4. Integrationsansatz gesucht!

Integrationsansatz gesucht!

  • L

    Hi Leute,

    ich glaube ich habe momentan eine Denkblockade und zwar habe ich folgendes Problem:

    Fläche A = Pi * R^2

    Funktion B(r) gegeben. Ich möchte jetzt A * B(r) bestimmen, aber B ist ja nicht konstant über die Fläche A. Ich muß also über die Fläche integrieren, das ist mir schon klar.

    Eigentlich ist das Physik, aber das Problem ist ja mathematischer Natur. Also A ist die Fläche, die mit einem B-Feld durchsetzt ist. Ich will jetzt gerne an den magnetischen Fluß kommen (um nachher die Änderung des Flußes zu berechnen - was ja recht einfach ist).

    Könnte mir jemand mal den Ansatz erklären, also wie muß ich das Integral genau aufstellen? Integrieren ansich, null Problemo - aber irgendwie sehe ich hier komischerweise nicht wonach ich integrieren soll (Radius, Fläche?) oder dann noch von wo nach wo (0 bis R?).

    cya
    liquid

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  • D

    LiquidAcid schrieb:

    Könnte mir jemand mal den Ansatz erklären, also wie muß ich das Integral genau aufstellen? Integrieren ansich, null Problemo - aber irgendwie sehe ich hier komischerweise nicht wonach ich integrieren soll (Radius, Fläche?) oder dann noch von wo nach wo (0 bis R?).

    Ich bin mir nicht sicher (hatte mit Flächenintegralen noch nix zu tun, und um die geht es ja), aber ich hab mir mal folgendes überlegt:

    Die Scheibe besteht aus unendlich vielen infinitisimal dünnen Kreislinien der Länge 2pi r, die jede von dem B-Feld B(r) an dieser Stelle "durchflossen" wird.

    Also ∫0R2πrB(r)dr\int_0^R 2 \pi r B(r) dr

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  • T

    Daniel E. schrieb:

    ∫0R2πrB(r)dr\int_0^R 2 \pi r B(r) dr

    Hier mal der formale Rechenweg (deine Überlegungen waren genau richtig):

    ∫_AB(r)dA=∫_0R∫_02πrB(r)dϕdr=∫_0R2πrB(r)dr\int\_A B(r) dA = \int\_0^R \int\_0^{2\pi} r B(r) d\phi dr = \int\_0^R 2 \pi r B(r) dr

    Das erste "gleich" gilt wegen dem Substitutionssatz (Substitution in Polarkoordinaten).

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  • L

    Hmm, erstmal vielen lieben Dank für die Herleitung. Jetzt habe ich nur ein kleines Problem und zwar sieht B(r) so aus:

    B(r) = lambda * (1/r), wobei lambda ein konstanter Term ist. Sprich wenn ich das jetzt dort einsetze, dann habe ich gar kein r mehr drin stehen, nach dem ich integrieren könnte? HILFE!!

    cya
    liquid

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  • L

    Halt, das dürfte aber dennoch gehen. Also ich ziehe die Konstanten vor das Integral und habe dann sowas wie: 'alpha mal Integral von Eins dr' stehen. Dann ist die Stammfunktion ja einfach nur alpha * r + C, liege ich da richtig?

    cya
    liquid

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  • T

    Jau, mit α = λ * 2 * π. Dann nur noch die Grenzen einsetzten, fertig.

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  • L

    OK, das ist ja schonmal gut zu wissen. Nur was macht man eigentlich, wenn man die Symmetrie der Polarkoordinaten nicht ausnutzen kann?

    Also wir haben da so einen Draht, der mit einem Strom I durchflossen wird. Die Fläche A (kreisförmig) befindet sich etwas entfernt von diesem Draht. Abstand zwischen Mittelpunkt der Fläche und Draht beträgt D.
    Jetzt ist es ja so, dass das B-Feld konstant bei gleichem Abstand vom Draht ist. Sprich wenn ich mir Linien in die Fläche einzeichne, die parallel zum Draht liegen. Dann herrscht dort das gleiche B-Feld. Also habe ich diesmal nur eine Abhängigkeit von B in der y-Komponente. Wie gehe ich denn dort am besten ran?

    Sieht für mich jetzt nicht so, als ob man durch Transformationen in bestimmte Koordinaten da was rausholen kann, oder?

    cya
    liquid

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  • T

    Naja, wenn du in Polarkoordinaten transformierst, gilt ja

    x = r * cos(phi)
    y = r * sin(phi).

    Wenn du dann über eine ganze Kreisfläche integrierst, läuft r von 0 bis R und phi von 0 bis 2*pi.

    ∫_AB(y)dA=∫_0R∫02πrB(rsin(ϕ))dϕdr\int\_A B(y) dA = \int\_0^R \int_0^{2\pi} r B(r sin(\phi)) d\phi dr

    Soweit ich die Problemstellung verstanden hab, müsste das klappen.

    Edit: Noch als Tipp: Wenn die Integralgrenzen fest sind, kannst du die Reihenfolge der Integration vertauschen, für einen konkreten Integranden kann das viel Rechenarbeit einsparen.

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  • L

    Also diese Integration raubt mir nun wirklich den letzten Nerv. Warum erklär ich sofort, ich wollte mich nur nochmal bei Taurin bedanken für die Kurzeinführung in Flächenintegration. Ich glaube dank deiner Hilfe, habe ich die Grundlagen jetzt auch endlich verstanden.

    Also, folgendes ist ein Problem. Ich habe jetzt ja das Integral von B(r * sin(φ)) dφ.
    B(r * sin(φ)) = lambda * (1 / (r * sin(φ)))

    Das r kürzt sich sowieso raus, nur bleibt das Integral von 1 / sin(φ). Ich habe das mal in Maple reingehauen, aber das machts nicht. Habe mir die Funktion mal angeguckt, erstmal nette Polstellen und son Krams. Habe dann bis zu den Polstellen versucht zu integrieren (bzw. zwischen diesen). Bekomme da aber immer +Infinity raus, nicht gut würde ich sagen...

    Woran kann das denn liegen? Ich würd jetzt nicht Maple die Schuld in die Schuhe schieben (recht zuverlässig wenns um Integrale geht). Kann es sein, dass schon beim Ansatz ein Hacken ist?

    cya
    liquid

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  • D

    Nicht jede Funktion muß eine analytische Stammfunktion haben, so daß sich Matheprogramme dann gerne stundenlang verrechnen, auf der Suche danach.

    Hier ist aber wohl wirklich maple schuld, wenigstens kommt mathematica auf eine Funktion ( http://integrals.wolfram.com/ ).

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  • L

    Hmm, schade. Also Maple kriegt ja eine Stammfunktion raus, aber beim Einsetzen der Grenzen gibts dann die Katastrophe. Mathematicas Stammfunktion sieht anders aus, man kann sie aber ineinander umformen. Also sind beide doch gleich. Und auch da funzt das mit dem Einsetzen nicht (natürlich logisch).

    Naja, kann man nix machen. Morgen ist Abgabe, kann ich halt nur Lösungsmöglichkeit skizzieren. So tragisch ist es nicht, Schein brauch ich sowieso nicht, aber der Tutor hat komischerweise recht hohe Anspruche was mich als Nebenfächler in Physik angeht (Mathematiker, ja die können ja alles und so *blabla*). Ach scheiss was drauf 😃

    cya
    liquid

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  • T

    Wenn man sich mal die Funktion 1/sin(phi) anschaut (z.B. durch plotten), dann sieht man, dass wenn das (uneigentliche) Integral von 0..2*pi existiert, es verschwinden tut.
    Das macht physikalisch (wenn mich meine Physikkenntnisse nicht völlig im Stich lassen) aber wenig Sinn. Findet wer den Fehler? Oder steh ich grad total auf dem Holzweg?

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  • T

    Wenn du die Lösung bekommen hast, poste sie mal. Interessiert mich auch!

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  • L

    Das Problem war, dass ich einen Verschiebungsterm nicht berücksichtigt hatte. Und zwar wäre ohne Verschiebungsterm das Flächenintegral in einem Punkt direkt im magnetfelderzeugenden Leiter gewesen (und dort ist die Feldstärke ja unendlich).

    Mit Verschiebungsterm sieht es dann so aus:
    B(r) = λ * (1/(r + R2))

    Das zu integrieren und gleich zweimal ist allerdings noch toller. Unser Tutor hat auch gesagt, dass man dort wohl nur numerisch rangehen würde, denn explizite Bestimmung sehr "unschön" würde.

    cya
    liquid

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