Rätsel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung

[TGGC]

finix schrieb:

Black Shadow__ schrieb:

Sry aber was ist nun die Lösung?

2/3

Falsch.

@Black Shadow: Ja, so kann man es sehen.

Stehem die Buchstaben aber nicht in der Reihenfolge, wie Kinder am Fenster auftauchen, sondern wie sie geboren sind, ist die Verteilung so:
p WW = 0, MJ = 0.25, JM = 0.25, JJ = 0.5

Bye, TGGC

[scrub]

finix schrieb:

Die Nachbarn haben zwei Kinder. Die Geschlechterverteilung bei zwei Kindern kann im allgemeinen MM, MJ, JM und JJ sein. Da nun aber bekannt ist dass mindestens eines der Kinder ein Junge ist, ist die Variation MM im konkreten Fall ausgeschlossen.

ja, und jetzt geh doch alle übrigen fälle mal einzeln durch:

MJ: hier stehen im schnitt ein halbes mädchen und ein halber junge am fenster.
JM: dito
JJ: hier steht im schnitt ein junge am fenster.

insgesamt stehen also 1 mädchen und zwei jungen am fenster.

jetzt sehen und wissen wir: ein junge steht am fenster.

davon entfällt ein junge auf JJ, jeweils ein halber auf MJ bzw. JM. also entfällt die hälfte auf eine kombination mit einem mädchen, die andere hälfte auf die mit einem jungen. also 50% im ergebnis.

[finix]

Wie kommt ihr auf diese Idee? Das ist doch Unsinn.

TGGC schrieb:

Da du schonmal eingesehen hast, das die Chance auf den Jungen am Fenster 50% ist

Das fällt wohl unter Lesekompetenz. Ich mich lediglich korrigiert, da ich dich falsch gequotet habe; ich dachte du meinst allgemein bestünde eine Chance von 50% einen Jungen in unter den zwei Kindern zu finden, obwohl sie 75% beträgt (ja, auch wenn die Summe der Jungen aller Variationen lediglich 50% der Summe aller Kinder aller Variationen ausmacht).

Wir wissen nicht warum der Junge am Fenster steht, wir wissen nicht wie groß die Chance ist dass überhaupt ein Kind am Fenster steht, wir wissen nicht wie sich das gegenüber der Wahrscheinlichkeit dass ein Mädchen am Fenster steht verhält, wir wissen nicht wie groß die Chance ist einen Jungen oder ein Mädchen auch zu sehen wenn es am Fenster steht.
Die einzig verwertbare Information ist dass ein Junge am Fenster steht, d.h. dass unter den beiden Kindern ein Junge ist.

@scrub
Ich wette dass du in deinem nächsten Leben als Regenwurm wiedergeboren wirst. Meine Chancen diese Wette zu gewinnen sollten ja gar nicht so schlecht stehen, oder? Gibt ja nur die beiden Möglichkeiten dass dieses Ereigniss eintritt oder eben nicht... 50% Chance

[TGGC]

finix schrieb:

Ich wette dass du in deinem nächsten Leben als Regenwurm wiedergeboren wirst. Meine Chancen diese Wette zu gewinnen sollten ja gar nicht so schlecht stehen, oder? Gibt ja nur die beiden Möglichkeiten dass dieses Ereigniss eintritt oder eben nicht... 50% Chance

Ach versuchen wir es schon mit Polemik? Nunja wenn aber ein Kind am Fenster steht, dann gibt es wirklich nur 2 Möglichkeiten, entweder es ist ein Junge, oder ein Mädchen. Oder willst du das bestreiten.

Du kannst dir natürlich nun das Leben schwer machen und noch einrechnen das 70% aller Kinder fensterscheu sind usw. Das wird aber am Ergebnis nichts ändern. Wichtig ist allein, das ich bei einer JJ Familie eine höhere Chance habe, einen Jungen am Fenster zu entdecken, als bei JM, denn es sind einfach mehr Jungen da! Daher gilt P(JM) = P(MJ); P(JM) < P (JJ) nachdem der Junge gesehen wurde. Und das ist genau was scrub (in einer vielleicht mathemathisch inkorrekten Weise) gesagt hat.

Und übrigens wissen wir tatsächlich nicht, warum der Junge am Fenster steht, daher Frage ich mich wovon hier immer wieder abgeleitet wird, das er da steht, weil er sich vor seine Schwester drängelt? Nein, er ist zufällig vor ihr da, es hätte andersrum dein können, daher schliesst man die Hälfte der JM Fälle aus!

Bye, TGGC

[finix]

TGGC schrieb:

finix schrieb:

Ich wette dass du in deinem nächsten Leben als Regenwurm wiedergeboren wirst. Meine Chancen diese Wette zu gewinnen sollten ja gar nicht so schlecht stehen, oder? Gibt ja nur die beiden Möglichkeiten dass dieses Ereigniss eintritt oder eben nicht... 50% Chance

Ach versuchen wir es schon mit Polemik?

Polemik? lofl.. ich wende nur eure Logik an.

TGGC schrieb:

Nunja wenn aber ein Kind am Fenster steht, dann gibt es wirklich nur 2 Möglichkeiten, entweder es ist ein Junge, oder ein Mädchen. Oder willst du das bestreiten.

Versuchen wir's jetzt selbst mit Polemik oder was? Ich hab nie bestritten das ein Kind normalerweise entweder ein Junge oder ein Mädchen ist.

TGGC schrieb:

Du kannst dir natürlich nun das Leben schwer machen und noch einrechnen das 70% aller Kinder fensterscheu sind usw. Das wird aber am Ergebnis nichts ändern. Wichtig ist allein, das ich bei einer JJ Familie eine höhere Chance habe, einen Jungen am Fenster zu entdecken, als bei JM, denn es sind einfach mehr Jungen da! Daher gilt P(JM) = P(MJ); P(JM) < P (JJ) nachdem der Junge gesehen wurde. Und das ist genau was scrub (in einer vielleicht mathemathisch inkorrekten Weise) gesagt hat.

Die Wahrscheinlichkeit dass bei JJ ein Junge am Fenster steht ist tatsächlich größer als bei JM oder MJ, da dort schlicht keine Mädchen vorhanden sind.
Aber das alles ist relativ wertlos; ihr könnt schlicht nicht sagen wie groß die Wahrscheinlichkeit ist dass da ein Junge oder Mädchen steht, weil ganz einfach Informationen und Modelle fehlen.

TGGC schrieb:

Und übrigens wissen wir tatsächlich nicht, warum der Junge am Fenster steht, daher Frage ich mich wovon hier immer wieder abgeleitet wird, das er da steht, weil er sich vor seine Schwester drängelt? Nein, er ist zufällig vor ihr da, es hätte andersrum dein können, daher schliesst man die Hälfte der JM Fälle aus!

Niemand behauptet dass sich der Junge vor seine mit ~33%iger Wahrscheinlichkeit existierende Schwester drängelt. Allein ihr behauptet dass er es nicht tut und gründet eure Theorie darauf.
Man kann es schlicht nicht sagen wie groß diese Wahrscheinlichkeit war. Es fehlen die Informationen!
Vor allem: selbst wenn die Wahrscheinlichkeit dass ein Junge am Fenster steht unter den gegebenen, unbekannten, Umständen 0,3% betrug, genau dieses Ereignis ist in diesem einen konkreten Fall eingetreten.

Ein weiterer Lösungsansatz, unter zuhilfenahme eurer Taktik.

das Rätsel schrieb:

Man bekommt neue Nachbarn, eine Familie mit zwei Kindern.

Ok, da gibt es nichts zu rütteln, die Familie hat zwei Kinder.

das Rätsel schrieb:

Nun sieht man am Fenster einen Jungen stehen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind ein Mädchen ist?

Aha. Ein Junge steht am Fenster.
Gleich mal eine Liste machen:

A := Es handelt sich um eines der Nachbarskinder
B := Es ist ein Freund eines der Nachbarskinder
C := Es handelt sich um einen Verwandten der Familie

So spontan aus dem Bauch heraus würde ich sagen dass alle weiteren Möglichkeiten (der Junge ist ein Einbrecher; man erkennt nicht dass das Kind eigentlich ein Mädchen ist das wie ein Junge aussieht; etc).

Da ich nicht wissen kann wie die tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten aussehen sind alle Fälle natürlich gleich wahrscheinlich:

P(A) = 1/3
P(B) = 1/3
P(C) = 1/3

Bei B (willkürlich rausgegriffen) stellt sich natürlich die Frage ob eher Mädchen oder eher Jungen männliche Freunde haben.

D := Der Junge ist Freund eines weiblichen Nachbarkinds

Da das von vielen (mal wieder unbekannten) Faktoren abhängt nehme ich einfach folgendes ab:

P(D) = 1/2

Weiterhin ist mir nicht klar wie und warum ein Junge am Fenster steht, und wie wahrscheinlich bei Jungen das Fensterstehverhalten bei den wesentlichen Gründen für die Sichtbarkeit an irgendwelchen Fenstern unter welchen (dto, unbekannten) Umständen ist, also übernehme ich also eure Tabelle:

P(JM) = 1/4
P(MJ) = 1/4
P(JJ) = 1/2

Daraus ergibt sich

Das absolute Endergebnis schrieb:

P("Nachbarn haben ein Mädchen"|"Junge steht am Fenster")
= P(A) * P(EUER_ERGEBNIS) + P(B) * P(D)
= 1/3 * 1/2 + 1/3 * 1/2
= 2/5

Damit sollte zweifelsfrei bewiesen sein das wir alle falsch lagen und die Wahrscheinlichkeit in Wahrheit^tm 40% beträgt.

Naja, ihr wart zumindest näher dran.

q.e.d.

[dooya]

Die Frage, wie oft und warum ein Junge am Fenster steht ist für die Aufgabe nicht relevant, denn in der Aufgabenstellung wird dies explizit gefordert, d.h. alle Fälle in denen ein Mädchen am Fenster steht werden a priori ausgeschlossen. Oder anders: die Frage nach dem Geschlecht des zweiten Kindes soll unter der Vorraussetzung, dass eines der beiden Kinder ein Junge ist, beantwortet werden.

Unstrittig dürfte sein, dass für Familien mit zwei Kindern immer gilt:
$\Omega = \{\{M,M\}, \{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\}$

mit

$P(\{M,M\}) = P(\{M,J\}) = P(\{J,M\}) = P(\{J,J\}) = .25$

Aus dem Ereignis "ein Junge steht am Fenster" folgt "mindestens ein Kind ist ein Junge" und sei mit A bezeichnet und kann formuliert werden als:
$A = \left\{\{x,y\} \in \Omega \,|\, x = \{J\} \vee y = \{J\} \right\}$

Offensichtlich ist
$A = \{\{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\}$ mit

$P(A | \Omega) = P(A) = .75$

Analog zu A kann Ereignis B "mindestens ein Kind ist ein Mädchen" definiert werden:

$B = \left\{\{x,y\} \in \Omega \,|\, x = \{M\} \vee y = \{M\} \right\}$

Und offensichtlich ist
$B = \{\{M,M\}, \{M,J\}, \{J,M\}\}$ mit

$P(B|\Omega) = P(B) = .75$

In der Aufgabenstellung wird nun gefragt, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Mädchen unter den Kindern ist (Ereignis B), wenn man einen Jungen am Fenster sieht (Ereignis A), also

$P(B | A)$.

Dies kann bekanntlich berechnet werden nach

$P(B | A) = \frac{A \cap B}{P(A)}$

Offensichtlich ist

$A \cap B = \{\{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\} \cap \{\{M,M\}, \{M,J\}, \{J,M\}\}$
$= \{\{M,J\}, \{J,M\}\}$

und natürlich ist P(A \cap = P (\{\{M,J\}, \{J,M}}\}) = .5

Also ist

$P(B | A) = \frac{.5}{.75} = .66$

_edit
Korrektur in der Herleitung von A:
Das Ereignis "ein Junge steht ein Fenster" ist gleichbedeutend mit "mindestens ein Kind ist ein Junge" ersetzt durch: aus "ein Junge steht am Fenster" folgt "mindestens ein Kind ist ein Junge"

[finix]

dooya schrieb:

Die richtige Lösung, sogar in Latex

Hey, hast meine 40% widerlegt.
Wird nur leider nix bringen.

[Black Shadow__]

dooya schrieb:

Offensichtlich ist
$A = \{\{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\}$ mit

warum ist das offensichtlich?
ich finde jm und mj darf nicht unterschieden werden. man beschreibt mit beidem ein und dasselbe. Somit hat man diese Wahscheinlichkeit doppelt.
eins muss gezwungenermaßen herausfliegen.
wenn wir j m und m j als reihenfolge verstehen, kann m j nicht zutreffen. man sieht ja nicht m. somit ist m j keine lösung bzw 0.
kann gut sein dass ich falsch liege.
aber dies als offensichtlich zu deklarieren finde ich falsch.
es ist ofensichtlich wenn du damit die geburtenreihenfolge beschreibst. aber beim Übertragen auf das Problem mit dem Fenster muss eines rausfliegen. s(so sehe ich das)

[finix]

Black Shadow__ schrieb:

dooya schrieb:

Offensichtlich ist
$A = \{\{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\}$ mit

ich finde jm und mj darf nicht unterschieden werden. man beschreibt mit beidem ein und dasselbe. Somit hat man diese Wahscheinlichkeit doppelt.
...
es ist ofensichtlich wenn du damit die geburtenreihenfolge beschreibst. aber beim Übertragen auf das Problem mit dem Fenster muss eines rausfliegen. s(so sehe ich das)

Es ist immer noch die Geburtsreihenfolge, und es sind unterschiedliche Fälle..

[Black Shadow__]

finix schrieb:

Es ist immer noch die Geburtsreihenfolge, und es sind unterschiedliche Fälle..

wenn jm und mj zwei unterschiedlichen fälle sind, kann ein fall nicht zutreffen. oder kannst du diese fälle in bezug auf das fensterproblem verbal darstellen (nich mit mathematischen xy schnickschnak) und deren unterschiede zeigen?
meine meinung: egal ob jm oder mj - in beidn fällen gibt es 1 junge und 1 mädchen. sie sind identisch. entweder man schmeißt eins raus oder p ist die hälfte im vergleich zu jj.

[finix]

Black Shadow__ schrieb:

finix schrieb:

Es ist immer noch die Geburtsreihenfolge, und es sind unterschiedliche Fälle..

wenn jm und mj zwei unterschiedlichen fälle sind, kann ein fall nicht zutreffen. oder kannst du diese fälle in bezug auf das fensterproblem verbal darstellen (nich mit mathematischen xy schnickschnak) und deren unterschiede zeigen?

Die Unterscheidung hat sich nicht geändert seit du gestern fragtest, und du hast den Grund für die Unterscheidung schon selbst ins Spiel gebracht: die Geburtsreihenfolge.

Black Shadow__ schrieb:

meine meinung: egal ob jm oder mj - in beidn fällen gibt es 1 junge und 1 mädchen. sie sind identisch. entweder man schmeißt eins raus oder p ist die hälfte im vergleich zu jj.

Warum?

[dooya]

Black Shadow__ schrieb:

dooya schrieb:

Offensichtlich ist
$A = \{\{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\}$ mit

warum ist das offensichtlich?
ich finde jm und mj darf nicht unterschieden werden. man beschreibt mit beidem ein und dasselbe. Somit hat man diese Wahscheinlichkeit doppelt.
eins muss gezwungenermaßen herausfliegen.
wenn wir j m und m j als reihenfolge verstehen, kann m j nicht zutreffen. man sieht ja nicht m. somit ist m j keine lösung bzw 0.
kann gut sein dass ich falsch liege.
aber dies als offensichtlich zu deklarieren finde ich falsch.
es ist ofensichtlich wenn du damit die geburtenreihenfolge beschreibst. aber beim Übertragen auf das Problem mit dem Fenster muss eines rausfliegen. s(so sehe ich das)

Es ist offensichtlich wegen

$A = \left\{\{x,y\} \in \Omega \,|\, x = \{J\} \vee y = \{J\} \right\}$

Nun könntest du nur noch bemängeln, dass in

$\Omega = \{\{M,M\}, \{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\}$ auch nur entweder {M,J} oder {J,M} sein dürfte. Das müsstest du dann aber wirklich gut erklären.

[Black Shadow__]

finix schrieb:

und du hast den Grund für die Unterscheidung schon selbst ins Spiel gebracht: die Geburtsreihenfolge.

die geburtsreihenfolge ist aber für das fensterproblem irrelevant. Es ist doch egal ob huhn oder ei zuerst da war. die wahrscheinlcihkeit ob der andere mensch j oder m ist sehe ich in keiner vebrindung zur geburtsreihenfolge. kläre mich auf.
was du mit gestern meinst, weiß cih ehrlichgesagt net. ich war gestern garnet hier??
ich schau morgen wieder vorbei, mfg

[TGGC]

finix schrieb:

Die Wahrscheinlichkeit dass bei JJ ein Junge am Fenster steht ist tatsächlich größer als bei JM oder MJ, da dort schlicht keine Mädchen vorhanden sind.
Aber das alles ist relativ wertlos; ihr könnt schlicht nicht sagen wie groß die Wahrscheinlichkeit ist dass da ein Junge oder Mädchen steht, weil ganz einfach Informationen und Modelle fehlen.

[...]

Niemand behauptet dass sich der Junge vor seine mit ~33%iger Wahrscheinlichkeit existierende Schwester drängelt. Allein ihr behauptet dass er es nicht tut und gründet eure Theorie darauf.
Man kann es schlicht nicht sagen wie groß diese Wahrscheinlichkeit war. Es fehlen die Informationen!

Der Witz ist, das Ergebnis lautet für jede Wahrscheinlichkeit, mit der ein Junge erscheint 0,5. Denn wichtig ist allein, dass in der JJ Familie die Chance für "das Kind am Fenster ist ein Junge" doppelt so hoch ist, wie in einer Familie mit JM, da es dort ja auch genau doppelt so viele Jungen gibt. Und dann gilt ganz einfach P(JJ)= 2p; P(JM)= p; P(JM)= p (sowie P(MM)= 0) und die Chance das in einer beliebigen 2 Kind Familie überhaupt ein Junge am Fenster ist: 2p + p + p. Das setzt man einfach in die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit ein und erhält 1/2.

dooya schrieb:

Das Ereignis "ein Junge steht ein Fenster" ist gleichbedeutend mit "mindestens ein Kind ist ein Junge"

Das ist nach wie vor falsch, selbst wenn es "ein Junge steht am Fenster" heissen soll. Wären die Aussagen äquivalent, so hiesse das, der Junge drängele sich vor seine Schwester. Es folgt lediglich das Zweite aus dem Ersten, aber nicht das Erste aus dem Zweiten. Es würde sicher auch niemand behaupten "Ich mische das Kartenspiel, danach liegt Herz Dame oben" ist gleichbedeutend mit "In diesem Kartenspiel gibt es eine Herz Dame".

Bye, TGGC

[dooya]

Black Shadow__ schrieb:

finix schrieb:

und du hast den Grund für die Unterscheidung schon selbst ins Spiel gebracht: die Geburtsreihenfolge.

die geburtsreihenfolge ist aber für das fensterproblem irrelevant. Es ist doch egal ob huhn oder ei zuerst da war. die wahrscheinlcihkeit ob der andere mensch j oder m ist sehe ich in keiner vebrindung zur geburtsreihenfolge. kläre mich auf.
was du mit gestern meinst, weiß cih ehrlichgesagt net. ich war gestern garnet hier??
ich schau morgen wieder vorbei, mfg

Nein, dass stimmt nicht. In der Stochastik spielt die Reihenfolge der Ereignisse wohl eine Rolle.

[Black Shadow__]

dooya schrieb:

$A = \left\{\{x,y\} \in \Omega \,|\, x = \{J\} \vee y = \{J\} \right\}$

sry ich habkeinen blassen schimmer was du mir damit sagen willst
könntest du das sprachlich, z.b. deutsch formulieren? (die mathematischen zeichen sind jetzt mal keine sprache).

mfg

[dooya]

TGGC schrieb:

[...]

dooya schrieb:

Das Ereignis "ein Junge steht ein Fenster" ist gleichbedeutend mit "mindestens ein Kind ist ein Junge"

Das ist nach wie vor falsch, selbst wenn es "ein Junge steht am Fenster" heissen soll. Wären die Aussagen äquivalent, so hiesse das, der Junge drängele sich vor seine Schwester. Es folgt lediglich das Zweite aus dem Ersten, aber nicht das Erste aus dem Zweiten. Es würde sicher auch niemand behaupten "Ich mische das Kartenspiel, danach liegt Herz Dame oben" ist gleichbedeutend mit "In diesem Kartenspiel gibt es eine Herz Dame".
Bye, TGGC

Du hast Recht, es muss heissen: Aus dem Ereignis "ein Junge steht am Fenster" folgt "mindestens ein Kind ist ein Junge".

Der Rest meiner Ausführungen behält dabei allerdings seine Gültigkeit.

_edit
Ich habe den Originalbeitrag entsprechend korrigiert.

[dooya]

Black Shadow__ schrieb:

dooya schrieb:

$A = \left\{\{x,y\} \in \Omega \,|\, x = \{J\} \vee y = \{J\} \right\}$

sry ich habkeinen blassen schimmer was du mir damit sagen willst
könntest du das sprachlich, z.b. deutsch formulieren? (die mathematischen zeichen sind jetzt mal keine sprache).

mfg

Dort steht, dass die Menge A alle geordneten Paare {x,y} aus der Grundgesamtheit Ω enthält in denen das erste oder das zweite Element ein 'J' sind. Man beachte, dass das mathematische "oder" nicht mit "entweder oder" zu verwechseln ist.

[finix]

Black Shadow__ schrieb:

finix schrieb:

und du hast den Grund für die Unterscheidung schon selbst ins Spiel gebracht: die Geburtsreihenfolge.

die geburtsreihenfolge ist aber für das fensterproblem irrelevant.

Der Witz ist, es ist genau anders herum.

TGGC schrieb:

dooya schrieb:

Das Ereignis "ein Junge steht ein Fenster" ist gleichbedeutend mit "mindestens ein Kind ist ein Junge"

Das ist nach wie vor falsch, selbst wenn es "ein Junge steht am Fenster" heissen soll. Wären die Aussagen äquivalent, so hiesse das, der Junge drängele sich vor seine Schwester. Es folgt lediglich das Zweite aus dem Ersten, aber nicht das Erste aus dem Zweiten. Es würde sicher auch niemand behaupten "Ich mische das Kartenspiel, danach liegt Herz Dame oben" ist gleichbedeutend mit "In diesem Kartenspiel gibt es eine Herz Dame".

Aus der zweiten, die sich ohne weiteres aus der ersten ergibt, folgt P(MM) = 0, sonst hast du keine weiteren Informationen gegenüber der Ausgangssituation gewonnen.
In bezug auf der "Junge drängele sich vor seine Schwester": ihr seid es die unzulässige Schlüsse aus der Tatsache zieht das man nicht weiß ob dies der Fall ist oder nicht (siehe oben).
Und warum war mir schon vorher klar dass du nichts zu meinen 40% sagst!?

[TGGC]

dooya schrieb:

Der Rest meiner Ausführungen behält dabei allerdings seine Gültigkeit.

Das tun sie leider nicht. Beachte:

finix schrieb:

Die Wahrscheinlichkeit dass bei JJ ein Junge am Fenster steht ist tatsächlich größer als bei JM oder MJ, da dort schlicht keine Mädchen vorhanden sind.

Das heisst nun soviel, das die 3 Elemente der Menge A nicht mehr gleichwahrscheinlich sind.

Du musst in deiner Rechnung noch beachten, das es nicht nur einen Jungen gibt, sondern der sogar zufällig am Fenster steht!

Bye, TGGC