Schnittpunkt paralleler Geraden?

Kyon

Man sagt, dass sich parallele Geraden im 'Unendlichen' schneiden.
Was ist davon zu halten? Klingt irgendwie (für mich) nicht so richtig sinvoll.

Aber: transformiert man zwei parallele Geraden aus (z.B) dem R³ in homogene Koordinaten, haben sie tatsächlich einen Schnittpunkt (Beispiel bei bedarf).
Was soll also ein Schnittpunkt im Unendlichen sein?

Verwirrt mich irgendwie....

Evolver

Hmm, also davon hab ich noch nichts gehört. Aber ist es villeicht so zuverstehen, dass der Abstand der Gerade in der Relation zum Unendlichen gegen Null geht?

Taurin

Erklärungsversuch um R^2

Gegeben seien die Geraden
y = ax + b
y = cx + d

Jetzt machen wir ein paar Einschränken, wir machen ja nur ne Erklärung und
keinen formalen Beweise (den können die Mathematiker machen...):

Wähle: a != 0, c != 0, b != d

Und suchen wir die Schnittstelle, also

ax + b = cx + d

bzw.

x = (d - b) / (a - c)

Ist a - c sehr klein, sind die geradeen also beinahe parallel, wird x sehr groß.
Sind die geraden parallel, also a == c, wächst x über alle Grenzen.

borg

naja, der schnittpunkt von den beiden geraden ist "ihre richtung". das kannst du dir nicht direkt geometrisch vorstellen, es ist einfach so.

http://de.wikipedia.org/wiki/Projektive_Geometrie

Jester

Kyon schrieb:

Aber: transformiert man zwei parallele Geraden aus (z.B) dem R³ in homogene Koordinaten, haben sie tatsächlich einen Schnittpunkt (Beispiel bei bedarf).

Da hast Du's doch. Wenn Du Deinen Raum projektiv abschließt, dann schneiden sich zwei parallele Geraden im Abschluß. Ob Du diesen Punkt jetzt unendlich nennst oder nicht bleibt Dir überlassen. Das hängt ja nur noch davon ab von wo aus Du hinschaust.

Kyon

Na gut; im projektiven Raum $\mathbb{P}^2(\mathbb{R}^3)$ schneiden sich alle Geraden $L\subseteq \mathbb{P}^2$ , also auch parallele.

Danke für die Hinweise auf den richtigen Weg..

Jester

Es ist ganz interessant sich mal die verschiedenen affinen Teile eines projektiven Raums anzuschaun. Mach Dir mal den Spaß und nimm zwei Geraden, nimm den Punkt "unendlich" dazu (in P(R) (1:0) ). Da schneiden sich die Geraden dann, soweit klar. Jetzt kannst Du aber auch andere Punkte wegwerfen um auf einem affinen Teil zu landen. Dort sieht die Situation ähnlich aus. Keiner der Punkte des Raums ist wirklich speziell, es kommt wirklich nur darauf an von wo Du schaust.

Ganz graß ist es bei Hyperbel und Parabel. Projektiv sind sie gleich. Die affinen Bilder unterscheiden sich jenachdem, welchen Punkt Du rausnimmst.

Kyon

Hmm, sowas lese ich auch gerade:
"Wenn man aus einer projektiven Ebene eine projektive Gerade [..] weglässt, erhält man eine affine Ebene".

Das ist mir nicht so ganz klar; die 'restlichen' uneigentlichen Geraden der Ebene sind doch noch da, dann kann es doch nicht richtig affin sein oder? Gibts dazu (detaillierte) Beispiele...?

Ach ja, weiß jemand, wer auf die _geniale_ Idee gekommen ist, den affinen Raum mit 'unendlichen' Punkten zu erweitern; gefällt mir sehr gut....

Jester

Kyon schrieb:

Das ist mir nicht so ganz klar; die 'restlichen' uneigentlichen Geraden der Ebene sind doch noch da, dann kann es doch nicht richtig affin sein oder? Gibts dazu (detaillierte) Beispiele...?

Jo klar.

Nimm mal den $\mathbb{P}(\mathbb{R}^2)$ .
Ein Punkt sieht da so aus: $(x0:x1:x2)$ mit $x_i \in \mathbb{R}$ .
So. Jetzt lassen wir mal Den Teil weg x0=0 weg. Dann können wir o.E. die übrigen Punkte so schreiben: $(1:x\_1':x2\_')$ . Das kann man aber leicht
bijektiv in den $\mathbb{R}^2$ abbilden: $pr(1:x\_1:x\_2) := (x\_1, x\_2)$

Daß ich wirklich ne projektive Gerade rausgenommen hab sieht man recht leicht:
Wenn $x_0$ immer 0 ist, dann muß wohl immer eine der anderen Koordinaten != 0 und skalieren dürfen wir immer noch, also haben wir, wenn wir die 0 vorne vergessen einen $\mathbb{P}(\mathbb{R})$ vor uns.

Wenn Du jetzt ne andere projektive Gerade rausnehmen willst, dann kannst die auch einfach vorher mit ner linearen Abbildung so transformieren, daß sie so aussieht, wie die eben. (Koordinatenwechsel). Daran sieht man dann, daß es egal ist welche projektive Gerade man rausnimmt.

MfG Jester