4. Potenzen und Summenformel

Potenzen und Summenformel

  • K

    Hallo,

    ich habe große schwierigkeiten folgende Aufgaben zu lösen - wäre großartig wenn ihr mir helfen könntet - bin für jeden Tipp dankbar.

    wie beweise ich das Potenzgesetz a^n * b^n = (a * b)^n (durch vollständige Induktion über n) wenn ich nur folgendes nutzen darf?: m^0 = 1 und m^n+1 = m^n * n außerdem dürfen wir dir Multiplikation und die Addition benutzen, die wir vorher definiert haben.

    So jetzt weiß ich gar nicht wie ich das schreiben soll:

    also wir sollen eine Summenformel durch vollständige Induktion beweisen.
    zuerst steht da ein Summenzeichen (darunter i=1 und darüber n)dann kommt ein Bruch: im Zähler steht 1 und im Nenner (2i-1)*(2i+1) dann kommt = und dann noch ein Bruch: im Zähler steht n und im Nenner 2n+1
    (ich hoffe ihr versteht wie diese Formel aussieht)

    Also wie gesagt ich freue mich über jeden Tipp.

    Vielen Dank schonmal im Voraus

    Gruß
    TischGnom

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  • ?

    Hi,

    entweder habt ihr Addition und Multiplikation ganz unerwartet definert
    - dann solltest du das auch angeben - oder m^n+1 = m^n * n muss
    m^n+1 = m^n * m heissen.

    Jockel

    0
  • W

    1. sollte so gehen. Das 2. schaffst du ja jetzt evtl. selber. Ist ein bißchen schwieriger, aber nicht unmgölich

    n = 0: trivial
    a^0 * b^0 = 1 * 1 = (a * b) ^ 0 stimmt

    IV gilt für ein n

    IS: n -> n + 1:
    a^(n+1) * b^(n+1) = a*a^n * b*b^n | IV einsetzen
    = a * b * (a * b)^n = (a * b)^(n+1)

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  • K

    vielen Dank erstmal für Eure Antworten.
    ZUr 2. Aufgabe: habe jetzt als Induktionsanfang n=1 gesetzt habe das da eingesetzt und bekomme Ein Drittel raus - stimmt das so?
    Reicht es dann, wenn ich beim Induktionsschritt für n n+1 einsetze?
    Und was soll beim Induktionsbeweis eigentlich rauskommen???

    wäre echt lieb wenn ihr mir noch einmal helfen könntet

    Gruß und vielen Dank für eure Hilfe
    Keine_Ahnung

    0
  • W

    http://de.wikipedia.org/wiki/Vollständige_Induktion

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  • K

    Also bis zur Induktionsvoraussetzung habe es soweit - aber mit Induktionsbeweis komme ich einfach nicht weiter - ich habe es versucht wie im Link beschrieben - aber es will einfach nicht funktionieren (habe versucht (n+1) /(2(n+1)+1) mit 1/ (2i-1)(2i+1) zu addieren aber irgendwie komme ich auf kein Ergebnis)

    Bitte helft mir

    Gruß
    Keine_Ahnung

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  • ?

    Induktionsschritt
    ∑i=1n+11(2i−1)(2i+1)\sum_{i=1}^{n+1} \frac{1}{(2i-1)(2i+1)}
    =∑i=1n1(2i−1)(2i+1)+1(2n+1)(2n+3)= \sum_{i=1}^n \frac{1}{(2i-1)(2i+1)} + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}
    =n2n+1+1(2n+1)(2n+3)= \frac{n}{2n+1} + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}

    =n(2n+3)+1(2n+1)(2n+3)= \frac{n(2n+3)+1}{(2n+1)(2n+3)}

    =n(2n+1)+(2n+1)(2n+1)(2n+3)= \frac{n(2n+1)+(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)}

    =n+12n+3=n+12(n+1)+1= \frac{n+1}{2n+3} = \frac{n+1}{2(n+1)+1}

    0
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