Rätsel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung

volkard

manchmal, wenn ich den durchblick vollends verliere, ist es mir hilfreich, wahrscheinlichkeiten einfach nur als relative häufigkeiten bei großer anzahl der versuche zu sehen.

ich baue zuerst eine million welten, die alle gleich sind bis auf die nachbarn. und ich setze auch eine million gleichverteilte nachbarsfamilien in die welten.

also 250000 mit JJ und 250000 mit MM und 500000 mit MJ.

"Nun sieht man am Fenster einen Jungen stehen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind ein Mädchen ist?"

das bleibt doch jetzt dabei, daß ich die 250000 welten mit MM ausschließen muss.

1/3 kömmt raus.

oder, um es in die bedingte-wahrscheinlichkeiten-formel zu pressen:
A := Es liegt JJ vor
B := Ein Junge steht am Fenster
und laut text ist B==100%.
weitere rechnung müßte klappen, die formel stimmt ja.

Jester

Optimizer schrieb:

A := Es liegt JJ vor
B := Ein Junge steht am Fenster

P(A | = P(A geschnitten / P(B) = (1/4) / (1/4 + 1/4 * 1/2 + 1/4 * 1/2) = 1/2

Es ist also P(JJ) = 0.5, damit kann P(JM)+P(MJ) gar nicht mehr 2/3 sein. Das stimmt übrigens auch mit meinem Buch überein.

Wo bitte steht bei Dir P(B)? Man sieht einen Jungen. Fertig. P(B)=1, das sichere Ereignis.

Es steht nicht da: Man sieht jedes der Kinder mit WK xy und es handelt sich um einen Jungen, sondern einfach: Man sieht einen Jungen. Da gibt es keine bedingt Wahrscheinlichkeit.

borg

edit

Jester schrieb:

Wo bitte steht bei Dir P(B)? Man sieht einen Jungen. Fertig. P(B)=1, das sichere Ereignis.

P(B) = 0 + 1/4 + 1/8 + 1/8 (für MM, JJ, JM, MJ)
Es geht nicht darum, ob jetzt der Junge am Fenster steht. Das wäre natürlich eins. Es geht darum ob er am Fenster stehen würde, bei bestimmten Kombinationen.

Da gibt es keine bedingt Wahrscheinlichkeit.

IMHO auf jeden Fall. Erstens gibt es vier Möglichkeiten. Dann stellt sich auch noch in Abhängigkeit von (1) ein Kind mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit ans Fenster. Warum sagt Google eigentlich so wenig über das Zwei-Jungen-Problem? Das ist doch ein absolut klassisches Beispiel. Ich kann mir nicht vorstellen, dass das in jedem Buch anders beschrieben wird. Wenn du es mir nur begründen kannst, warum ich jetzt was anderes glauben soll, ok. Aber im Moment kann ich es nicht einsehen, warum ich mein Buch verbrennen soll.

volkard schrieb:

das bleibt doch jetzt dabei, daß ich die 250000 welten mit MM ausschließen muss.

Warum? Magst du meinen Algorithmus nicht? Ich glaub, ich werd ihn mal implementieren.

using Random = System.Random;

namespace ZweiJungen
{
	sealed class Program
	{
		private static void Main(string[] args)
		{
			Random rand = new Random();
			int[] childs = new int[2];
			int boyCount = 0;
			int girlCount = 0;

			// 0 = Junge, 1 = Mädchen
			for( int i = 0;  i < 100000000;  ++i )
			{
				childs[0] = rand.Next() % 2;
				childs[1] = rand.Next() % 2;
				int choice = rand.Next() % 2;

				// Es muss ja ein Junge am Fenster stehen
				if( childs[choice] == 1 )
					continue;

				if( childs[(choice + 1) % 2] == 0 )
					++boyCount;
				else
					++girlCount;
			}

			System.Console.Out.WriteLine("Jungen: " + boyCount);
			System.Console.Out.WriteLine("Mädchen: " + girlCount);
		}
	}
}

Jungen: 25002404
Mädchen: 24994204
Drücken Sie eine beliebige Taste . . .

borg

volkard schrieb:

also 250000 mit JJ und 250000 mit MM und 500000 mit MJ.

hier liegt dein fehler, du hast 250000 JJ, 250000 MM, 250000 MJ und 250000 JM.
wenn du jetzt weisst, das erste kind ist ein junge, dann bleiben über: JJ und JM. MJ fällt weg, bei MJ ist das erste kind ein mädchen.
=> die chance ist 50/50

Meiner Meinung nach macht man, wenn man sagt die Wahrscheinlichkeit sei 2/3 folgenden Fehler.
Angenommen man bekommt Nacbbarn und sieht ein Kind, es wäre nun Schwachsin zu sagen, die Wahrscheinlichkeit dass das andere Kind vom anderen Geschlecht ist 2/3 beträge. Man geht allerdings bereits davon aus, dass nur ein Junge dort stehen kann, also im Sinne von "entweder ein Junge steht am Fenster oder keiner".

http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=36298

P(anderes Kind J|J gesehen) = P(anderes Kind J und J gesehen)/P(J gesehen) = (1/4)/(3/4) = 1/3

b7f7

ist das 2. kind nicht unabhängig vom ersten, genau wie 2 geworfene geldstücke?
und hat somit p=0.5

Jester

borg schrieb:

volkard schrieb:

also 250000 mit JJ und 250000 mit MM und 500000 mit MJ.

hier liegt dein fehler, du hast 250000 JJ, 250000 MM, 250000 MJ und 250000 JM.
wenn du jetzt weisst, das erste kind ist ein junge, dann bleiben über: JJ und JM. MJ fällt weg, bei MJ ist das erste kind ein mädchen.
=> die chance ist 50/50

Nein, Du hast nicht das erste gesehen, sondern eines davon.

b7f7

Jester schrieb:

borg schrieb:

volkard schrieb:

also 250000 mit JJ und 250000 mit MM und 500000 mit MJ.

hier liegt dein fehler, du hast 250000 JJ, 250000 MM, 250000 MJ und 250000 JM.
wenn du jetzt weisst, das erste kind ist ein junge, dann bleiben über: JJ und JM. MJ fällt weg, bei MJ ist das erste kind ein mädchen.
=> die chance ist 50/50

Nein, Du hast nicht das erste gesehen, sondern eines davon.

du kennst die belegung der ersten variable [J] somit fallen alle Belegungen weg mit [M][X].

Jester

Optimizer schrieb:

int choice = rand.Next() % 2;

// Es muss ja ein Junge am Fenster stehen
if( childs[choice] == 1 )
  continue;

Dein Fehler ist, daß Du ziehst, welches Kind Du siehst. Es steht aber in der Aufgabenstellung: Du siehst einen Jungen. Nicht Du siehst beide Kinder mit gleicher Wahrscheinlichkeit.

Der richtige Test lautet also: if(chides[0]==1 && childs[1]==1) continue;
Im anderen Fall siehst Du den Jungen, weil es so in der Aufgabenstellung steht.

Alternativ könntest Du auch Würfeln welches Kind Du siehst und dessen Wert auf "Junge" setzen. Denn Du siehst sicher einen Jungen, nicht nur manchmal. (Aufgabenstellung)

Jester

Optimizer schrieb:

Jester schrieb:

Wo bitte steht bei Dir P(B)? Man sieht einen Jungen. Fertig. P(B)=1, das sichere Ereignis.

P(B) = 0 + 1/4 + 1/8 + 1/8 (für MM, JJ, JM, MJ)
Es geht nicht darum, ob jetzt der Junge am Fenster steht. Das wäre natürlich eins. Es geht darum ob er am Fenster stehen würde, bei bestimmten Kombinationen.

Nein. Lies die Aufgabenstellung.

Jester

b7f7 schrieb:

du kennst die belegung der ersten variable [J] somit fallen alle Belegungen weg mit [M][X].

Herrgott nein. Du kennst die Belegung einer Variablen, nicht die von der ersten.

Jester schrieb:

Dein Fehler ist, daß Du ziehst, welches Kind Du siehst. Es steht aber in der Aufgabenstellung: Du siehst einen Jungen. Nicht Du siehst beide Kinder mit gleicher Wahrscheinlichkeit.

Du tust so, als wäre das ein Widerspruch, ist es aber nicht. Du siehst eines (ein beliebiges) der Kinder und es ist ein Junge. Wenn du nicht zufällig gerade nen Jungen siehst zählt es nicht, denn wir sollen ja den Jungen sehen.
Was du machst, ist ganz fies. Du sagst, dass du immer den Jungen siehst, wenn es denn einen gibt. Das ist definitiv gemogelt, weil du damit, wie borg schon sagt, 50% der Permutationen {M, J} aus den Verkehr ziehst. Anders gesagt, du schließt es aus, wenn es ein Mädchen und ein Junge ist, dass das Mädchen am Fenster steht.

Das ist mit Sicherheit nicht im Sinne der Aufgabe. Die Aufgabe will, dass es zwei Kinder gibt und eines davon sieht zufällig hinaus. Und es ist auch noch zufälligerweise ein Junge. Bis dahin ist es gegeben. Diese Aufgabenstellung wird übrigens oft modifziert gestellt nach dem Motto "Man nehme an, Mädchen seien neugieriger und sehen mit 70% Wahrscheinlichkeit hinaus, Jungen nur mit 30%". In diesem Fall jetzt ist natürlich 50%-50% anzunehmen.

Jester

Was ich mache entspricht genau der Aufgabenstellung. Da steht: Man sieht einen Jungen. Daß beide mit irgendeiner Wahrscheinlichkeit rausschauen ist frei erfunden.

Btw.: Im Spektrum der Wissenschaft war die Aufgabe auch mal so drin. Rate was rauskommt?

volkard

Optimizer schrieb:

Jungen: 25002404
Mädchen: 24994204
Drücken Sie eine beliebige Taste . . .

der code ist leichter zu prüfen als die mathematischen überlegunen. und ich halte den code für korrekt. also hast du doch recht. nur verstehe ich deine mathematik nicht.

Jester schrieb:

Daß beide mit irgendeiner Wahrscheinlichkeit rausschauen ist frei erfunden.

Dass immer der Junge raussieht und das Mädchen irgendwo im Keller eingesperrt ist, ist genauso frei erfunden. Natürlich ist es Zufall, dass gerade der Junge im Fenster steht. Ich glaube, du bist der erste hier, der annimmt, dass immer der Junge rausschauen muss, wenn es ein Mädchen und ein Junge gibt.

Ganz praktisch betrachtet: Würde die in der Aufgabe geschilderte Situation eintreten, ihr würdet doch nicht sagen dass die Wahrscheinlichkeit dass das andere Kind ein Mädchen ist nicht 50% beträgt, oder?