Wurzel aus komplexer Zahl ziehen

Jester

Schon okay.
Bitte entschuldige meine etwas pattzige Antwort.
Ich bin btw. kein Mathematiker (=> also auch kein großartiger ;)).

Ich hoffe, Du läßt Dich nicht so leicht vertreiben.

Nein, dafuer ist die Anaufstelle fuer C-Probleme doch zu interessant.

Ich hab mir nochmal Gedanken gemacht: Wir suchen eine Zahl a+jb, fuer die gilt:

(a+jb)(a+jb)=7,5+3,5j -> a*a - b*b + 2jab = 7,5 + 3,5j

2 Gleichungen, 2 Unbekannte:

a*a - b*b = 7,5
2ab = 3,5 -> b = 1,75/a
-> a*a - 1,75*1,75/(aa) = 7,5
-> na ja und dass endet in einer Sustitutionsgleichung: aa = z

Ganz ohne Polarkoordinaten ausgekommen

$\sqrt{a+bi} = x+yi$\\ $x_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{a}{2}+\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2}}$\\ $y_{1,2}=\pm\frac{1}{2x_{1,2}}$

oder so ähnlich

radikalinsky hat mit der ersten Gleichung einen richtigen Ansatz geliefert.

$a + bi = x^2+2ixy-y^2$
$bi-2ixy = x^2-y^2-a$
$i(b-2xy) = x^2-y^2-a$

da die rechte Seite reell ist, stimmt die Gleichung nur, wenn sie gleich Null ist, da auf der linken Seite die imaginäre Einheit steht!

$(I) b-2xy = 0$
$(II) x^2-y^2-a = 0$

und das löst man einfach!

$(I') x = \frac{b}{2y}$ in (II) eingesetzt:

$(II') \frac{b^2}{4y^2} - y^2 - a = 0$

$\frac{b^2}{4} - y^4 - ay^2 = 0$ biquadratische Gleichung: $z:=y^2$

$z^2+az+\frac{b^2}{4} = 0$

$z_{1,2} = -\frac{a}{2}\pm \sqrt{(\frac{a}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2}$

und nun y bestimmen:

$y = \pm \sqrt{-\frac{a}{2}\pm \sqrt{(\frac{a}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2}}$

und x erhält man mit:

$x = \frac{b}{2y}$