Volumen eines Drehkörpers

spitzenbleistift

Hallo!

Das Volumen eines Drehkörpers ist ja V = π∫f(x)²dx.
Wenn ich nun das Volumen eines Drehkoerpers haben moechte, das durch die Flaeche zwischen zwei Funktionen beschrieben wird koennte ich ja das Volumen des ausseren Koerpers berechnen und anschliessend das des inneren abziehen.

Aus einem Buch habe ich die Formel V = π∫(f(x)²-g(x)²)dx.
Wie kommt man auf diese Formel?

Ich meine mich daran erinnern zu koennen, dass unser Lehrer uns gesagt hat, dass V = π∫(f(x)-g(x))²dx nicht das Volumen eines solchen Koerpers ergibt, stehe im Moment aber auf dem Schlauch, warum das so ist.
Waere nett, wenn mir das jemand erklaeren koennte.

Danke und Gruss, Michael.

dEUs

Ich würde es jetzt so erklären:

Wenn ich nun das Volumen eines Drehkoerpers haben moechte, das durch die Flaeche zwischen zwei Funktionen beschrieben wird koennte ich ja das Volumen des ausseren Koerpers berechnen und anschliessend das des inneren abziehen.

Das als Formel ist ja:

$$V1 = \pi\int f(x)^2 dx $$$$V2 = \pi\int g(x)^2 dx $$

V = V1-V2

= \pi\int f(x)^2 dx-\pi\int g(x)^2 dx

= \pi\int (f(x)^2-g(x)2) dx

\neq \pi\int (f(x)-g(x))^2 dx$$

spitzenbleistift

dEUs schrieb:

V1 = π∫(f(x)²)dx
V2 = π∫(g(x)²)dx

V = V1-V2
= π∫(f(x)²)dx-π∫(g(x)²)dx
= π∫(f(x)²-g(x)²)dx
!= π∫(f(x)-g(x))²dx

Danke fuer die schnelle Antwort, also wie man auf die Formel kommt ist ja ziemlich einfach und mir jetzt klar.

∫(f(x)-g(x))dx waere ja die Flaeche zwischen den Funktionen.
Man koennte doch also (faelschlich) denken, dass π∫(f(x)-g(x))²dx stimmt.
Kann jemand das vielleicht widerlegen? Ich mein', ich hab in Erinnerung, dass das falsch ist und wie man oben sieht stimmen die Volumen so ja nicht ueberein, aber ich habe im Moment Muehe, mir das anschaulich vorzustellen.

scrub

integral der summe == summe der integrale

ist (g - h)^2 das gleiche wie g^2 - h^2 ? ich würd sagen, offensichtlich nicht.
du kannst das problem einfach auf einen zweidimensionalen fall beschränken- die funktionswerte entsprechen dem radius der grundflächen, im trivialfall ein kreis. und was passiert beim kreis, wenn man den radius bspw. halbiert? der flächeninhalt (und damit auch das volumen eines darauf aufbauenden drehkörpers) viertelt sich.

@dEUs: vom code her ist mir unerklärlich, warum die erste zeile eingerückt wird. noch komischer: wenmn du gleich nach dem starttag $$ schreibst, wird zwar die erste zeile nicht mehr eingerückt, dafür aber alle anderen. sieht mir nach einem bug in dem LaTeX- inbildchenverwandler aus.

dEUs

scrub schrieb:

@dEUs: vom code her ist mir unerklärlich, warum die erste zeile eingerückt wird. noch komischer: wenmn du gleich nach dem starttag $$ schreibst, wird zwar die erste zeile nicht mehr eingerückt, dafür aber alle anderen. sieht mir nach einem bug in dem LaTeX- inbildchenverwandler aus.

ok, danke. Hab's jetzt mit den $$ per Trial&Error halbwegs annehmbar hinbekommen.

spitzenbleistift

Danke, srub, jetzt ist mir das klarer.
Ich werde mal eine Pause einlegen