Wurzel aus komplexer Zahl ziehen

Hallo,

wie berechnet man folgendes:?

Schreiben Sie die Zahl Wurzel((1+i*Wurzel(3))/2) in der Form x+iy

Wie zieht man generell Wurzeln aus Komplexen zahlen?

Jester

am einfachsten ist es, wenn Du die Zahl umschreibst als

r*e^(i*φ)

Dabei ist r gerade der Betrag Deiner Zahl, und phi der Winkel zur X-Achse den kriegste mit dem arctan. Jetzt kannste die Wurzel einfach ziehen, indem Du aus r die Wurzel ziehst und φ halbierst.

MfG Jester

Mal so aus Neugier:

Wie bekommt man das Ergebnis wieder in die Form a+bi ?

Jester

e^(iφ) = cos(φ)+isin(φ)
Dann noch mit dem r durchmultiplizieren. Voila!

MfG Jester

Superschnelle glasklare Antwort.
(Um 23.37 Uhr, nur 4 Minuten nach meiner Frage )
=> Jester, du bist echt mein Lieblingsmoderator Weiter so!!!!!!!!!!!!!!!

Hallo nochmal,

was mache ich denn, wenn ich noch eine Zahl(nicht in c) mit unter der Wurzel habe? Etwa so:

Wurzel((3 + i) z + 2)

mit z Element C

Jester

dann rechnest Du erstmal unter der Wurzel bis Du etwas von der Form x+i*y dastehen hast. Und wendest dann das Standardvorgehen an.

Hallo,

kannst du mir mal ein Beispiel vorrechnen (ich darf kein arctan benutzen sondern nur cos und sin)

Wurzel(7,5 + 3,5i)

Jester

Hm, also ohne arctan sieht's aber eher Mau aus. Keine Ahnung, wie ich das da vernüntig rausfinden soll.

@Jester
Wurzeln geben i.d.R. immer so viele Loesungen ab, wie die Ordnung der Wurzel ist. Das heist, du wuerdest bei einer Quadratwurzel 2 Loesungen bekommen. Fuer die erste Loesung halbierst Du den Winkel, fuer die zweite Loesung bleibt der Winkel unveraendert.

@MisterX
Komplexe Zahlen sind, wenn Du es vom Betrag her normierst auf dem Einheitskreis verteilt. Dann ist dein Realteil der cos(Winkel) und der Imaginaerteil der sin(Winkel). Fuer Dein Beispiel gilt:

(7,5+3,5i)=sqrt(68.5)(7,5/sqrt(68.5)+i3,5/sqrt(68.5))
Winkel nach Realteil: arccos(7.5/sqrt(68.5))=25Grad
Winkel nach Imaginaerteil: arcsin(3.5/sqrt(68.5))=25Grad

Jester

@Bitfresser: ist nicht wahr... und wie kriegst Du diesen Winkel ohne den arctan zu benutzen? Das ist doch die einzige Frage. Alles andere ist ohnehin geklärt. Ich ging davon aus, daß dann auch arccos und arcsin verboten sind, weil man damit ja genau dan arctan berechnet. Gesucht ist also ein Weg Wurzel rein algebraisch zu suchen... Und das ist nicht so einfach.

Ich hab keine Ahnung, warum Du so sarkastisch reagierst. Er schreib, dass er nur sin und cos benutzen darf. Nun, da er den Winkel braucht, muessen es wohl die Umkehrfunktionen dazu sein. Ansonsten verstehe ich die Frage des Fragestellers nicht.
Allgemein weiss ich auch nicht wie man Wurzel berechnet, aber fuer n=2 kann man ja zusehen, dass man ueber den Karthesischen Koordinaten den Vektor in die andere Richtung schauen laesst. Waere zumindest ein Ansatz.

Andreas XXL

Hallo,

ich habe in meinem alten Matheskript folgendes gefunden!

z = ( (1/2) + (1/2) Wurzel(3) * i )

Als erstes wird |z| bestimmt:

Wurzel ((1/2)^2 + ((1/2)*Wurze(3))^2)
= Wurzel ((1/4) + (1/2)*3)
= Wurzel ((1/4) + (3/4))
= Wurzel (1)
= 1

Soweit ist mir das auch klar!

nun geben die aber für den Winkel folgende Formel an:

cos Phi = x / |z|
oder
sin Phi = y / |z|

Nun rechnen die:

cos Phi = ((1/2) / 1)
= Phi = cos^-1 (1/2)
= 1.0471975... = (Π / 3)

Nun setzen die das ganze in die Formel ein, die auch Jester genannt hat.

z = 1 * e^(i* (Π/3))

Jetzt kommt das eigentliche Wurzelziehen:

Wurzel z = Wurzel(1) * e ^ (i * ((Π /3)/2)

<=> Wurzel z = 1 * e ^( i * (Π/6))

Also:

Wurzel Z = 1 * ( cos (Π/6) + i * sin (Π/6))

@ Jester: Kanst Du da BITTE was zu sagen! (Und es erklären)

Andreas XXL

Hallo nochmal,

auf das Beispiel von MisterX bezogen funktioniert das sogar:

Wurzel (7,5^2+3,52) = 8,276472679...

So nun die Formel x / |z| anwenden:

7,5 / 8,276472679 = 0.90618341

So nun cos^-1 (0.90618341) = 25.0168...

Und kein arctan benutzt

Jester

Bitfresser_ST schrieb:

Ich hab keine Ahnung, warum Du so sarkastisch reagierst.

Sorry, das liegt daran, daß ich es nicht mehr gewohnt bin, daß mir jemand erklärt, daß es sogar mehrere kompexe Wurzeln gibt.

Andreas XXL

Mist,

hätte mal Seite 1 ansehen sollen (Die ganze Arbeit für nix)

Jester

@AndreasXXL:

Wenn Du verstehen willst warum es funktioniert solltest Du einfach mal ne Zeichnung machen:

Zeichne Dir ein Koordinatensystem und zeichne Dir den Punkt z ein. Dann kannst Du ein rechtwinkliges Dreieck einzeichnen, dessen Hypothenuse die Verbindung vom Ursprung zum Punkt z ist.

z = x+i*y

Wenn Du Dir das eingezeichnet hast mußte eigentlich nur noch diese alten sinus / Gegenkathete/Hypothenus etc. hinschreiben. Da komment genau Deine Formeln raus.

Marc++us

Jester schrieb:

Sorry, das liegt daran, daß ich es nicht mehr gewohnt bin, daß mir jemand erklärt, daß es sogar mehrere kompexe Wurzeln gibt.

Deswegen ist die Wurzel ja so komplex.

Andreas XXL

Ja,

jetzt ist mir das auch klar (Ich hatte nur den Beitrag von Bitfresser_ST
nicht gesehen!

Immaginärteil
|
|              Z
|            /
|   |z|  /   |
|     /      | (3,5)
|  /         |
|/ PHi       |
|---------------------------------Realteil
   (7.5)

@ Mister X: Jetzt müsste doch wirklich alles klar sein, oder?

Ich entschuldige mich hiermit in aller Form bei einem grossartigen Mathematiker, der in diesem Forum schon mehr als einmal sein Wissen unter Beweis gestellt hat. Ich bin nicht davon ausgegangen, Jester wuesste nicht, dass man beim Wurzeln ziehen mehr als eine Loesung bekommt, sondern ich ging einfach davon aus, dass er es schlichtweg uebergangen hat. Ich wollte es der Vollstaendigkeit halber erwaehnen. Wenn ich dadurch altklug gewirkt habe tut mir das leid. Ich hoffe, dass man in Zukunft solche Probleme auf zivilisiertere Wege loesen kann, als sich sarkastisch anzugiften.