Rätsel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung

[dooya]

Die Frage, wie oft und warum ein Junge am Fenster steht ist für die Aufgabe nicht relevant, denn in der Aufgabenstellung wird dies explizit gefordert, d.h. alle Fälle in denen ein Mädchen am Fenster steht werden a priori ausgeschlossen. Oder anders: die Frage nach dem Geschlecht des zweiten Kindes soll unter der Vorraussetzung, dass eines der beiden Kinder ein Junge ist, beantwortet werden.

Unstrittig dürfte sein, dass für Familien mit zwei Kindern immer gilt:
$\Omega = \{\{M,M\}, \{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\}$

mit

$P(\{M,M\}) = P(\{M,J\}) = P(\{J,M\}) = P(\{J,J\}) = .25$

Aus dem Ereignis "ein Junge steht am Fenster" folgt "mindestens ein Kind ist ein Junge" und sei mit A bezeichnet und kann formuliert werden als:
$A = \left\{\{x,y\} \in \Omega \,|\, x = \{J\} \vee y = \{J\} \right\}$

Offensichtlich ist
$A = \{\{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\}$ mit

$P(A | \Omega) = P(A) = .75$

Analog zu A kann Ereignis B "mindestens ein Kind ist ein Mädchen" definiert werden:

$B = \left\{\{x,y\} \in \Omega \,|\, x = \{M\} \vee y = \{M\} \right\}$

Und offensichtlich ist
$B = \{\{M,M\}, \{M,J\}, \{J,M\}\}$ mit

$P(B|\Omega) = P(B) = .75$

In der Aufgabenstellung wird nun gefragt, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Mädchen unter den Kindern ist (Ereignis B), wenn man einen Jungen am Fenster sieht (Ereignis A), also

$P(B | A)$.

Dies kann bekanntlich berechnet werden nach

$P(B | A) = \frac{A \cap B}{P(A)}$

Offensichtlich ist

$A \cap B = \{\{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\} \cap \{\{M,M\}, \{M,J\}, \{J,M\}\}$
$= \{\{M,J\}, \{J,M\}\}$

und natürlich ist P(A \cap = P (\{\{M,J\}, \{J,M}}\}) = .5

Also ist

$P(B | A) = \frac{.5}{.75} = .66$

_edit
Korrektur in der Herleitung von A:
Das Ereignis "ein Junge steht ein Fenster" ist gleichbedeutend mit "mindestens ein Kind ist ein Junge" ersetzt durch: aus "ein Junge steht am Fenster" folgt "mindestens ein Kind ist ein Junge"

[finix]

dooya schrieb:

Die richtige Lösung, sogar in Latex

Hey, hast meine 40% widerlegt.
Wird nur leider nix bringen.

[Black Shadow__]

dooya schrieb:

Offensichtlich ist
$A = \{\{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\}$ mit

warum ist das offensichtlich?
ich finde jm und mj darf nicht unterschieden werden. man beschreibt mit beidem ein und dasselbe. Somit hat man diese Wahscheinlichkeit doppelt.
eins muss gezwungenermaßen herausfliegen.
wenn wir j m und m j als reihenfolge verstehen, kann m j nicht zutreffen. man sieht ja nicht m. somit ist m j keine lösung bzw 0.
kann gut sein dass ich falsch liege.
aber dies als offensichtlich zu deklarieren finde ich falsch.
es ist ofensichtlich wenn du damit die geburtenreihenfolge beschreibst. aber beim Übertragen auf das Problem mit dem Fenster muss eines rausfliegen. s(so sehe ich das)

[finix]

Black Shadow__ schrieb:

dooya schrieb:

Offensichtlich ist
$A = \{\{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\}$ mit

ich finde jm und mj darf nicht unterschieden werden. man beschreibt mit beidem ein und dasselbe. Somit hat man diese Wahscheinlichkeit doppelt.
...
es ist ofensichtlich wenn du damit die geburtenreihenfolge beschreibst. aber beim Übertragen auf das Problem mit dem Fenster muss eines rausfliegen. s(so sehe ich das)

Es ist immer noch die Geburtsreihenfolge, und es sind unterschiedliche Fälle..

[Black Shadow__]

finix schrieb:

Es ist immer noch die Geburtsreihenfolge, und es sind unterschiedliche Fälle..

wenn jm und mj zwei unterschiedlichen fälle sind, kann ein fall nicht zutreffen. oder kannst du diese fälle in bezug auf das fensterproblem verbal darstellen (nich mit mathematischen xy schnickschnak) und deren unterschiede zeigen?
meine meinung: egal ob jm oder mj - in beidn fällen gibt es 1 junge und 1 mädchen. sie sind identisch. entweder man schmeißt eins raus oder p ist die hälfte im vergleich zu jj.

[finix]

Black Shadow__ schrieb:

finix schrieb:

Es ist immer noch die Geburtsreihenfolge, und es sind unterschiedliche Fälle..

wenn jm und mj zwei unterschiedlichen fälle sind, kann ein fall nicht zutreffen. oder kannst du diese fälle in bezug auf das fensterproblem verbal darstellen (nich mit mathematischen xy schnickschnak) und deren unterschiede zeigen?

Die Unterscheidung hat sich nicht geändert seit du gestern fragtest, und du hast den Grund für die Unterscheidung schon selbst ins Spiel gebracht: die Geburtsreihenfolge.

Black Shadow__ schrieb:

meine meinung: egal ob jm oder mj - in beidn fällen gibt es 1 junge und 1 mädchen. sie sind identisch. entweder man schmeißt eins raus oder p ist die hälfte im vergleich zu jj.

Warum?

[dooya]

Black Shadow__ schrieb:

dooya schrieb:

Offensichtlich ist
$A = \{\{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\}$ mit

warum ist das offensichtlich?
ich finde jm und mj darf nicht unterschieden werden. man beschreibt mit beidem ein und dasselbe. Somit hat man diese Wahscheinlichkeit doppelt.
eins muss gezwungenermaßen herausfliegen.
wenn wir j m und m j als reihenfolge verstehen, kann m j nicht zutreffen. man sieht ja nicht m. somit ist m j keine lösung bzw 0.
kann gut sein dass ich falsch liege.
aber dies als offensichtlich zu deklarieren finde ich falsch.
es ist ofensichtlich wenn du damit die geburtenreihenfolge beschreibst. aber beim Übertragen auf das Problem mit dem Fenster muss eines rausfliegen. s(so sehe ich das)

Es ist offensichtlich wegen

$A = \left\{\{x,y\} \in \Omega \,|\, x = \{J\} \vee y = \{J\} \right\}$

Nun könntest du nur noch bemängeln, dass in

$\Omega = \{\{M,M\}, \{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\}$ auch nur entweder {M,J} oder {J,M} sein dürfte. Das müsstest du dann aber wirklich gut erklären.

[Black Shadow__]

finix schrieb:

und du hast den Grund für die Unterscheidung schon selbst ins Spiel gebracht: die Geburtsreihenfolge.

die geburtsreihenfolge ist aber für das fensterproblem irrelevant. Es ist doch egal ob huhn oder ei zuerst da war. die wahrscheinlcihkeit ob der andere mensch j oder m ist sehe ich in keiner vebrindung zur geburtsreihenfolge. kläre mich auf.
was du mit gestern meinst, weiß cih ehrlichgesagt net. ich war gestern garnet hier??
ich schau morgen wieder vorbei, mfg

[TGGC]

finix schrieb:

Die Wahrscheinlichkeit dass bei JJ ein Junge am Fenster steht ist tatsächlich größer als bei JM oder MJ, da dort schlicht keine Mädchen vorhanden sind.
Aber das alles ist relativ wertlos; ihr könnt schlicht nicht sagen wie groß die Wahrscheinlichkeit ist dass da ein Junge oder Mädchen steht, weil ganz einfach Informationen und Modelle fehlen.

[...]

Niemand behauptet dass sich der Junge vor seine mit ~33%iger Wahrscheinlichkeit existierende Schwester drängelt. Allein ihr behauptet dass er es nicht tut und gründet eure Theorie darauf.
Man kann es schlicht nicht sagen wie groß diese Wahrscheinlichkeit war. Es fehlen die Informationen!

Der Witz ist, das Ergebnis lautet für jede Wahrscheinlichkeit, mit der ein Junge erscheint 0,5. Denn wichtig ist allein, dass in der JJ Familie die Chance für "das Kind am Fenster ist ein Junge" doppelt so hoch ist, wie in einer Familie mit JM, da es dort ja auch genau doppelt so viele Jungen gibt. Und dann gilt ganz einfach P(JJ)= 2p; P(JM)= p; P(JM)= p (sowie P(MM)= 0) und die Chance das in einer beliebigen 2 Kind Familie überhaupt ein Junge am Fenster ist: 2p + p + p. Das setzt man einfach in die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit ein und erhält 1/2.

dooya schrieb:

Das Ereignis "ein Junge steht ein Fenster" ist gleichbedeutend mit "mindestens ein Kind ist ein Junge"

Das ist nach wie vor falsch, selbst wenn es "ein Junge steht am Fenster" heissen soll. Wären die Aussagen äquivalent, so hiesse das, der Junge drängele sich vor seine Schwester. Es folgt lediglich das Zweite aus dem Ersten, aber nicht das Erste aus dem Zweiten. Es würde sicher auch niemand behaupten "Ich mische das Kartenspiel, danach liegt Herz Dame oben" ist gleichbedeutend mit "In diesem Kartenspiel gibt es eine Herz Dame".

Bye, TGGC

[dooya]

Black Shadow__ schrieb:

finix schrieb:

und du hast den Grund für die Unterscheidung schon selbst ins Spiel gebracht: die Geburtsreihenfolge.

die geburtsreihenfolge ist aber für das fensterproblem irrelevant. Es ist doch egal ob huhn oder ei zuerst da war. die wahrscheinlcihkeit ob der andere mensch j oder m ist sehe ich in keiner vebrindung zur geburtsreihenfolge. kläre mich auf.
was du mit gestern meinst, weiß cih ehrlichgesagt net. ich war gestern garnet hier??
ich schau morgen wieder vorbei, mfg

Nein, dass stimmt nicht. In der Stochastik spielt die Reihenfolge der Ereignisse wohl eine Rolle.

[Black Shadow__]

dooya schrieb:

$A = \left\{\{x,y\} \in \Omega \,|\, x = \{J\} \vee y = \{J\} \right\}$

sry ich habkeinen blassen schimmer was du mir damit sagen willst
könntest du das sprachlich, z.b. deutsch formulieren? (die mathematischen zeichen sind jetzt mal keine sprache).

mfg

[dooya]

TGGC schrieb:

[...]

dooya schrieb:

Das Ereignis "ein Junge steht ein Fenster" ist gleichbedeutend mit "mindestens ein Kind ist ein Junge"

Das ist nach wie vor falsch, selbst wenn es "ein Junge steht am Fenster" heissen soll. Wären die Aussagen äquivalent, so hiesse das, der Junge drängele sich vor seine Schwester. Es folgt lediglich das Zweite aus dem Ersten, aber nicht das Erste aus dem Zweiten. Es würde sicher auch niemand behaupten "Ich mische das Kartenspiel, danach liegt Herz Dame oben" ist gleichbedeutend mit "In diesem Kartenspiel gibt es eine Herz Dame".
Bye, TGGC

Du hast Recht, es muss heissen: Aus dem Ereignis "ein Junge steht am Fenster" folgt "mindestens ein Kind ist ein Junge".

Der Rest meiner Ausführungen behält dabei allerdings seine Gültigkeit.

_edit
Ich habe den Originalbeitrag entsprechend korrigiert.

[dooya]

Black Shadow__ schrieb:

dooya schrieb:

$A = \left\{\{x,y\} \in \Omega \,|\, x = \{J\} \vee y = \{J\} \right\}$

sry ich habkeinen blassen schimmer was du mir damit sagen willst
könntest du das sprachlich, z.b. deutsch formulieren? (die mathematischen zeichen sind jetzt mal keine sprache).

mfg

Dort steht, dass die Menge A alle geordneten Paare {x,y} aus der Grundgesamtheit Ω enthält in denen das erste oder das zweite Element ein 'J' sind. Man beachte, dass das mathematische "oder" nicht mit "entweder oder" zu verwechseln ist.

[finix]

Black Shadow__ schrieb:

finix schrieb:

und du hast den Grund für die Unterscheidung schon selbst ins Spiel gebracht: die Geburtsreihenfolge.

die geburtsreihenfolge ist aber für das fensterproblem irrelevant.

Der Witz ist, es ist genau anders herum.

TGGC schrieb:

dooya schrieb:

Das Ereignis "ein Junge steht ein Fenster" ist gleichbedeutend mit "mindestens ein Kind ist ein Junge"

Das ist nach wie vor falsch, selbst wenn es "ein Junge steht am Fenster" heissen soll. Wären die Aussagen äquivalent, so hiesse das, der Junge drängele sich vor seine Schwester. Es folgt lediglich das Zweite aus dem Ersten, aber nicht das Erste aus dem Zweiten. Es würde sicher auch niemand behaupten "Ich mische das Kartenspiel, danach liegt Herz Dame oben" ist gleichbedeutend mit "In diesem Kartenspiel gibt es eine Herz Dame".

Aus der zweiten, die sich ohne weiteres aus der ersten ergibt, folgt P(MM) = 0, sonst hast du keine weiteren Informationen gegenüber der Ausgangssituation gewonnen.
In bezug auf der "Junge drängele sich vor seine Schwester": ihr seid es die unzulässige Schlüsse aus der Tatsache zieht das man nicht weiß ob dies der Fall ist oder nicht (siehe oben).
Und warum war mir schon vorher klar dass du nichts zu meinen 40% sagst!?

[TGGC]

dooya schrieb:

Der Rest meiner Ausführungen behält dabei allerdings seine Gültigkeit.

Das tun sie leider nicht. Beachte:

finix schrieb:

Die Wahrscheinlichkeit dass bei JJ ein Junge am Fenster steht ist tatsächlich größer als bei JM oder MJ, da dort schlicht keine Mädchen vorhanden sind.

Das heisst nun soviel, das die 3 Elemente der Menge A nicht mehr gleichwahrscheinlich sind.

Du musst in deiner Rechnung noch beachten, das es nicht nur einen Jungen gibt, sondern der sogar zufällig am Fenster steht!

Bye, TGGC

[finix]

TGGC schrieb:

Du musst in deiner Rechnung noch beachten, das es nicht nur einen Jungen gibt, sondern der sogar zufällig am Fenster steht!

Wie groß ist sie denn? Und warum?

p.s. mein Wettangebot gilt auch an dich: möchtest du die 50/50 Chance eingehen und behauptest du wirst nicht wieder als windiger Troll wiedergeboren im nächsten Leben?

[dooya]

TGGC schrieb:

dooya schrieb:

Der Rest meiner Ausführungen behält dabei allerdings seine Gültigkeit.

Das tun sie leider nicht.[...]

Doch, die Herleitung ist logisch wahr. Du kannst allenfalls ihre Angemessenheit für diese Aufgabenstellung anzweifeln, aber auch da bin ich mir relativ sicher.

Beachte:

finix schrieb:

Die Wahrscheinlichkeit dass bei JJ ein Junge am Fenster steht ist tatsächlich größer als bei JM oder MJ, da dort schlicht keine Mädchen vorhanden sind.

Das heisst nun soviel, das die 3 Elemente der Menge A nicht mehr gleichwahrscheinlich sind.[...]

Die Elemente waren in Ω gleichwahrscheinlich, also sollten sie wegen [latetx]A \in \Omega[/latex] auch in A gleichwahrscheinlich sein.

[...]
Du musst in deiner Rechnung noch beachten, das es nicht nur einen Jungen gibt, sondern der sogar zufällig am Fenster steht!

Bye, TGGC

Es ist nicht relevant, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Junge am Fenster steht, denn in der Aufgabe steht ganz deutlich: Ein Junge steht am Fenster. Es handelt sich um eine a priori Annahme.

[finix]

dooya schrieb:

[...]
Du musst in deiner Rechnung noch beachten, das es nicht nur einen Jungen gibt, sondern der sogar zufällig am Fenster steht!

Es ist nicht relevant, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Junge am Fenster steht, denn in der Aufgabe steht ganz deutlich: Ein Junge steht am Fenster. Es handelt sich um eine a priori Annahme.

Naja, nicht ganz. Es handelt sich um eine Annahme das Jungen und Mädchen gleich verteilt sind.
Dass der Junge am Fenster steht ist ein bereits eingetretenes Ereignis, unabhängig von dessen Wahrscheinlichkeit - welche sich nicht ermitteln lässt.

[dooya]

finix schrieb:

dooya schrieb:

[...]
Du musst in deiner Rechnung noch beachten, das es nicht nur einen Jungen gibt, sondern der sogar zufällig am Fenster steht!

Es ist nicht relevant, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Junge am Fenster steht, denn in der Aufgabe steht ganz deutlich: Ein Junge steht am Fenster. Es handelt sich um eine a priori Annahme.

Naja, nicht ganz. Es handelt sich um eine Annahme das Jungen und Mädchen gleich verteilt sind.
Dass der Junge am Fenster steht ist ein bereits eingetretenes Ereignis, unabhängig von dessen Wahrscheinlichkeit - welche sich nicht ermitteln lässt.

Ja, du hast Recht.

[TGGC]

finix schrieb:

Aus der zweiten, die sich ohne weiteres aus der ersten ergibt, folgt P(MM) = 0, sonst hast du keine weiteren Informationen gegenüber der Ausgangssituation gewonnen.
In bezug auf der "Junge drängele sich vor seine Schwester": ihr seid es die unzulässige Schlüsse aus der Tatsache zieht das man nicht weiß ob dies der Fall ist oder nicht (siehe oben).
Und warum war mir schon vorher klar dass du nichts zu meinen 40% sagst!?

Ich hätte gedacht, ich hätte weitere Informationen, und zwar das ein zufällig gewähltes Kind der Familie (jenes das durch Zufall am Fenster vorbei kommt) ein Junge ist? Auf die 40% bin ich wieder nicht eingegangen, da ich dachte, du willst nur provozieren.

Und wie gross ist was?

@dooya: Ich würde eben meinen, das sie nicht auf die Aufgabestellung passt, sondern nur für einen speziellen Fall passt, wenn nur bekannt ist, da mindestens ein Junge existiert. Ich zweifele noch daran, das man diese Lösung so verallgemeinern kann, wie du es tust da sie nur gültig ist, wenn alle gleich wahrscheinlich ist. Was ist z.b. wenn ich frage am Fenster taucht ein Kind auf (also ein Junge oder ein Mädchen) und nun möchte ich wissen, wie hoch ist die Chance, das zweite Kind hat ein unterschiedliches Geschlecht.

Oder mathematisch formuliert: Es tritt ein Kind mit Geschlecht x element {M,J} an das Fenster. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit das für Geschlecht y element {M,J} des anderen Kindes gilt: x != y?

Mich dünkt, das du dies mit deiner Rechnung nicht lösen kannst. Daher muss daran etwas faul sein, denn warum sollte sich das für ein Mädchen anders berechnen? Und das halt nicht beachtet wurde, das es nur ein zufälliges Kind ist, welches Junge ist, riecht für mich halt verdächtig faul.

Bye, TGGC