch wieder 85.

    Bitte schreiben, fals die Erklärung falsch ist!

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  • W

    Am einfachsten ist es den Gauß anzuwenden und die Elemente der Hauptdiagonale zu multiplizieren.

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  • H

    Walli schrieb:

    Am einfachsten ist es den Gauß anzuwenden und die Elemente der Hauptdiagonale zu multiplizieren.

    Stimmt, gilt aber nur, wenn du das Verfahren streng nach Vorschrift einhältst. Die Schulmathematik lehrt dieses Verfahren aber nicht dtreng genug. z.B. darfst du ja nicht einfach eine bel. Zeile mit einem Faktor multilizieren, worauf in der schule nicht geachtet wird, wenn einem Gauss beigebracht wird.

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  • W

    Ich gehe natürlich davon aus, dass man den Gauß vernünftig anwendet, also nachher eine obere Dreiecksform erhält.

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  • T

    Mit Gauß: Die Matrix auf obere Dreickecksform bringen, dabei die Anzahl der Zeilenvertauschungen mitzählen. Die Determinante ist dann das Produkt der Diagonalmatrix mal (-1)^(Anzahl der Vertauschungen).
    Beim Anwenden von Gauß keine Zeile einfach mit einem Faktor multiplizieren,
    erlaubte Operationen sind:
    (1) Von einer Zeile ein beliebiges Vielfaches einer anderr Zeile abziehen
    (2) Zeilen vertauschen
    Anfangen könnte man hier z.B., indem man 1/2-fach der ersten Zeile von der zweiten Abzieht.
    Dommels Ansatz geht natürlich auch (auf dem Papier vielleicht sogar besser, auf Computer würde man für große Matrizen immer Gauß nehmen).

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