Affine Transformation
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Hallo,
ich bin gerade über den Begriff "affine Transformation" gestoßen. Auf Wikipedia fand ich dazu:
Eine affine Abbildung (auch affine Transformation oder lineare Transformation) ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen (oder affinen Räumen), die Kollinearitäten und Abstandsverhältnisse bewahrt.
Dazu 2 kleine Fragen:- Kollinearität bedeutet doch, dass nach der Transformation Linien, die davor parallel waren es auch danach sind, oder?
- "gleiche Abstandsverhältnisse" bedeutet hier, dass sich die VERHÄLTNISSE der Entfernungen nicht ändern? Also wenn ich z.b einen Punkt P1 habe, der 10cm vom Mittelpunkt des Objekts entfernt ist, und einen Punkt P2, der 20cm entfernt ist vom Mittelpunkt und ich jetzt alle Punkte mit 2 skaliere, dass danach P2 immernoch doppelt so weit vom Mittelpunkt entfernt is wie P1, oder?
Über weitere Infos zu "affinen Transformationen" wäre auch sehr dankbar!
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Alles korrekt.
Affine Transformationen sind übrigens genau alle linearen Abbildungen ergänzt mit der Addition eines Vektors. Also alle y, die sich darstellen lassen als:
y=Ax+b, wobei x und b Vektoren, und A eine Matrix ist.Edit:
Wichtige Spzalfälle:
b=0, det A = +-1 => Drehung um den Nullpunkt
b=0, det A != 1 => Streckung/Stauchung
b=0, A die Einheitsmatrix => Identität
Det A=Identität, b!=0 => Verschiebung
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immer wenn die det(A) negativ handelt es sich um eine Spiegelung...
det(A) = -1 ist daher nicht nur eine rotation um den nullpunkt, das bild wurde auch einmal gespiegelt.Gruß Lina
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Ist eine non-uniforme Skalierung (also es wird z.B. auf der x-Achse mehr skaliert als auf der y-Achse) auch eine affine Transformation?
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Ja, kann man ja einfach durch eine Matrix-Multiplikation beschreiben.
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Aber die Verhältnisse sind dann nicht mehr gleich.
Bye, TGGC (Keine Macht den Dummen)
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Da kann man eigentlich nur noch mit Dieter Nuhr antworten. Aber Hauptsache, Du hast was gesagt, oder?
