nicht-archimedischer Betrag

Es sei R ein kommutativer Ring mit 1, N: R --> IR⁺₀.
1. N(x) >= 0. N(x) = 0 <==> x = 0
2. N(xy) = N(x)N(y)
3. N(x + y) <= max{N(x), N(y)}

Wie kann ich zeigen, dass für N(x) != N(y) sogar N(x + y) = max{N(x), N(y)} gilt?

MamboKurt

ich würds mal mit nem widersrpuchsbeweis versuchen...

versuch mal nachzuweisen, dass
N(x) != N(y) => N(x + y) < max{N(x), N(y)}.
wenn das net stimmt hast dus bewiesen.

Jester

angen.: N(x)>N(y), dann gilt:

N(x) = N(x+y-y) <= max { N(x+y), N(y) } <= max {N(x), N(y)} = N(x)

Also überall =.
Das liefert dann: max { N(x+y), N(y) } = N(x) und nach Voraussetzung: N(x)>N(y), also muß N(x+y)=N(x) sein.

MfG Jester

lookias

hallo jester
N(-y)=N(y)

beweis: ?

also ich wuerde auch die aussage anzweifeln denn:

N(1)=1
beweis:
N(1*x)=N(1)*N(x)=N(x)

wenn jetzt x+y=1 mit x!=y (gruppeneigenschaft)

dann führt N(x+y)=1 zum wiederspruch

Jester

N(-y) = N(y):

N(1) = 1 ist klar, oder?

1 = N(-1)*N(-1) => N(-1) =+/- 1, aber N(x)>=0, also N(-1) = 1. Damit nach
N(-y) = N(-1 * y) = N(-1)*N(y) = 1*N(y) = N(y).

Deine weitere Ausführung ist mir unklar, wo gibt's da nen Widerspruch?