Rätsel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung

Ich lehne mich mal aus dem Fenster und behaupte, dass die Ereignisse "Junge steht am Fenster" und "2. Kind ist ein Mädchen" unabhängig sind. Damit wäre die Wahrscheinlichkeit

P~beide Kinder~[Junge und Mädchen] = P~1. Kind~[Kind ist ein Junge] * P~2. Kind~[Kind ist ein Mädchen]

mit

P~1. Kind~[Kind ist ein Junge] = 1.0 laut Aufgabenstellung

und

P~2. Kind~[Kind ist ein Mädchen] = 0.5 laut Erfahrungswissen

Damit wäre

P~beide Kinder~[Junge und Mädchen] = 1 * 0.5 = 0.5, gleichbedeutend mit der in der Aufgabe erfragten Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Kind ein Mädchen ist.

Zur Veranschaulichung eine Analogie:
Eine Frau liegt im Kreisssaal und bekommt ihr zweites Kind. Ihr erstes Kind ist ein Junge (kann meinetwegen auch gerade am Fenster stehen ). Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Neugeborene ein Mädchen ist? Natürlich 50%, weil das Geschlecht des ersten Kindes in der Regel nicht das Geschlecht des zweiten beeinflußt.

chris90

im grunde ist die antwort schon auf seite 1 genannt worden.
MJ und JM sind dasselbe, folglich gibt es nur noch die Möglichkeiten JM oder JJ.
Egal auf welchem Wege ich gehe, es kommt immer 50% raus.

Wenn ich P(M) unabhängig mache vom Jungen, dann kriege ich 50%.
Mache ich es abhängig vom Jungen, so weiß ich entweder JM oder JJ und da ist die Wahrscheinlichkeit dann wieder 50%.

Ist doch eigentlich schön einfach.

dooya

chris90 schrieb:

im grunde ist die antwort schon auf seite 1 genannt worden.
MJ und JM sind dasselbe, folglich gibt es nur noch die Möglichkeiten JM oder JJ.
Egal auf welchem Wege ich gehe, es kommt immer 50% raus.

Wenn ich P(M) unabhängig mache vom Jungen, dann kriege ich 50%.
Mache ich es abhängig vom Jungen, so weiß ich entweder JM oder JJ und da ist die Wahrscheinlichkeit dann wieder 50%.

Ist doch eigentlich schön einfach.

Ihr könnt nicht wählen, ob diese Ereignisse unabhängig sind oder nicht.

chris90

natürlich können wir das nicht, aber mein beispiel zeigt, dass wir es auch gar nicht müssen.

dooya

chris90 schrieb:

natürlich können wir das nicht, aber mein beispiel zeigt, dass wir es auch gar nicht müssen.

Dein Beispiel funktioniert m.E. nur, weil die Ereignisse unabhängig sind.

finix

Was'n Thread...

Optimizer schrieb:

Es handelt sich hier um eine bedingte Wahrscheinlichkeit.

Richtig. Und im folgenden gut aufpassen:

Das Rätsel schrieb:

Man bekommt neue Nachbarn, eine Familie mit zwei Kindern.

P("Nachbarn haben 2 Kinder") = 1

Optimizer schrieb:

Es gibt 4 gleich wahrscheinliche Möglichkeiten: MM, MJ, JM, JJ.

Genau, die beiden Geburten sind unabhängig voneinander.
P("MM") = 1/4
P("MJ") = 1/4
P("JM") = 1/4
P("JJ") = 1/4

Das Rätsel schrieb:

Nun sieht man am Fenster einen Jungen stehen

Die neugewonnene Information:
P("Nachbarn haben einen Jungen") = 1

Optimizer schrieb:

Nur weil der Fall MM nicht vorliegt, kann man nicht die Wahrscheinlichkeiten einfach umbiegen, so dass es nur noch 3 Möglichkeiten gäbe.

Genau hier liegst du falsch. Das ist ja das Wesen der bedingten Wahrscheinlichkeit; die Wahrscheinlichkeit einzelner Ereignisse ändert sich aufgrund zusätzlicher Gegebenheiten:

P("MM") = 0

Bleiben noch genau drei 2-elementige geordnete Mengen aus {M,J}

MJ
JM
JJ

Wegen P("Nachbarn haben 2 Kinder") = 1 muss die Summe der Wahrscheinlichkeiten dass eine dieser Kombinationen vorliegt 1 ergeben; da wir weiterhin festgestellt haben das jede dieser Möglichkeiten gleich wahrscheinlich ist ergibt sich ohne viel Rechenaufwand

P("MJ") = 1/3
P("JM") = 1/3
P("JJ") = 1/3

Nun gilt

P("Nachbarn haben ein Mädchen") = 1/3 + 1/3 + 0 = 2/3

Etwas formeller ausgedrückt:

A := "Nachbarn haben ein Mädchen"
P(A) = 3/4

B := "Nachbarn haben einen Jungen"
P(B) = 3/4

P(A|B) = (1/2) / (3/4) = 2/3

Du schließt den Fall ww auf die falsche Weise aus. Ich habe aber keine Lust mehr, es noch hundertmal zu sagen. Du darfst ihn nicht direkt ausschließen, eben wegen der bedingten Wahrscheinlichkeit. Du baust deine bedingte Wahrscheinlichkeit darauf auf, dass du die Wahrscheinlichkeit der ersten Stufe schon kennst. In Wirklichkeit kennst du aber nur das Ergebnis des ersten Experiments.
Krass, warum kann das nicht in euere Schädel??
Nur weil es einen Jungen gibt, war deshalb nicht dafür die Wahrscheinlichkeit 1, dass es einen geben wird.

Noch einmal: Du kennst nicht die Wahrscheinlichkeiten, nur weil du das Ergebnis eines Ausgangs hast. P("es gibt nen Jungen") = < unknown > und wurde deshalb als 0.5 angenommen unter der Annahme gleicher Geburtenraten. P("es steht ein Junge am Fenster") ist natürlich bekannt. Daraus kannst du nicht auf die => => Wahrscheinlichkeit <= <= von "es gibt nen Jungen" schließen. Du weißt nur, dass es gerade einen gibt, kennst also gerade den Ausgang eines Zufallsexperiments, was einmal durchgeführt wurde.

Es ist nicht, weil ich eine 6 gewürfelt habe, P(6) = 1 gewesen. Es hätte auch ne 1 werden können. Blödsinn. Riesenblödsinn. Nix mehr Spaß. Optimizer Hunger.

Daniel E.

Optimizer schrieb:

Noch einmal: Du kennst nicht die Wahrscheinlichkeiten, nur weil du das Ergebnis eines Ausgangs hast.

... also darf ich doch das Wissen verwenden, oder etwa nicht?

Schau, das Problem ist steinalt und überall kommt 1/3 heraus, außer bei dir. Auch G.v. Randow, der ein bekanntes Buch über das nebenan diskutierte Ziegenproblem geschrieben hat, hat das in einem ZEIT-Artikel erklärt: http://www.zeit.de/archiv/1996/27/gloswis.txt.19960628.xml?page=all

Die Standardlösung aller Aufgaben, die so ähnlich klingen, wie im OP ist immer 1/3 oder 2/3 je nachdem, nach was man fragt. Nur bei dir und dem unvermeidlichen TGGC nicht.

Es ist nicht, weil ich eine 6 gewürfelt habe, P(6) = 1 gewesen. Es hätte auch ne 1 werden können.

Ich werfe einen irgendeinen Körper, es fällt eine Sechs, also ist es ein Würfel, der laplaceverteilte Ergebnisse bringt. Ist schon klar. Winkewinke.

... also darf ich doch das Wissen verwenden, oder etwa nicht?

Du verwendest aber nicht das Wissen. Das Wissen wäre, dass es bei diesem Ausgang des Zufallsexperiments mindestens einen Jungen gegeben hat. Das Wissen ist nicht, dass die Wahrscheinlichkeit dafür 1 war.

Ich werfe einen irgendeinen Körper, es fällt eine Sechs, also ist es ein Würfel, der laplaceverteilte Ergebnisse bringt. Ist schon klar. Winkewinke.

Ich werfe eine 6, also muss der Würfel wohl so manipuliert sein, dass er immer 6 liefert. Winkewinke.

Ist doch eh lächerlich. Warum muss ich eigentlich begründen, dass der Junge bei 2 Kindern mit 50% Wahrscheinlichkeit am Fenster steht? Warum begründest du nicht zur Abwechslung, warum der Junge dann ans Fenster gestellt werden sollte? Du und Jester habt nie auch nur einen einzigen Grund genannt, warum das so sein sollte. Es gibt ihn ja auch gar nicht. Es ist überhaupt sehr auffällig, wie immer nur die 1/2 Fraktion sowas wie Begründungen liefert.

Dein Link auf den Zeit-Artikel, behandelt eine andere Aufgabenstellung und es spricht nicht für dich, dass du den hier bringst. Bei der verlinkten Aufgabenstellung kommt nicht mal eine bedingte Wahrscheinlichkeit vor. Winkewinke. Du verstehst die Aufgabenstellung nicht und wirst sie auch nicht verstehen. Stattdessen versuchst du hier einen Zusammenhang herzustellen, obwohl es im Zeit-Artikel gar keine zwei von einander abhängigen Zufallsexperimente gibt. Glaub, was du glauben willst. Ich klinke mich jetzt aus.

scrub

ist ja kein grund, einfach hinzuschmeißen, oder?

so, habe mir nochmal ein paar gedanken gemacht und komme auf 1/2.

erklärung: man nehme die verbliebenen möglichkeiten MJ, JM und JJ. sie sind gleichwahrscheinlich, also jeweils 1/3.

jetzt sehen wir uns an, mit welcher wahrscheinlichkeit der junge am fenster steht. die ist jeweils 1/2 bei JM und MJ, 1 bei JJ.

jetzt wissen wir: der junge steht am fenster. dazu ist die gesamtwwahrscheinlichkeit 4/6, nämlich 1/3 * 1/2 für MJ + 1/3 * 1/2 für JM + 1/3 * 1 für JJ.

davon entfällt genau die hälfte, nämlich 1/3 auf die kombinationen mit mädchen, das andere 1/3 entfällt auf JJ.

also ergibt sich da verhältnis 1/3 : 1/3 = 1 : 1

was einer wahrscheinlichkeit von 1/2 für ein mädchen ergibt.

TGGC

@Daniel E.: Kapiers doch endlich! Deine Lösung ist falsch. Mit welcher Begründung drängelt sich jeder Junge vor das Mädchen? Das steht nicht in der Aufgabe. Dein Link beschreibt also etwas ganz anderes. Wir müssen auch alle Fälle auschliessen, in denen ein Mädchen mit Bruder am Fenster steht, dort Zählen diese Fälle hinzu, daher gibts dort mehr Mädchen. Es ist so simpel zu verstehen, nimmt man sich mal eine Minute dafür.

Warum ist, wenn man Eure Theorie weiterdenkt, die Wahrscheinlichkeit für unterschiedliche Geschlechter 75% sobald man ein Kind am Fenster sieht? An deiner Stelle wäre es vernünftig mal die Antworten derer, die es genau wissen durchzulesen und zu verstehen.

@scrub: Genau das habe ich schon etwa zehn mal erklärt. JM ist weniger wahrscheinlich als bla blubb usw.

Bye, TGGC

b7f7

und wo in der aufgabe steht, das der "Junge am Fenster" irgendwas mit Zufall zu tun hat?

TGGC

Wir habe es doch schon x-mal geschrieben. Lies!

Sowas muss nicht da stehen. Sonst könntest du nämlich hier jede Lösung herdiskutieren von "Junge steht nur am Fenster, weil ihn seine Schwester nervt => 100% Mädchen" über "neugierige Mädchen rennen immer als erste zum Fenster => 100% Jungen" bis "also in dieser Alienwelt mit 5 Geschlechtern...". Es heisst ja ausserdem nicht, das dieser bestimmte Junge zufällig am Fenster steht, sondern nur das alle Menschen die am Fenster stehen mit einer Chance von 50% männlich sind und es daher Zufall ist, das man in diesem Fall gerade eine Jungen sieht. So eine Annahme ist ganz natürlich im Gegensatz zu der willkürlichen Konstruktion die aus der Beobachtung eines einzigen Jungen folgert, das in allen Familien mit Brüder/Schwester Paaren sets und ständig nur der Junge am Fenster steht.

Bye, TGGC

dooya

Ich korrigiere mich, denn ich glaube die 1/3 vs. 2/3 Fraktion hat Recht, weil die Unabhängigkeit der Ereignisse, die zum Zeitpunkt der Geburt gilt, bei dem späteren Beobachtungsexperiment nicht mehr gilt.

finix schrieb:

Viel, viel Text

Leuchtet mir ein.

dooya

TGGC schrieb:

Wir habe es doch schon x-mal geschrieben. Lies!

Sowas muss nicht da stehen. Sonst könntest du nämlich hier jede Lösung herdiskutieren von "Junge steht nur am Fenster, weil ihn seine Schwester nervt => 100% Mädchen" über "neugierige Mädchen rennen immer als erste zum Fenster => 100% Jungen" bis "also in dieser Alienwelt mit 5 Geschlechtern...". Es heisst ja ausserdem nicht, das dieser bestimmte Junge zufällig am Fenster steht, sondern nur das alle Menschen die am Fenster stehen mit einer Chance von 50% männlich sind und es daher Zufall ist, das man in diesem Fall gerade eine Jungen sieht. So eine Annahme ist ganz natürlich im Gegensatz zu der willkürlichen Konstruktion die aus der Beobachtung eines einzigen Jungen folgert, das in allen Familien mit Brüder/Schwester Paaren sets und ständig nur der Junge am Fenster steht.

Bye, TGGC

Nein, die Aufgabe verlangt ganz klar, dass du unter der Voraussetzung, dass ein Junge am Fenster steht, einschätzen sollst, wie wahrscheinlich das zweite Kind ein Mädchen ist. Die Fälle in denen ein Mädchen am Fenster steht sind durch die Aufgabenstellung ausgeschlossen.

Ich möchte es nun mal auf ganz einfache Weise anschaulich machen.
Es gibt die Kombinationen MJ JM JJ MM. Da wir nicht wissen ob das 1. oder das 2. Kind am Fenster steht gibt es zusätzlich nochmal vier Kombinationen:
MJ
MJ
JM
JM
JJ
JJ
MM
MM
das jeweils fettgedrucke Kind steht am Fenster. Da ein Junge am Fenster steht fallen alle Möglichkeiten bei denen M fettgedruckt ist raus. D.h. es bleiben folgende Möglichkeiten übrig.
JJ
JJ
JM
MJ
Das sind vier und nicht wie viele hier angenommen haben 3 Möglichkeiten da die Reihenfolge wichtig ist ob erstes bzw. zweites Kind am Fenster steht da sons MJ das gleiche wie JM wäre und es nur die Möglichkeit MJ und JJ gäbe wo die Wahrscheinlichkeit für Mädchen auch nur 50% ist.
Bei diesen vier Möglichkeiten ist eindeutig, dass die Wahrscheinlichkeit 50% beträgt greetz.
Hoffentlich haben die Leute es jetzt begriffen was TGGC die ganze Zeit versucht klar zu machen.

TGGC

@Yogibär: Diese 8. Liste habe ich schon dreimal gepostet, offensichtlich können einige hier aber nicht sowiet zählen.

dooya schrieb:

Nein, die Aufgabe verlangt ganz klar, dass du unter der Voraussetzung, dass ein Junge am Fenster steht, einschätzen sollst, wie wahrscheinlich das zweite Kind ein Mädchen ist. Die Fälle in denen ein Mädchen am Fenster steht sind durch die Aufgabenstellung ausgeschlossen.

Eben. Mädchen am Fenster mit Bruder ist ausgeschlossen. Daher gibt es viel weniger JM/MJ Päärchen in der neuen Grundmenge als JJ => P(JM) != P (JJ).

Bye, TGGC

dooya

Arrrgh, nun bin ich durch die gute Argumentation von yogibear vollends verwirrt.

dooya

TGGC schrieb:

[...] Daher gibt es viel weniger JM/MJ Päärchen in der neuen Grundmenge als JJ => P(JM) != P (JJ).

Bye, TGGC

Das sieht bei yogibear aber anders aus.

TGGC

Nein sieht es nicht. Er hat ein JM Fall, wo ein Junge am Fenster steht, aber zwei bei JJ. D.h. JJ ist doppelt so wahrscheinlich.

Bye, TGGC