Fragen zu Untergruppen.

Hallo,

ich soll alle Untergruppen der Zyklischen Gruppe (Z 10,+) bestimmen.

Was ist an meinem Ansatz falsch?

Nun denke ich, das diese Gruppe aus den zahlen 0 bis 9 besteht.

Für eine Untegruppe G von H muss gelten:
1. G ist teilmenge von H
2. Die untergruppe ist abgeschlossen bezüglich der gegebenen Verknüpfung.
3. das neutrale Element ist in der Untergruppe
4. Jedes Element besitzt ein Inverses ( und die Gruppe ist abgeschlossen bezüglich der inversen)

Jetzt stimmen diese Punkte ja für (Z 9,+)

1. (1...8) ist teilmenge von (1...9)
2. abgeschlossenheit klar, da ja auch (Z 9,+) Eine Gruppe ist.
3. Neutrales Element Klar die 0
4. Inverses angeben:

Element Inverses 
0         0
1         8
2         7 
3         6
4         5

Also ist (Z 9,+) Untegrruppe von (Z 10,+) !???????????

Aber der Satz von Lagrange sagt doch:
Sei G Gruppe mit x Elementen und U Untergruppe von G mit y Elementen,
dass teilt y das x. Aber 9 teilt ja nicht 10.
Was habe ich also (total) verkehrt gemacht?

Jester

Z_9 und Z_10 haben völlig unterschiedliche Verknüfungen:
Wenn Du ne Untergruppe haben willst, dann natürlich auch bezüglich der selben Verknüpfung.

Es ist aber 1+9 = 0 in Z_10, aber 1+9 = 1 in Z_9. Also keine Untergruppe.

Btw. ist es einfacher das Untergruppenkriterium anzuwenden:

G Gruppe
H Untergruppe <=> $H \neq \emptyset$ und $\forall x,y \in H: xy^{-1} \in H$ .

MfG Jester

Hallo,

nach Lagrange können die Gruppen (Z 5,+) und (Z 2,+) untergruppen von
(Z 10,+) sein.

Aber es gilt ja:

1+4=0 in (Z 5,+) aber 1+4 = 5 in (Z 10,+)
1+1=0 in (Z 2,+) aber 1+1 = 2 in (Z 10,+)

Gibt es also garkeine Untergruppen?

SG1

Es gibt ja noch andere Gruppen ausser (Z_n, +), Du solltest Dich da nich zu sehr versteifen.

Zyklische Untergruppe heisst, dass die Gruppe von einem Element erzeugt wird. Schau Dir also mal an, welche Untergruppen von den einzelnen Elementen von Z_10 erzeugt werden.

Jester

MisterX schrieb:

Hallo,

nach Lagrange können die Gruppen (Z 5,+) und (Z 2,+) untergruppen von
(Z 10,+) sein.

Aber es gilt ja:

1+4=0 in (Z 5,+) aber 1+4 = 5 in (Z 10,+)
1+1=0 in (Z 2,+) aber 1+1 = 2 in (Z 10,+)

Gibt es also garkeine Untergruppen?

Da mußt Du ein bißchen vorsichtig sein. Die Untergruppen die Du findest sind nicht direkt die Z_2 und die Z_5, sondern nur dazu isomorphe Untergruppen.

Zum Beispiel die von der 5 erzeugte Untergruppe: die enthält genau die 0 und die 5. Denn: 5+5=0

Die Gruppe hat 2 Elemente, also ist sie isomorph zu Z_2. In dem Sinne ist das auch mit der Untergruppe gemeint. Du andere Untergruppe ist <2>.

MfG Jester

Andreas XXL

Tach,

ich glaube dein Problem zu verstehen MisterX. Du glaubst, du suchst eine Teilmenge von (z10,+) und schaust dann, ob es eine Untergruppe ist. Es ist jedoch so gemeint: JEDES Element von {0,...,9) kann eine Teilmenge erzeugen.

z.B. {5,0} wird von der 5 erzeugt. Aber auch die 3 erzeugt sowas.
(3,6,9,2,5,8,1,4,7,0) (einfach immer + 3 und dann Modulo 10)

Du siehst aber, dass die Gruppe, die erzeugt wird wieder ganz (z10,+) ist.
Dies musst du mit allen Zahlen ausprobieren.

Du hast einen entscheidenden denkfehler!
z.B (4,8,2,6,0) wird von 4 erzeugt. Der Satz von LaGrange sagt nur aus, wieviele Elemente eine Untergruppe hat und nicht von welchem Element sie erzeugt wird!!!!

Du hast gedacht, dass (Z5,+) eine Untergruppe ist. Aber diese würde ja aus den Elementen {0,1,2,3,4) bestehen. Dies kann aber von keinem Element aus (Z10,+) so erzeugt werden!!! Das ist dein Denkfehler!!!!

Man testet also die möglichen Erzeuger.

Nach meiner Meinung kannst du aber davon ausgehen, das Elemente, die eine Primzahl sind wieder ganz (z10,+) erzeugen(ich glaube sogar alle zu 10 teilerfremden). Das ist mir irgendwie intuitiv klar, aber beweisen könnte ich das jetzt nicht!

Ich hoffe, das ich keinen Unsinn geschrieben habe. Warte zur Sicherheit mal ab, was Jester dazu sagt!

@ Jester: Ist eigendlich eine Gruppe; Untergruppe von sich selbst?

Jester

Sieht nicht nach Unsinn aus.

Ja, würd schon sagen daß ne Gruppe Untergruppe ihrer selbst ist:
Sie ist ne Teilmenge und abgeschlossen unter der Verknüpfung, also Untergruppe.

Streng genommen müßte man die Gruppe selbst also auch mit dazu nehmen. Außerdem noch die triviale Gruppe {0}.

In normaler Sprechweise würde ich schon sagen daß Z_10 als Untergruppen Z_2 und Z_5 enthält. Allerdings nicht in dem Sinne, daß diese Gruppen wirklich da drin liegen, sondern, daß eine dazu isomorphe Untergruppe existiert.

Gleicheit ist nämlich eine etwas schwache Sache um algebraische Strukturen zu betrachten. Deshalb hat man die Isomorphie erfunden... weil die vieles einfacher macht.

Einfaches Beispiel: Wieviele verschiedene Vektorräume der Dimension n gibt es über einem festen Grundkörper k?

Naja, unendlich viele... ich bin ja in keiner Weise irgendwie festgelegt.
Wenn ich aber das ganze modulo der Äquivalenzrelation isomorph betrachte sieht gibt es nur noch einen: k^n.

Das mag zu Anfang etwas ungewohnt sein, erleichtert aber den Umgang damit ungemein.

@MisterX: Gib doch mal den Isomorphismus zwischen den Untergruppen und den entsprechenden Z_n an. Das hilft vermutlich auch etwas beim Verständnis.

MfG Jester