beweis: potenzregel der ableitung?

[otze]

also, wir machen nun in mathe erste einblicke in die ableitungen von funktionen.
heute haben wir herausgefunden, dass

die ableitung von
aⁿ

n*a^n-1

ist.
leider hat unser mathelehrer uns den beweis dafür verschwiegen, dass n jede beliebige rationale zahl sein kann, und zwar mit den worten: "das ist zuviel rechnerei, glaubt mir einfach, dass das so ist".
Nunja, ich wollte mal fragen, ob jemand den beweis posten kann?

[masterofx32]

Ist eigentlich recht einfach, wahrscheinlich war dein Mathelehrer zu faul oder wollte sich keine neuen Fragen aufladen

http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Ableitung/Pics/BewPtnz.gif

[lookias]

hm is ja garnet so viel gerechne

hattet ihr eigentlich schon den differentialquotient?

[otze]

masterofx32 schrieb:

Ist eigentlich recht einfach, wahrscheinlich war dein Mathelehrer zu faul oder wollte sich keine neuen Fragen aufladen

http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Ableitung/Pics/BewPtnz.gif

hmm damit komm ich nich zurecht...die erste zeile is ja noch klar, aber wie er dann zur zweiten kommt will mir nich klarwerden^^

vielleicht liegts ja auch daran, dass wir in der schule irgendwie etwas anders abgeleitet haben(hoffe, man kanns auch ohne latex lesen):

lim( (f(x+h)-f(x))/h)
h->0

[Bashar]

In dem Beweis wird $n\in \mathbb{N}$ vorausgesetzt, gefragt war aber nach rationalem n.

[lookias]

ja mit rationalem n geht das nicht

aber versuch mal polynomdivision von zeile 1 zu 2 dann wird dir das klar

[guyondrugs]

otze:
$f'(x\_0)=\lim\_{h \to 0} \frac{f(x\_0+h)-f(x\_0)}{h}$
und
$f'(x\_0)=\lim\_{x \to x\_0} \frac{f(x)-f(x\_0)}{x-x_0}$
sind äquivalent.
Einfach mal für h $x - x_0$ einsetzten.

[Jester]

Für allgemeinen Exponenten a muß man sich anschauen wie die allgemeine Potenz definiert ist:

x^a = e^{log(x)*a} Ableiten: (x^a)' = e^{log(x)\*a} \* \frac{a}{x} = \frac{a}{x} * x^a = a*x^{a-1}.

Allerdings ist Potenzieren mit bel. Exponenten nur für Basis x>0 definiert.