Rätsel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung
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Für Zufall muss man nichts dazu erfinden. Wenn ich die Information erhalte, im Lotto gab es eine 17, dann ist es deshalb so, weil es sich so ergeben hat. Ich nehme nicht an, dass jemand gezielt die 17 ausgewählt hat. Immer, wenn etwas irgendwie ist, kann ich nicht einfach annehmen, dass jemand das gezielt ausgewählt hat. Wie denn auch?
Wenn ich sage, dass der Zufall es so gemacht hat, dass es so ist, wie es gegeben ist, dann habe ich nichts falsch gemacht. Wenn ich sage, jemand hat die 17 bewusst ausgewählt, habe ich damit was dazugedichtet, was der Text "eine 17 wird gezogen" nicht hergibt. Genauso wenig wie "nun sieht man einen Jungen am Fenster" mehr hergibt, als dass ein Junge am Fenster steht.
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Optimizer schrieb:
Genauso wenig wie "nun sieht man einen Jungen am Fenster" mehr hergibt, als dass ein Junge am Fenster steht.
Stimmt.
Deine Interpretation: Ein Junge steht zufällig am Fenster mit Wahrscheinlichkeit x (daß kein Kind am Fenster steht gibt's btw garnicht?).
Meine Interpretation: Ein Junge steht am Fenster => Mindestens eines der beiden Kinder ist ein Junge
Ich (persönlich) halte die untere Interpretation für natürlicher, aber das ist wohl Geschmacksache. Falsch ist sie hingegen sicher nicht. Sie widerspricht der Aufgabenstellung in keinster Weise und dazuerfinden tut sie auch nichts.
Die Aufgabenstellung wird dadurch übrigens auch nicht lächerlich, sondern sie zielt auf eine haarfeine Unterscheidung von Informationen ab:
Das erste Kind ist ein Junge vs. Eines der Kinder ist ein Junge.
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Jester schrieb:
Das erste Kind ist ein Junge vs. Eines der Kinder ist ein Junge.
Falsch.
Das erste Kind ist ein Junge vs. das am Fenster stehende Kind ist ein Junge.
Und das ist das Gleiche. Mache einfach eine Fallunterscheidung und nimm an mit p steht Kind 1 am Fenster und Kind 2 mit 1-p. Du wirst sehen, bei beliebiger Wahrscheinlichkeit welches Kind am Fenster steht, ist das Verhältnis Junge:Mädchen 1:1 und nicht 3:1. Ich habe schon mehrfach für zufällige Auswahl (p=0.5) die 8 Möglichkeiten aufgeschrieben, ihr braucht nur noch abzuzählen, um zu sehen, das 1:1 rauskommt. Und von mir aus kannst du noch z < 1 als Wahrscheinlichkeit das keiner am Fenster steht einbringen, das ändert nichts am Ergebnis.
Deine Interpretatioon ist ja auch nicht falsch, nur die Folgerung daraus, das JM, MJ und JJ nun alle gleichwahrscheinlich sind. Denn in JJ Familien stehen viel öfter Jungen am Fenster.
Bye, TGGC
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TGGC schrieb:
Jester schrieb:
Das erste Kind ist ein Junge vs. Eines der Kinder ist ein Junge.
Falsch.
Das erste Kind ist ein Junge vs. das am Fenster stehende Kind ist ein Junge.
Und das ist das Gleiche. Mache einfach eine Fallunterscheidung und nimm an mit p steht Kind 1 am Fenster und Kind 2 mit 1-p. Du wirst sehen, bei beliebiger Wahrscheinlichkeit welches Kind am Fenster steht, ist das Verhältnis Junge:Mädchen 1:1 und nicht 3:1. Ich habe schon mehrfach für zufällige Auswahl (p=0.5) die 8 Möglichkeiten aufgeschrieben, ihr braucht nur noch abzuzählen, um zu sehen, das 1:1 rauskommt. Und von mir aus kannst du noch z < 1 als Wahrscheinlichkeit das keiner am Fenster steht einbringen, das ändert nichts am Ergebnis.
Deine Interpretatioon ist ja auch nicht falsch, nur die Folgerung daraus, das JM, MJ und JJ nun alle gleichwahrscheinlich sind. Denn in JJ Familien stehen viel öfter Jungen am Fenster.
Bye, TGGCund wo in der aufgabe steht das der Junge am Fenster aus Zufall da steht?.
die einzige Aussage die man aus der aufgabe herleiten kann ist und bleibt, das die kombination MM nicht existent ist, alles andere ist Spekulatius.
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b7f7 schrieb:
TGGC schrieb:
Jester schrieb:
Das erste Kind ist ein Junge vs. Eines der Kinder ist ein Junge.
Falsch.
Das erste Kind ist ein Junge vs. das am Fenster stehende Kind ist ein Junge.
Und das ist das Gleiche. Mache einfach eine Fallunterscheidung und nimm an mit p steht Kind 1 am Fenster und Kind 2 mit 1-p. Du wirst sehen, bei beliebiger Wahrscheinlichkeit welches Kind am Fenster steht, ist das Verhältnis Junge:Mädchen 1:1 und nicht 3:1. Ich habe schon mehrfach für zufällige Auswahl (p=0.5) die 8 Möglichkeiten aufgeschrieben, ihr braucht nur noch abzuzählen, um zu sehen, das 1:1 rauskommt. Und von mir aus kannst du noch z < 1 als Wahrscheinlichkeit das keiner am Fenster steht einbringen, das ändert nichts am Ergebnis.
Deine Interpretatioon ist ja auch nicht falsch, nur die Folgerung daraus, das JM, MJ und JJ nun alle gleichwahrscheinlich sind. Denn in JJ Familien stehen viel öfter Jungen am Fenster.
Bye, TGGCund wo in der aufgabe steht das der Junge am Fenster aus Zufall da steht?.
die einzige Aussage die man aus der aufgabe herleiten kann ist und bleibt, das die kombination MM nicht existent ist, alles andere ist Spekulatius.Das kann man aber aus der Aufgabe rauslesen. Wie Optimizer schon gesagt hat... wenn in einer Aufgabe steht "...eine der Lottozahlen ist eine 17..." dann geht man auch nich davon aus, dass in jeder Ziehung eine 17 vorkommen muss.
Noch mal:
Neescher schrieb:
Ok. Dann mach folgendes: Jedes mal, wenn du ab jetzt durch ein Fenster einen Jungen siehst, frage ihn, ob er genau 1 Geschwister (gibts da ne Einzahl? :)) hat. Wenn ja, frage ihn nach dem Geschlecht. Du wirst auf 50% m/w kommen. Da ist kein Computerprogramm modelliert, keine falsche Interpretation. Genau so ist die Aufgabe.
Neescher
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b7f7 schrieb:
und wo in der aufgabe steht das der Junge am Fenster aus Zufall da steht?
Wo in der Aufgabe steht, das er dort steht, weil er die Schwester nicht ans Fenster lässt?
Bye, TGGC
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Ich lehne mich mal aus dem Fenster und behaupte, dass die Ereignisse "Junge steht am Fenster" und "2. Kind ist ein Mädchen" unabhängig sind. Damit wäre die Wahrscheinlichkeit
P~beide Kinder~[Junge und Mädchen] = P~1. Kind~[Kind ist ein Junge] * P~2. Kind~[Kind ist ein Mädchen]
mit
P~1. Kind~[Kind ist ein Junge] = 1.0 laut Aufgabenstellung
und
P~2. Kind~[Kind ist ein Mädchen] = 0.5 laut Erfahrungswissen
Damit wäre
P~beide Kinder~[Junge und Mädchen] = 1 * 0.5 = 0.5, gleichbedeutend mit der in der Aufgabe erfragten Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Kind ein Mädchen ist.
Zur Veranschaulichung eine Analogie:
Eine Frau liegt im Kreisssaal und bekommt ihr zweites Kind. Ihr erstes Kind ist ein Junge (kann meinetwegen auch gerade am Fenster stehen
). Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Neugeborene ein Mädchen ist? Natürlich 50%, weil das Geschlecht des ersten Kindes in der Regel nicht das Geschlecht des zweiten beeinflußt.
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im grunde ist die antwort schon auf seite 1 genannt worden.
MJ und JM sind dasselbe, folglich gibt es nur noch die Möglichkeiten JM oder JJ.
Egal auf welchem Wege ich gehe, es kommt immer 50% raus.Wenn ich P(M) unabhängig mache vom Jungen, dann kriege ich 50%.
Mache ich es abhängig vom Jungen, so weiß ich entweder JM oder JJ und da ist die Wahrscheinlichkeit dann wieder 50%.Ist doch eigentlich schön einfach.
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chris90 schrieb:
im grunde ist die antwort schon auf seite 1 genannt worden.
MJ und JM sind dasselbe, folglich gibt es nur noch die Möglichkeiten JM oder JJ.
Egal auf welchem Wege ich gehe, es kommt immer 50% raus.Wenn ich P(M) unabhängig mache vom Jungen, dann kriege ich 50%.
Mache ich es abhängig vom Jungen, so weiß ich entweder JM oder JJ und da ist die Wahrscheinlichkeit dann wieder 50%.Ist doch eigentlich schön einfach.
Ihr könnt nicht wählen, ob diese Ereignisse unabhängig sind oder nicht.
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natürlich können wir das nicht, aber mein beispiel zeigt, dass wir es auch gar nicht müssen.
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chris90 schrieb:
natürlich können wir das nicht, aber mein beispiel zeigt, dass wir es auch gar nicht müssen.
Dein Beispiel funktioniert m.E. nur, weil die Ereignisse unabhängig sind.
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Was'n Thread...Optimizer schrieb:
Es handelt sich hier um eine bedingte Wahrscheinlichkeit.
Richtig. Und im folgenden gut aufpassen:
Das Rätsel schrieb:
Man bekommt neue Nachbarn, eine Familie mit zwei Kindern.
P("Nachbarn haben 2 Kinder") = 1
Optimizer schrieb:
Es gibt 4 gleich wahrscheinliche Möglichkeiten: MM, MJ, JM, JJ.
Genau, die beiden Geburten sind unabhängig voneinander.
P("MM") = 1/4
P("MJ") = 1/4
P("JM") = 1/4
P("JJ") = 1/4Das Rätsel schrieb:
Nun sieht man am Fenster einen Jungen stehen
Die neugewonnene Information:
P("Nachbarn haben einen Jungen") = 1Optimizer schrieb:
Nur weil der Fall MM nicht vorliegt, kann man nicht die Wahrscheinlichkeiten einfach umbiegen, so dass es nur noch 3 Möglichkeiten gäbe.
Genau hier liegst du falsch. Das ist ja das Wesen der bedingten Wahrscheinlichkeit; die Wahrscheinlichkeit einzelner Ereignisse ändert sich aufgrund zusätzlicher Gegebenheiten:
P("MM") = 0
Bleiben noch genau drei 2-elementige geordnete Mengen aus {M,J}
MJ
JM
JJWegen P("Nachbarn haben 2 Kinder") = 1 muss die Summe der Wahrscheinlichkeiten dass eine dieser Kombinationen vorliegt 1 ergeben; da wir weiterhin festgestellt haben das jede dieser Möglichkeiten gleich wahrscheinlich ist ergibt sich ohne viel Rechenaufwand
P("MJ") = 1/3
P("JM") = 1/3
P("JJ") = 1/3Nun gilt
P("Nachbarn haben ein Mädchen") = 1/3 + 1/3 + 0 = 2/3
Etwas formeller ausgedrückt:
A := "Nachbarn haben ein Mädchen"
P(A) = 3/4B := "Nachbarn haben einen Jungen"
P(B) = 3/4P(A|B) = (1/2) / (3/4) = 2/3
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Du schließt den Fall ww auf die falsche Weise aus. Ich habe aber keine Lust mehr, es noch hundertmal zu sagen. Du darfst ihn nicht direkt ausschließen, eben wegen der bedingten Wahrscheinlichkeit. Du baust deine bedingte Wahrscheinlichkeit darauf auf, dass du die Wahrscheinlichkeit der ersten Stufe schon kennst. In Wirklichkeit kennst du aber nur das Ergebnis des ersten Experiments.
Krass, warum kann das nicht in euere Schädel??
Nur weil es einen Jungen gibt, war deshalb nicht dafür die Wahrscheinlichkeit 1, dass es einen geben wird.Noch einmal: Du kennst nicht die Wahrscheinlichkeiten, nur weil du das Ergebnis eines Ausgangs hast. P("es gibt nen Jungen") = < unknown > und wurde deshalb als 0.5 angenommen unter der Annahme gleicher Geburtenraten. P("es steht ein Junge am Fenster") ist natürlich bekannt. Daraus kannst du nicht auf die => => Wahrscheinlichkeit <= <= von "es gibt nen Jungen" schließen. Du weißt nur, dass es gerade einen gibt, kennst also gerade den Ausgang eines Zufallsexperiments, was einmal durchgeführt wurde.
Es ist nicht, weil ich eine 6 gewürfelt habe, P(6) = 1 gewesen. Es hätte auch ne 1 werden können. Blödsinn. Riesenblödsinn. Nix mehr Spaß. Optimizer Hunger.
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Optimizer schrieb:
Noch einmal: Du kennst nicht die Wahrscheinlichkeiten, nur weil du das Ergebnis eines Ausgangs hast.
... also darf ich doch das Wissen verwenden, oder etwa nicht?
Schau, das Problem ist steinalt und überall kommt 1/3 heraus, außer bei dir. Auch G.v. Randow, der ein bekanntes Buch über das nebenan diskutierte Ziegenproblem geschrieben hat, hat das in einem ZEIT-Artikel erklärt: http://www.zeit.de/archiv/1996/27/gloswis.txt.19960628.xml?page=all
Die Standardlösung aller Aufgaben, die so ähnlich klingen, wie im OP ist immer 1/3 oder 2/3 je nachdem, nach was man fragt. Nur bei dir und dem unvermeidlichen TGGC nicht.
Es ist nicht, weil ich eine 6 gewürfelt habe, P(6) = 1 gewesen. Es hätte auch ne 1 werden können.
Ich werfe einen irgendeinen Körper, es fällt eine Sechs, also ist es ein Würfel, der laplaceverteilte Ergebnisse bringt. Ist schon klar. Winkewinke.
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... also darf ich doch das Wissen verwenden, oder etwa nicht?
Du verwendest aber nicht das Wissen. Das Wissen wäre, dass es bei diesem Ausgang des Zufallsexperiments mindestens einen Jungen gegeben hat. Das Wissen ist nicht, dass die Wahrscheinlichkeit dafür 1 war.
Ich werfe einen irgendeinen Körper, es fällt eine Sechs, also ist es ein Würfel, der laplaceverteilte Ergebnisse bringt. Ist schon klar. Winkewinke.
Ich werfe eine 6, also muss der Würfel wohl so manipuliert sein, dass er immer 6 liefert. Winkewinke.
Ist doch eh lächerlich. Warum muss ich eigentlich begründen, dass der Junge bei 2 Kindern mit 50% Wahrscheinlichkeit am Fenster steht? Warum begründest du nicht zur Abwechslung, warum der Junge dann ans Fenster gestellt werden sollte? Du und Jester habt nie auch nur einen einzigen Grund genannt, warum das so sein sollte. Es gibt ihn ja auch gar nicht. Es ist überhaupt sehr auffällig, wie immer nur die 1/2 Fraktion sowas wie Begründungen liefert.
Dein Link auf den Zeit-Artikel, behandelt eine andere Aufgabenstellung und es spricht nicht für dich, dass du den hier bringst. Bei der verlinkten Aufgabenstellung kommt nicht mal eine bedingte Wahrscheinlichkeit vor. Winkewinke. Du verstehst die Aufgabenstellung nicht und wirst sie auch nicht verstehen. Stattdessen versuchst du hier einen Zusammenhang herzustellen, obwohl es im Zeit-Artikel gar keine zwei von einander abhängigen Zufallsexperimente gibt. Glaub, was du glauben willst. Ich klinke mich jetzt aus.
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ist ja kein grund, einfach hinzuschmeißen, oder?
so, habe mir nochmal ein paar gedanken gemacht und komme auf 1/2.
erklärung: man nehme die verbliebenen möglichkeiten MJ, JM und JJ. sie sind gleichwahrscheinlich, also jeweils 1/3.
jetzt sehen wir uns an, mit welcher wahrscheinlichkeit der junge am fenster steht. die ist jeweils 1/2 bei JM und MJ, 1 bei JJ.
jetzt wissen wir: der junge steht am fenster. dazu ist die gesamtwwahrscheinlichkeit 4/6, nämlich 1/3 * 1/2 für MJ + 1/3 * 1/2 für JM + 1/3 * 1 für JJ.
davon entfällt genau die hälfte, nämlich 1/3 auf die kombinationen mit mädchen, das andere 1/3 entfällt auf JJ.
also ergibt sich da verhältnis 1/3 : 1/3 = 1 : 1
was einer wahrscheinlichkeit von 1/2 für ein mädchen ergibt.
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@Daniel E.: Kapiers doch endlich! Deine Lösung ist falsch. Mit welcher Begründung drängelt sich jeder Junge vor das Mädchen? Das steht nicht in der Aufgabe. Dein Link beschreibt also etwas ganz anderes. Wir müssen auch alle Fälle auschliessen, in denen ein Mädchen mit Bruder am Fenster steht, dort Zählen diese Fälle hinzu, daher gibts dort mehr Mädchen. Es ist so simpel zu verstehen, nimmt man sich mal eine Minute dafür.
Warum ist, wenn man Eure Theorie weiterdenkt, die Wahrscheinlichkeit für unterschiedliche Geschlechter 75% sobald man ein Kind am Fenster sieht? An deiner Stelle wäre es vernünftig mal die Antworten derer, die es genau wissen durchzulesen und zu verstehen.
@scrub: Genau das habe ich schon etwa zehn mal erklärt. JM ist weniger wahrscheinlich als bla blubb usw.
Bye, TGGC
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und wo in der aufgabe steht, das der "Junge am Fenster" irgendwas mit Zufall zu tun hat?
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Wir habe es doch schon x-mal geschrieben. Lies!
Sowas muss nicht da stehen. Sonst könntest du nämlich hier jede Lösung herdiskutieren von "Junge steht nur am Fenster, weil ihn seine Schwester nervt => 100% Mädchen" über "neugierige Mädchen rennen immer als erste zum Fenster => 100% Jungen" bis "also in dieser Alienwelt mit 5 Geschlechtern...". Es heisst ja ausserdem nicht, das dieser bestimmte Junge zufällig am Fenster steht, sondern nur das alle Menschen die am Fenster stehen mit einer Chance von 50% männlich sind und es daher Zufall ist, das man in diesem Fall gerade eine Jungen sieht. So eine Annahme ist ganz natürlich im Gegensatz zu der willkürlichen Konstruktion die aus der Beobachtung eines einzigen Jungen folgert, das in allen Familien mit Brüder/Schwester Paaren sets und ständig nur der Junge am Fenster steht.
Bye, TGGC
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Ich korrigiere mich, denn ich glaube die 1/3 vs. 2/3 Fraktion hat Recht, weil die Unabhängigkeit der Ereignisse, die zum Zeitpunkt der Geburt gilt, bei dem späteren Beobachtungsexperiment nicht mehr gilt.
finix schrieb:
Viel, viel Text
Leuchtet mir ein.
