Irreduzibilität zeigen
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Ich glaube, dass dies nur die Elemente {1,x,x+1} sind.
Jetzt habe ich mir überlegt, welche Elemente es vom Grad 2 geben kann.Also nur x*x = x^2 und x+1*x+1= x^2+1 und x*x+1 = x^2+x
Jetzt muss ich nur alle möglichen Kombinationen des Gerades 3 finden und zeigen, dass das gegebene Polynom nicht darunter ist, oder?
Ist es außerdem richtig, dass ich beim Suchen nach z.B allen elementen des 3. Gerades, die Elemente der niedrigeren Gerade nur alle jeweils miteinander multiplizieren brauche, oder muss ich auch addieren testen?
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Andreas XXL schrieb:
Ich glaube, dass dies nur die Elemente {1,x,x+1} sind.
Nein.
Jetzt habe ich mir überlegt, welche Elemente es vom Grad 2 geben kann.
Also nur x*x = x^2 und x+1*x+1= x^2+1 und x*x+1 = x^2+x
Nein. Es gibt genau 4 Elemente vom Grad 2.
Das Polynom hat den Grad 3. Als Zerlegungen kommen also nur solche vom Typ (Grade der Faktoren) 1+1+1, 1+2 in Frage. Man kann sofort nachrechnen (wie?), dass es keinen Faktor vom Grad 1 haben kann. Also ...
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dsfdfg schrieb:
Als Zerlegungen
(wenn reduzibel)
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Tjo, was heißt denn irreduzibel? Man kann es als Produkt von zwei Elementen schreiben, die beide nicht Einheiten sind.
So, welchen Grad hat Dein Polynom? genau: 3.
Wenn Du das jetzt schreiben könntest als f*g wie sähen dann die Grade von f und g aus?weder f noch g soll Grad 0 haben... sonst wäre es ja konstanten und damit invertierbar (0 kommt nicht vor, da f*g != 0).
Okay, also müßte einer der Faktoren Grad 1 haben. Wie sehen denn Faktoren mit Grad 1 aus? -> Linearfaktoren, Du hättest also eine Nullstelle gefunden. So, jetzt schauen wir mal nach ob das Teil ne Nullstelle hat:
0 einsetzen -> 1 kommt raus
1 einsetzen -> 1 kommt rausmehr Elemente ham wer nicht. Also keine Nullstelle und damit irreduzibel.
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Okay, also müßte einer der Faktoren Grad 1 haben. Wie sehen denn Faktoren mit Grad 1 aus? -> Linearfaktoren, Du hättest also eine Nullstelle gefunden. So, jetzt schauen wir mal nach ob das Teil ne Nullstelle hat:
0 einsetzen -> 1 kommt raus
1 einsetzen -> 1 kommt rausmehr Elemente ham wer nicht. Also keine Nullstelle und damit irreduzibel
Hallo,
das verstehe ich noch nicht ganz. Wie sehen denn jetzt die Faktoren mit Grad 1 konkret aus? Ich dachte x und x+1?
Warum muss man nicht die Teilbarkeit durch x und x+1 testen, sondern einfach nur 0 oder 1 einsetzten und prüfen ob 0 rauskommt?
Ps. Und was müsste ich testen, wenn ich nen Polynom vom grad 4 oder 5 oder noch mehr hätte?
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Andreas XXL schrieb:
das verstehe ich noch nicht ganz. Wie sehen denn jetzt die Faktoren mit Grad 1 konkret aus? Ich dachte x und x+1?
Richtig.
Andreas XXL schrieb:
Warum muss man nicht die Teilbarkeit durch x und x+1 testen, sondern einfach nur 0 oder 1 einsetzten und prüfen ob 0 rauskommt?
Überleg dir mal, was Teilbarkeit durch so einen Linearfaktor bedeutet.
Andreas XXL schrieb:
Ps. Und was müsste ich testen, wenn ich nen Polynom vom grad 4 oder 5 oder noch mehr hätte?
Mögliche Zerlegungen beim Grad 4: 1+1+1+1, 1+1+2, 1+3, 2+2. Wenn es also keinen Linearfaktor (<==> keine Nullstelle) hat, musst du noch auf Faktoren vom Grad 2 testen.
Also insgesamt: Suchen von Faktoren vom Grad 1 oder 2.Beim Grad 5 kannst du dir ähnlich leicht überlegen, dass du nach Faktoren vom Grad 1 oder 2 suchen musst (denn wenn es einen vom Grade 3 gibt, dann auch vom Grad 1 oder 2).
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Danke, jetzt ist alles klar!