4. Limes

Limes

  • X

    Hi, ich habe mich ein wenig mit Grenzwerten beschaeftigt und habe nun eine Frage:

    1.: limn→+∞1/n=0\lim_{n \to +\infty} 1/n = 0 Das ist mir klar.
    Doch was ist mit e=limn→+∞(1+1/n)ne= \lim_{n \to +\infty} (1+1/n)^n
    Da steckt doch nun auch ein limn→+∞1/n=0\lim_{n \to +\infty} 1/n = 0
    drinn und warum heisst es dann nicht (1+0)^∞ ?
    Wie kann man das verstehen?

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  • ?

    Ganz einfach weil du Limes und Potenz i.A. nicht vertauschen darfst, wenn der Exponent von n abhängt. Es gibt kein Gesetz was es dir erlauben würde.

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  • J

    Der Trick hier ist, daß beide gleichzeitig gegen unendlich laufen.

    Einfaches Beispiel: n/n. Das ist 1, egal wo Du n hinlaufen läßt. Wenn Du aber jetzt anfängst erst das untere gegen unendlich laufen zu lassen kriegste plötzlich 0 aus... es wird also falsch.

    Deswegen: immer schön zusammen laufen lassen.

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  • X

    OK danke schonmal, aber das heisst ja quasi, dass hier mein \lim_{n \to +\infty} 1/n [e]ne[/e] 0 ist oder?
    Aber stimmt, jetzt wo ich es nochmal lese; bei n/n fuer n gegen unendlich ist es ja genauso: limn→+∞n/n=limn→+∞n∗1/n\lim_{n \to +\infty} n/n = \lim_{n \to +\infty} n * 1/n , das ist ja auch ein Term mit limn→+∞1/n\lim_{n \to +\infty} 1/n aber logischerweise ist der Term limn→+∞n/n=limn→+∞n∗1/n\lim_{n \to +\infty} n/n = \lim_{n \to +\infty} n * 1/n ja nicht null.
    Vielen dank!

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  • J

    Genau, n/n ist schließlich nix anderes als ne verschrobene Schreibweise für 1. Und mit der eins sollte beim Grenzwert hoffentlich nix passieren. 😉

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  • L

    XFame schrieb:

    OK danke schonmal, aber das heisst ja quasi, dass hier mein \lim_{n \to +\infty} 1/n [e]ne[/e] 0 ist oder?
    Aber stimmt, jetzt wo ich es nochmal lese; bei n/n fuer n gegen unendlich ist es ja genauso: limn→+∞n/n=limn→+∞n∗1/n\lim_{n \to +\infty} n/n = \lim_{n \to +\infty} n * 1/n , das ist ja auch ein Term mit limn→+∞1/n\lim_{n \to +\infty} 1/n aber logischerweise ist der Term limn→+∞n/n=limn→+∞n∗1/n\lim_{n \to +\infty} n/n = \lim_{n \to +\infty} n * 1/n ja nicht null.
    Vielen dank!

    also bei e ist das so dass durch die binomische formel aus dem term eine unendliche reihe wird.

    (1+1/n)^n=\sum\limits_{k=0}^n\left({n \atop k}}\right) \left(1/n\right)^k

    schon (1/n)^0 ist 1 also wirds nicht 0.
    beweis:

    limn−>∞(1/n)0=1\lim\limits_{n->\infty}\quad (1/n)^0=1

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  • X

    Naja bei e waers ja auch nicht 0 sondern 1 geworden 🙂 .
    Denn 1^n = 1 .

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  • L

    stimmt habe ich ueberlesen
    dann ebend der zweite term

    $$\LARGE{ \frac{(n-1)!}{k!(n-k)!}=\frac{1}{k!} =1}

    wieder 1

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