Mittelwertsatz
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Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit dem Mittelwertsatz:
Es sei f:[a,b] -> R stetig und auf ]a,b[ differenzierbar. Dann gibt es ein x Element ]a,b[ mit f'(x) =(f(b)-f(a))/(b-a)
Das verstehe ich auch
Aber nun steht im Buch:
Der Mittelwertsatz wird oft in folgender Formulierung verwendet:
Ist f: J -> R diffenrenzierbar, so gilt für a, a+h Element Jf(a + h) = f(a) + f'(a +z*h)*h für ein z Element ]0,1[.
Es stehen leider keine Erklärungen, Herleitungen oder sonstwas dazu!
Meine Fragen:
1. Was bedeutet diese Aussage (Umgangssprachlich)?
2. Wie sieht ein möglichts anschauliches Beispiel dazu aus?
3. Wie kann man diese Aussage aus dem Mittelwertsatz herleiten, oder die Aussage auf den Mittelwertsatz zurückführen?Mfg Andreas
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Ersetz mal a+h durch ein b. Dann siehste, daß die Aussage genau das gleiche ist wie er MWS.
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wenn du die gleichung so umstellst das auf der einen seite nur die ableitung steht
dann steht auf der andren eine sekante durch 2 punkte der kurve
der mittelwertsatz sagt nun es gibt eine tangente zwischen den beiden x werten a und b welche paralel zu der sekante ist
was an a+z*h zu erkennen ist
das ganze kann man sich am besten vorstellen in dem man die funktion einmal so dreht dass die beiden x werte auf der x achse liegen(2 nullstellen sind)
wenn die funktion also stetig ist muss es einen extremwert geben und dieser ist dann wegen steigung=0 paralel zur x achse