4. Abstand zweier Punkte auf einem Funktionsgraph

Abstand zweier Punkte auf einem Funktionsgraph

  • B

    hi,

    Gegeben sei die Funktion $$f(x)$$ (z.B. $$f(x) = x^2$$).
    Ist es davon ausgehend möglich die Länge des Graphen zwischen zwei Punkten ($$P_1$, P_2P\_2 ∈\in GfG_f$) zu errechnen.

    z.B.

    P1(1/1)P_1(1/1)

    P2(2/4)P_2(2/4)

    Ich meine natürlich nicht den "normalen" Abstand der beiden Punkte, sondern die Länge der krummen Linie, wenn man die Punkte durch die Funktion $$f(x)$$ verbindet.

    Danke im voraus!

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  • W

    Ja, kann man. Für die Bogenlänge von Punkt 1 zu Punkt 2 auf der Kurve f(x) gilt:
    s=∫x_1x_21+f′(x)dxs=\int_{x\_1}^{x\_2}\sqrt{1+f'(x)}\,dx

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  • W

    Wenn ich mich nicht verrechnet habe müsste bei dir s=535−3s=\frac{5}{3}\sqrt{5}-\sqrt{3} rauskommen.

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  • B

    Danke für die schnelle Antwort.
    Gilt die Formel für alle Funktionen ($$R$$ -> $$R$$)?
    Kann man das Integral allgemein (für alle f(x)f(x)) integralfrei schreiben?

    Ich bin auf das gleiche Ergebnis gekommen.

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  • J

    bluecode schrieb:

    Gilt die Formel für alle Funktionen ($$R$$ -> $$R$$)?

    Nein, nur für die rektifizierbaren. Aber für recht viele geht es. Die Funktion sollte auf jeden Fall stetig sein und dann noch stückweise glatt, das heißt nur ab und zu mal nen Knick und ansonsten differenzierbar.

    bluecode schrieb:

    Kann man das Integral allgemein (für alle f(x)f(x)) integralfrei schreiben?

    Nein, das geht nicht immer. Manchmal kommen halt Sachen raus die keine Stammfunktion besitzen. Du kannst das Integral dann aber trotzdem zum Beispiel Näherungsweise berechnen.

    MfG Jester

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  • B

    Jester schrieb:

    Nein, nur für die rektifizierbaren. Aber für recht viele geht es. Die Funktion sollte auf jeden Fall stetig sein und dann noch stückweise glatt, das heißt nur ab und zu mal nen Knick und ansonsten differenzierbar.

    Bedeutet rektifizierbar (auf dem Intervall [$$x_1;x_2$$] dann, dass die Funktion $$f(x)$$ die beiden Punkte $$P_1(x_1/f(x_1))$$ und $$P_2(x_2/f(x_2))$$ verbindet.
    Ist Stetigkeit und Differenzierbarkeit (mit endlich vielen Lücken bzw. Knicks) notwendig und gleichzeitig hinreichend für Rektifizierbarkeit?

    Danke. 👍

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  • J

    Rektifizierbar heißt, daß der Weg ne endliche Länge hat. Man kann nämlich so kranke Sachen bauen wo der Weg eben nicht mehr endlich lang ist.

    Stückweise Glattheit ist afaik auf jeden Fall hinreichend... ich weiß aber gerade nicht ob es notwendig ist.

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  • H

    Beachte
    x*sin(1/x)
    stückweise glatt sollte also nicht ausreichen 😉

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  • B

    hi,

    wo liegt bei $$f(x) = xsin($ \frac{1}{x} ))$ das Problem?

    f'(x) = sin($ \frac{1}{x} $) +$ \frac{cos(\frac{1}{x})}{x}$ $$s = $ \int_a^b $ \sqrt{1 + sin( \frac{1}{x} ) + \frac{cos(\frac{1}{x})}{x}} \,dx$ Jetzt müsste man halt \*nur\* noch die Stammfunktion finden 😃 Kann ich leider nicht 👎 😞
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  • W

    bluecode schrieb:

    Jetzt müsste man halt *nur* noch die Stammfunktion finden 😃

    Es gibt sehr wahrscheinlich keine analytische.

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  • B

    Es mag ja durchaus sein, dass es keine analytische Stammfunktion gibt.
    Was mich eigentlich interessiert ist, wie henselstep darauf kommt, dass die Funktion nicht rektifizierbar sei (oder versteh ich sein Post falsch 😕 ). Ich seh da irgendwie nicht so ganz das Problem (mag sein dass das daran liegt das ich "nur" Schüler mit MatheLK bin). Die einzige problematische Stelle ist vielleicht x = 0, aber sonst?

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  • F

    Die Funktion ist nicht rektifizierbar, da sie nicht von beschränkter Variation ist. Es gilt: var(f,z)≥∑1kvar(f, z) \ge \sum \frac 1 k (z Zerlegung des Intervalls (z.B. I=[0,1])).

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  • B

    hi,

    ich denke die Formel sollte

    L = $ \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,dx.$ heißen, oder? siehe [hier](http://de.wikipedia.org/wiki/Rektifikation_%28Mathematik%29)! Laut Wikipedia ist lediglich eine stetige Funktion Voraussetzung. Könntest du bitte erklären was Variation ist oder einen Link posten (weder Wikipedia noch google waren sehr informativ 😞 )! Danke im voraus. 👍
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  • F

    \gamma : [a,b] \mapsto \mathbb R
    varab(γ):=supV(γ,z)var_a^b(\gamma) := \sup V(\gamma, z) wobei z={a=t_0,t_1,...,tn=b}z = \{a=t\_0, t\_1, ..., t_n=b\} eine Zerlegung des Intervalls [a,b] und V(γ,z):=∑k=1n∣γ(t_k)−γ(t_k−1)∣V(\gamma, z) := \sum_{k=1}^n |\gamma(t\_k)-\gamma(t\_{k-1})| sein soll.
    Eine Funktion heißt dann von beschränkter Variation, wenn varab(γ)<∞var_a^b(\gamma) < \infty.

    Das heißt, du unterteilst das Intervall [a,b] in viele kleine Intervalle und summierst die Beträge der Differenzen der Funktionswerte an den Intervallgrenzen. Diese Summe muß dann < ∞ sein.

    Nimmst du jetzt die Funktion f=xcos(πx)f = x \cos(\frac \pi x) und Zerlegungen zn:={0,12n,12n−1,...,12,1}z_n := \{0, \frac 1 {2n}, \frac 1 {2n-1}, ..., \frac 1 2, 1\} kannst du nachrechnen, daß diese Funktion nicht von beschränkter Variation ist (analog für f=xsin(πx)f = x \sin(\frac \pi x)).

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