Inverse Iteration

[Taurin]

Ich mal zuerst mal die Version der Inversen Iteration auf, die ich hier vorliegen hab:

$v^{(0)} Startvektor, ||v^{(0)}|| = 1$

$for \ k = 1,2,...$
$w = (A - /muI)^{-1} \cdot v^{(k-1)}$
$v^{(k)} = w / ||w||$
$\lambda^k = (v^{(k)})^T \cdot A \cdot v^{(k)}$

Bei der Durchführung der Inverse Iteration muss man ja im k-ten Iterationsschritt das Gleichungsssystem $(A - /muI)w = v^{(k-1)}$ berechnen, wobei μ möglichst dicht bei einem Eigenwert von A gewählt wird (A reele, symmetrische und quadratische Matrix). Dadurch wird die Matrix $(A - /muI)$ "beinahe" singulär.
Ich hab hier einen Text vorliegen, in dem behaupted wird, das würde nichts ausmachen:

Show as follows that the answer is no - that ill-conditioning is not a problem of inverse iteration. Suppose A is real symmetric matrix with one eigenvalue much smaller than the others in absolute value (without loss of generality, we take μ = 0). Suppose v is a vector with the components in the directions of all (orthonormal) eigenvectros q_1, q2, ..., q_m of A, and suppose $A \cdot w = v$ is solved backward stably, yielding a computed vector $\tilde{w}$. Show that although $\tilde{w}$ may be far away form w, $\tilde{w}/||\tilde{w}||$ will not be far away form $w/||w||$.

Ich hake da einmal an dem Hinweis "...is solved backward stably...". Was heißt das? Ausserdem fehlt mir grundsätzlich ein guter Ansatz. Am besten zauber ich irgendwo die condition number des Problems her, bloß wie?

[fubar]

"...is solved backward stably..." soll hier (glaube ich zumindest) nur heißen, daß die Gleichung Aw=v, die ja nur näherungsweise der eigentlichen Gleichung entspricht, exakt gelöst wird und somit nah an deiner gesuchten Lösung liegt. Algorithmen, die nicht "backward stable" sind, würden die Rundungsfehler noch verstärken und somit die Lösung verfälschen. Ist also IMHO kein Tip, sondern eher Voraussetzung dafür, daß das inverse Iterationsverfahren auch ordentlich funktioniert ...
Gauss-Algorithmus mit relativer Spaltenmaximumstrategie würde also z.B. reichen.