Warum ist der Kreis konvex? (Teil 2)

volkard

Ich will zeigen, daß der Punkt, der genau zwischen zwei auf einer Kreisfläche liegenden Punkten liegt, auch auf der Kreisfläche liegt.

Zuerst kam ich ja nichtmal auf die Idee, analytische Geometrie zu benutzen. Nun kenne ich den Trick, bin aber zu doof, ihn auszuführen.

Ich nehme einen Kreis um den Ursprung mit Radius R.
Und zwei Punkte (A|B) und (C|D).
Dann gilt

A² + B² <= R²
C² + D² <= R²

außerdem

R>0
A² <= R²
B² <= R²
C² <= R²
D² <= R²

Der zu Untersuchende Punkt ist

(A/2+C/2|B/2+D/2)

Naja, ich fange mal an.

(A/2+C/2)² + (B/2+D/2)² <= R²
(A+C)² + (B+D)² <= 4R²
A²+2AC+C² + B²+2BD+D² <= 4R²
A²+B² + C²+D² + 2AC + 2BD+ <= 4R²

Jetzt scheint mir, ich kann ganz ohne Verluste

2AC + 2BD <= 2R²

schreiben. Ohne Verluste soll heißen, daß (A|B) und (C|D) ganz unabhängig auf der Peripherie liegen können und ich keine Verluste in der Genauigkeit der Abschätzung erleide.

AC + BD <= R²

Wenn ich mir das so anschaue, und ein paar Beispielpunkte ausrechne, dann scheint diese Ungleichung sogar immer erfüllt zu sein. Leider zu knapp für mich. AC<=R² und BD<=R² könnte ich noch schaffen, aber so fällt mir kein weiterer Trick ein.

Jester

Ich zeigs für den Einheitskreis. Das genügt:

||x|| <= 1, ||y|| <= 1

Punkt dazwischen:

r*x + (1-r)*y , mit r in [0,1]

Dreiecksungleichung, 2) Faktor aus Norm rausziehen
||r*x + (1-r)*y|| <= ||r*x|| + ||(1-r)*y|| = |r|||x|| + |1-r|||y|| <= |r| + |1-r| = r + 1-r = 1, da r in [0,1].

Damit ist gezeigt, jeder Punkt dazwischen liegt auch im Kreis.

Netterweise habe ich keine Annahme über die Norm gemacht, es geilt also auch für die Manhattennorm (und in beliebiger Dimension ;)).

MfG Jester

edit: ne schärfere Schranke kriegt man, wenn man statt beide Normen durch 1 ersetzt die kleinere durch die größere ersetzt!

edit2: btw. volkard: Hast Du das Gegenbeispiel für die Gruppendefinition gesehen bzw. was damit anfangen können?

volkard

Jester schrieb:

Dreiecksungleichung, 2) Faktor aus Norm rausziehen

ok, hab's kapiert.

btw. volkard: Hast Du das Gegenbeispiel für die Gruppendefinition gesehen bzw. was damit anfangen können?

hab das gegenbeispiel ausgedruckt und werde es dem lehrer zuleiten.

Jester

Bin mal gespannt, was der Lehrer dazu sagt. Läßt Du mich's wissen, falls er sich dazu äußert?

volkard

Jester schrieb:

Bin mal gespannt, was der Lehrer dazu sagt. Läßt Du mich's wissen, falls er sich dazu äußert?

klar.

für r=1/2 hat mir deine lösung übrigens auch ne einfache geometrische lösung beschert, die ich ohne weiteres realschülern zeigen kann. also das dreieck mit den punkten 0, x/2 und x/2+y/2 und die dreiecksungleichung.