ungerade natürliche Zahlen

Ohne_Ahnung

Hallo,

es wäre super wenn mir einer helfen könnte, bei dieser Aufgabe:

Beweisen Sie, dass die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen abzählbar unendlich ist. (Ausführlicher Beweis)

Bin für jede Hilfe dankbar.

Liebe Grüße Ohne_Ahnung

SG1

Gib 'ne Bijektion in die natuerlichen Zahlen an.

Unendlichkeit ist nicht abzählbar. Wie lange willst du zählen?

linus

U: N-> N_u U(n)=2*n-1
N abzählbar , unendlich
Wenn U bijektiv => N_u abzählbar und unendlich

@ Witzbold
Abzählbar bedeutet nicht daß du alle zählen sollst, sondern
dass es theoretisch möglich nacheinander alle elemente
abzuzählen und zwar ohne welche auszulassen.
So ist z,B auch die menge der Rationalen Zahlen abzählbar

TGGC

Angenommen, man hat ein Hotel mit unendlich vielen Zimmern aber alle sind belegt! Wenn nun noch ein Gast kommt, alles kein Problem. Der Gast aus Zimmer 1 zieht nach 2 um, der von 2 nach 3 usw. Jetzt ist 1 frei, prima! Auch wenn gleich ein ganzer Bus kommt, in dem unendlich viele Leute sitzen, muss man sich keine Sorge machen. Die bisherigen Gäste ziehen in die Zimmer mit den geraden Nummern um, 1 nach 2, 2 nach 4 usf. Der erste Neuankömmling der aus dem Bus steigt, kommt in Zimmer 1, der nächste in 3, alles wunderbar.

Nun kommt aber eine Schullklasse mit unendlich vielen Kindern, die nichts besseres zu tun haben, als alle wild durcheinanderzulaufen. Daher ist es nicht die Kinder abzuzählen und sie passen leider nicht mehr ins Hotel rein.

Bye, TGGC (Wähle deine Helden)

SG1

TGGC schrieb:

Nun kommt aber eine Schullklasse mit unendlich vielen Kindern, die nichts besseres zu tun haben, als alle wild durcheinanderzulaufen. Daher ist es nicht die Kinder abzuzählen und sie passen leider nicht mehr ins Hotel rein.

Das kannst Du so nicht sagen, da Du nicht gefordert hast, dass das Hotel nur abzaehlbar viele Zimmer hat.

TGGC

In Hotels ist es doch üblich, das jedes Zimmer eine Zimmernummer hat.

Bye, TGGC (Wähle deine Helden)

Henno

So ist z,B auch die menge der Rationalen Zahlen abzählbar

Das will mir irgendwie nicht einläuchten, denn:

Zwischen zwei rationalen Zahlen a und b liegt stets eine weitere rationale Zahl c (und somit beliebig viele)

Also kann ich ja nie die nächste Rationale Zahl nennen ohne eine auszulassen.

fubar

http://de.wikipedia.org/wiki/Hilberts_Hotel

@Loggy:

0 |  1   2   3   4   5 ...
---------------------
1 | 1/1 2/1 3/1 4/1  
2 | 1/2 2/2 3/2
3 | 1/3 2/3
4 | 1/4
5 | 
...

Jetzt geh von der 0 zu 1/1 -> 2/1 -> 1/2 -> 1/3 -> 2/2 -> 3/1 usw.
So erhälst du alle rationalen Zahlen (natürlich kommen einige mehrfach vor, aber das spielt keine Rolle ...).

Henno

Naja, da könnte ich ja auch einen n-Dimensionalen Raum nehmen und so n Nachkommastellen aufmalen... lass ich n gegen unendlich gehen, dann kann ich sogar die irrationalen Zahlen abzählen oder was?

linus

Jede rationale Zahl lässt sich durch einen Bruch
darstellen.
In der anordnung von fubar ist sichergesetellt,
dass du jede kombination n/m n,mεN
hinschreiben kannst , somit auch abzählen kannst

es ist nicht entscheidend ob diese Menge endlich
oder unendlich ist . Keiner behauptet , dass es
real mündlch oder schriftlich möglich sein muss
diese komplett abzuzählen.

entscheidend ist:
es existiert eine bijektive Abbildung von N in
die Menge M .
Die gibt es bei den reellen Zahlen nicht, also
sind diese nicht abzählbar.

volkard

Loggy schrieb:

Naja, da könnte ich ja auch einen n-Dimensionalen Raum nehmen und so n Nachkommastellen aufmalen... lass ich n gegen unendlich gehen, dann kann ich sogar die irrationalen Zahlen abzählen oder was?

du kannst mit dem trick von oben zu jeder konkreten rationalen zahl *in endlicher zeit* die zugeordnete natürliche zahl und zu jeder natürlicher zahl die zugeordnete rationale zahl finden.

das sehe ich nicht bei deinem unendlichdimensionalen raum.

linus

@TGGC

Ich sehe bei deinem Hotel das Problem nicht ?
Nur weil die Kinder durcheinanderlaufen
heisst das noch lange nicht , dass sie nicht
abzählbar sind . Und ins Hotel passen die immer

borg

linus schrieb:

Und ins Hotel passen die immer

nicht wenns unabzälbar unendlich viele kinder sind, ich find immer wieder ein kind was noch kein zimmer hat.

TGGC

linus schrieb:

Nur weil die Kinder durcheinanderlaufen heisst das noch lange nicht , dass sie nicht abzählbar sind .

Offensichtlich hast du sowas noch nie versucht.

Bye, TGGC (Wähle deine Helden)

linus

wenn die müde werden und schlafen kannst du anfangen zu zählen

Also nochmal:
Abzählbarkeit wird nicht durch die Unendlichkeit der Menge beeinträchtigt.
Auch wenn du schon unendlich viele Elemente gezählt hast dann bleiben immer
noch unendlich viele die du noch nicht gezählt hast.Deshalb lässt sie sich
trotzdem abzählen.
oder
in unendlichen Zimmern können 2*unendlcihe viele Menschen wohnen

volkard

linus schrieb:

in unendlichen Zimmern können 2*unendlcihe viele Menschen wohnen

denn 2*unendlich==unendlich.

oder

eine menge ist unendlich groß, wenn sie eine genausogroß wie eine ihrer echten teilmengen ist.

volkard schrieb:

denn 2*unendlich==unendlich.

und was ist unendlich minus unendlich? irgendwas, aber weniger als unendlich?

volkard

volkrad schrieb:

und was ist unendlich minus unendlich? irgendwas, aber weniger als unendlich?

es ist undefiniert. je nach sachlage kann unendlich-unendlich==unendlich oder unendlich-unendlich==-unendlich oder auch irgendwas dazwischen sein.

borg

linus schrieb:

wenn die müde werden und schlafen kannst du anfangen zu zählen

Also nochmal:
Abzählbarkeit wird nicht durch die Unendlichkeit der Menge beeinträchtigt.
Auch wenn du schon unendlich viele Elemente gezählt hast dann bleiben immer
noch unendlich viele die du noch nicht gezählt hast.Deshalb lässt sie sich
trotzdem abzählen.
oder
in unendlichen Zimmern können 2*unendlcihe viele Menschen wohnen

wenn jedes kind eine nummer hat können es ruhig unendlich viele sein. ich kann trotzdem eine funktion angeben mit der ich alle in das unendlich große volle hotel bekomme.
wenn die kinder aber durcheinanderrennen und ich keine chance haben sie durchzunummerieren, kann auch nicht jeder ein zimmer bekommen.