Verktorraum

[Sepp2]

Hallo,

wie kann man nachweisen, dass B{x^2 + 1;x + 1;1} eine Basis des Vektorraums des Polynome vom Gard n <= 2 ist?

Und wie kann man einen bestimmten Punkt P auf diese Basis abbilden?

Danke.

[fubar]

Zeige, daß sich alle Polynome der Form $p(x)=ax^2+bx+c$ durch die Basispolynome darstellen lassen ...
Edit: Lineare Unab. sollte klar sein, müßtest du aber strenggenommen auch nachweisen.

[linus]

Es geht nicht darum Punkte abzubilden denn
die Elemente dieses Vektorraums sind Polynome
und wie fubar sagt müssen alle Elemente des Vektorraums
durch die Basis dargestellt werden können.

[Jester]

fubar schrieb:

Edit: Lineare Unab. sollte klar sein, müßtest du aber strenggenommen auch nachweisen.

Jo, oder Du sagst: daß der Raum dim 3 hat is klar. Dann zeigste, daß die 3 gegebenen Vektoren lin. unabh. sind und damit weißte daß es ne Basis ist.

@Sepp2: Wenn Du Schwierigkeiten damit hast diese Polynome als Vektorraum aufzufassen, dann stell's Dir so vor:

Du nimmst Vektoren (a b c) der steht dann für a*x^2+b*x+c. Mach Dir klar, daß es egal ist in welcher Schreibweise man rechnet.

[MamboKurt]

mein vorschlag:
weiße nach, dass {x^2, x, 1} ne basis, was ja nicht so schwer sein sollte. dann verwendest du den austauschsatz und ersetz deine vektoren:
1 kannste übernehmen
x+1 = 1*x + 1*1
x^2+1 = 1*x^2 + 1*1

.MamboKurt

[lookias]

mein vorschlag:

bilde allg linearkombination aus den vektoren und setze diese 0

dann leite dreimal ab, das ergibt ein lineares gleichungssystem (3 gleichungen),

da die letzte ableitung dann aus einer konstanten besteht sieht man sofort dass alle konstanten dann 0 sein muessen

fazit linear unabhaengig und damit eine basis

wenn du ein polynom daraus bilden willst kannst du das auch so machen.

einen punkt darauf abbilden denke ich bedeutet dass du die koordinaten bzgl der basis bestimmen sollst. also die konstanten die du ausgerechnet hast als vektor darstellst

[Konfusius]

oder du bastelst dir aus den parametern der gleichungen ne matrix und berechnest die determinante. ist sie ungleich 0, dann sind deine terme linear unabhängig und , da es drei terme sind, auch eine basis aller quadratischen terme.

[linus]

@ konfusius

Du trägst deinen Namen zu Recht

[lookias]

was konfusius da meint

nennt sich "wronski determinante"

ich denke aber man soll die aufgabe so loesen:

wenn es konstanten gibt die die basis so linearkombinieren dass das nullpolynom rauskommmt, dann bedeutet es dass das polynom unendlich viele nullstellen hat,
und das geht nur bei einem unendlichen polynom(auch potenzreihe genannt) oder beim nullpolynom

folgt alle konstante muessen 0 sein

folgt die vektoren sind lin unabh

[linus]

Die Fragestellung von Sepp2 lässt aber nicht unebdingt darauf
schliessen , dass er den Lösungsansatz mit der Wronski Determinante
ihm wirklich weiterhilft. Ist zwar eine eindrucksvolle und vielleicht
auch elegant Lösung jedoch auch mit Kanonen auf Spatzen geschlossen.

Nichts desto Trotz sicherlich eine Möglichkeit

[lookias]

ja ich glaube auch dass das eher mit hilfe von algebra geloest werden soll, also der weg mit den nullstellen und dem fundamentalsatz.

aber so ist das ebend mit den hoeheren semestern, da macht man sich keinen kop mehr und setzt einfach alles in die wronski determinante ein und gut.

ich hatte vor kurzem genau das in analysis da fragte mein prof wie man denn die lin unabh von monomen beweisen koennte, aber die algebraische erklaehrung von mir ist bei ihm irgendwie nicht angekommen, es sollte halt auf die wronski det hinfuehren.

ich glaube sowas meint man dann im beispiel, wenn man sagt dass es der mathematik geschadet hat, sie so in seperate fachgebiete aufzuteilen.