Komische Mengen

Hallo,

hier steht die Menge Z2[x]/<x^2+x+1> und das die Menge 4 element hätte!

Warum ist das so und wie rechnet man in solch einer Menge?
Ich kann mir da irgendwie ni9x drutnet vorstellen!

Nun, Du hast einen Zaehler, daher wahrscheinlich das Z2(x). Der Nenner ist ein Polynom 2. Grades. Um jetzt zu sagen, was fuer eine Menge mit 4 Elementen gemeint ist, muesste man die Aufgabe sehen, die dazu gestellt ist. Vielleicht wird fuer Z2(x) ein Polynom 6. Grades gesucht, so dass der Gesamtausdruck 4 Nullstellen hat. Aber das ist wilde Spekulation und fuehrt zu nichts.

Die Aufgabe sieht ungefähr so aus:

Bestimmen Sie die Anzahl der Elemente der Menge Z2[x]/
                                                        x^2 + x + 1

Anmerkung: Die 2 von Z2 ist etwas kleiner geschrieben und das Z ist die Menge der ganzen Zahlen. Mehr weiß ich auch nicht darüber!

Das ist der Polynomring in der Variablen x mit Koeffizienten aus Z/2Z ≈ F₂ modulo des von x^2 + x + 1 erzeugten Hauptideals. x^2 + x + 1 ist irreduzibel über Z/2Z, daher das Ideal prim und Z/2Z[x]/(x^2 + x + 1) ein Körper, der zu F₄ isomorph ist.

Jester

Um damit zu rechnen mußt Du eigentlich nur folgendes machen:

x^2+x+1 ist ja 0 in diesem Körper, also immer wenn Du ein x^2 triffst kannst Du es durch x+1 ersetzen. Damit brauchste nur Elemente bis Grad 1 anschauen. Davon gibt es 4 Stück:

0, 1, x, x+1

Jetzt machste Dir mal ne Verknüpfungstabelle, eine für +, eine für *. Du mußt einfach normal als Polynom rechnen, aber danach den Rest modul x^2+x+1 nehmen.

Beispiel:

x*(x+1) = x^2 + x = 1

Wäre damit ein Eintrag in der Verknüpfungstabelle. Spiel das ruhig mal durch. Vielleicht auch mal für

Z_2[X]/(x^3+x+1) => ergibt einen Körpder mit 8 Elementen (F_8)
oder
Z_2[X]/(x^3+x2+1) => ergibt ebenfalls einen Körper mit 8 Alementen (F_8), der ist nicht identisch zum vorherigen, aber natürlich isomorph.

MfG Jester

Hallo,

ist das so wie mit dem Modulo rechnen?

Also 19 in Z4 ist ja auch 3

Aber eines verstehe ich nicht

x^2+x+1 ist ja 0 in diesem Körper, also immer wenn Du ein x^2 triffst kannst Du es durch x+1 ersetzen.

Aber wenn ich folgendes rechne: (x^2) / (x^2+x+1)= 1 rest -x-1 warum ist
-x-1 plötzlich x+1???

Muss man also wenn man ne Zahl entdeckt diese immer mod 2 Rechnen?

MisterX schrieb:

Aber wenn ich folgendes rechne: (x^2) / (x^2+x+1)= 1 rest -x-1 warum ist
-x-1 plötzlich x+1???

Muss man also wenn man ne Zahl entdeckt diese immer mod 2 Rechnen?

Ja, -1 == 1 (mod 2). Die Koeffizienten sind ja aus Z/2Z

chris90

ich glaube es wäre fataler, wenn -x-1 ≠ x+1 wäre