Rätsel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung

[dooya]

Black Shadow__ schrieb:

dooya schrieb:

$A = \left\{\{x,y\} \in \Omega \,|\, x = \{J\} \vee y = \{J\} \right\}$

sry ich habkeinen blassen schimmer was du mir damit sagen willst
könntest du das sprachlich, z.b. deutsch formulieren? (die mathematischen zeichen sind jetzt mal keine sprache).

mfg

Dort steht, dass die Menge A alle geordneten Paare {x,y} aus der Grundgesamtheit Ω enthält in denen das erste oder das zweite Element ein 'J' sind. Man beachte, dass das mathematische "oder" nicht mit "entweder oder" zu verwechseln ist.

[finix]

Black Shadow__ schrieb:

finix schrieb:

und du hast den Grund für die Unterscheidung schon selbst ins Spiel gebracht: die Geburtsreihenfolge.

die geburtsreihenfolge ist aber für das fensterproblem irrelevant.

Der Witz ist, es ist genau anders herum.

TGGC schrieb:

dooya schrieb:

Das Ereignis "ein Junge steht ein Fenster" ist gleichbedeutend mit "mindestens ein Kind ist ein Junge"

Das ist nach wie vor falsch, selbst wenn es "ein Junge steht am Fenster" heissen soll. Wären die Aussagen äquivalent, so hiesse das, der Junge drängele sich vor seine Schwester. Es folgt lediglich das Zweite aus dem Ersten, aber nicht das Erste aus dem Zweiten. Es würde sicher auch niemand behaupten "Ich mische das Kartenspiel, danach liegt Herz Dame oben" ist gleichbedeutend mit "In diesem Kartenspiel gibt es eine Herz Dame".

Aus der zweiten, die sich ohne weiteres aus der ersten ergibt, folgt P(MM) = 0, sonst hast du keine weiteren Informationen gegenüber der Ausgangssituation gewonnen.
In bezug auf der "Junge drängele sich vor seine Schwester": ihr seid es die unzulässige Schlüsse aus der Tatsache zieht das man nicht weiß ob dies der Fall ist oder nicht (siehe oben).
Und warum war mir schon vorher klar dass du nichts zu meinen 40% sagst!?

[TGGC]

dooya schrieb:

Der Rest meiner Ausführungen behält dabei allerdings seine Gültigkeit.

Das tun sie leider nicht. Beachte:

finix schrieb:

Die Wahrscheinlichkeit dass bei JJ ein Junge am Fenster steht ist tatsächlich größer als bei JM oder MJ, da dort schlicht keine Mädchen vorhanden sind.

Das heisst nun soviel, das die 3 Elemente der Menge A nicht mehr gleichwahrscheinlich sind.

Du musst in deiner Rechnung noch beachten, das es nicht nur einen Jungen gibt, sondern der sogar zufällig am Fenster steht!

Bye, TGGC

[finix]

TGGC schrieb:

Du musst in deiner Rechnung noch beachten, das es nicht nur einen Jungen gibt, sondern der sogar zufällig am Fenster steht!

Wie groß ist sie denn? Und warum?

p.s. mein Wettangebot gilt auch an dich: möchtest du die 50/50 Chance eingehen und behauptest du wirst nicht wieder als windiger Troll wiedergeboren im nächsten Leben?

[dooya]

TGGC schrieb:

dooya schrieb:

Der Rest meiner Ausführungen behält dabei allerdings seine Gültigkeit.

Das tun sie leider nicht.[...]

Doch, die Herleitung ist logisch wahr. Du kannst allenfalls ihre Angemessenheit für diese Aufgabenstellung anzweifeln, aber auch da bin ich mir relativ sicher.

Beachte:

finix schrieb:

Die Wahrscheinlichkeit dass bei JJ ein Junge am Fenster steht ist tatsächlich größer als bei JM oder MJ, da dort schlicht keine Mädchen vorhanden sind.

Das heisst nun soviel, das die 3 Elemente der Menge A nicht mehr gleichwahrscheinlich sind.[...]

Die Elemente waren in Ω gleichwahrscheinlich, also sollten sie wegen [latetx]A \in \Omega[/latex] auch in A gleichwahrscheinlich sein.

[...]
Du musst in deiner Rechnung noch beachten, das es nicht nur einen Jungen gibt, sondern der sogar zufällig am Fenster steht!

Bye, TGGC

Es ist nicht relevant, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Junge am Fenster steht, denn in der Aufgabe steht ganz deutlich: Ein Junge steht am Fenster. Es handelt sich um eine a priori Annahme.

[finix]

dooya schrieb:

[...]
Du musst in deiner Rechnung noch beachten, das es nicht nur einen Jungen gibt, sondern der sogar zufällig am Fenster steht!

Es ist nicht relevant, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Junge am Fenster steht, denn in der Aufgabe steht ganz deutlich: Ein Junge steht am Fenster. Es handelt sich um eine a priori Annahme.

Naja, nicht ganz. Es handelt sich um eine Annahme das Jungen und Mädchen gleich verteilt sind.
Dass der Junge am Fenster steht ist ein bereits eingetretenes Ereignis, unabhängig von dessen Wahrscheinlichkeit - welche sich nicht ermitteln lässt.

[dooya]

finix schrieb:

dooya schrieb:

[...]
Du musst in deiner Rechnung noch beachten, das es nicht nur einen Jungen gibt, sondern der sogar zufällig am Fenster steht!

Es ist nicht relevant, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Junge am Fenster steht, denn in der Aufgabe steht ganz deutlich: Ein Junge steht am Fenster. Es handelt sich um eine a priori Annahme.

Naja, nicht ganz. Es handelt sich um eine Annahme das Jungen und Mädchen gleich verteilt sind.
Dass der Junge am Fenster steht ist ein bereits eingetretenes Ereignis, unabhängig von dessen Wahrscheinlichkeit - welche sich nicht ermitteln lässt.

Ja, du hast Recht.

[TGGC]

finix schrieb:

Aus der zweiten, die sich ohne weiteres aus der ersten ergibt, folgt P(MM) = 0, sonst hast du keine weiteren Informationen gegenüber der Ausgangssituation gewonnen.
In bezug auf der "Junge drängele sich vor seine Schwester": ihr seid es die unzulässige Schlüsse aus der Tatsache zieht das man nicht weiß ob dies der Fall ist oder nicht (siehe oben).
Und warum war mir schon vorher klar dass du nichts zu meinen 40% sagst!?

Ich hätte gedacht, ich hätte weitere Informationen, und zwar das ein zufällig gewähltes Kind der Familie (jenes das durch Zufall am Fenster vorbei kommt) ein Junge ist? Auf die 40% bin ich wieder nicht eingegangen, da ich dachte, du willst nur provozieren.

Und wie gross ist was?

@dooya: Ich würde eben meinen, das sie nicht auf die Aufgabestellung passt, sondern nur für einen speziellen Fall passt, wenn nur bekannt ist, da mindestens ein Junge existiert. Ich zweifele noch daran, das man diese Lösung so verallgemeinern kann, wie du es tust da sie nur gültig ist, wenn alle gleich wahrscheinlich ist. Was ist z.b. wenn ich frage am Fenster taucht ein Kind auf (also ein Junge oder ein Mädchen) und nun möchte ich wissen, wie hoch ist die Chance, das zweite Kind hat ein unterschiedliches Geschlecht.

Oder mathematisch formuliert: Es tritt ein Kind mit Geschlecht x element {M,J} an das Fenster. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit das für Geschlecht y element {M,J} des anderen Kindes gilt: x != y?

Mich dünkt, das du dies mit deiner Rechnung nicht lösen kannst. Daher muss daran etwas faul sein, denn warum sollte sich das für ein Mädchen anders berechnen? Und das halt nicht beachtet wurde, das es nur ein zufälliges Kind ist, welches Junge ist, riecht für mich halt verdächtig faul.

Bye, TGGC

[finix]

TGGC schrieb:

finix schrieb:

Aus der zweiten, die sich ohne weiteres aus der ersten ergibt, folgt P(MM) = 0, sonst hast du keine weiteren Informationen gegenüber der Ausgangssituation gewonnen.
In bezug auf der "Junge drängele sich vor seine Schwester": ihr seid es die unzulässige Schlüsse aus der Tatsache zieht das man nicht weiß ob dies der Fall ist oder nicht (siehe oben).
Und warum war mir schon vorher klar dass du nichts zu meinen 40% sagst!?

Ich hätte gedacht, ich hätte weitere Informationen, und zwar das ein zufällig gewähltes Kind der Familie (jenes das durch Zufall am Fenster vorbei kommt) ein Junge ist? Auf die 40% bin ich wieder nicht eingegangen, da ich dachte, du willst nur provozieren.

Die 40% habe ich gebracht um eure Vorgehensweise zu demonstrieren, nicht um zu provozieren. Nichts weiter ist euer "zufälliges Wählen" des Jungen; ob die Wahrscheinlichkeit für sein wie auch immer geartetes Erscheinen nun 2% oder 50% oder 97% betrug, genau dieser Fall ist eingetreten. Und du kannst nicht sagen ob er mit 37% ans Fenster treten würde und du ihn dabei mit 74,5% beobachten könntest.
Und warum bemühst du dich ständig anderen dein bereits widersprochenes "Junge drängele sich vor seine Schwester" zu bringen? Auf welcher Basis steht eure 'Kompensation' von etwas was nie in die Diskussion eingebracht wurde oder irgendwie verwendet wurde?

TGGC schrieb:

Und wie gross ist was?

Siehe oben.

[TGGC]

finix schrieb:

TGGC schrieb:

Du musst in deiner Rechnung noch beachten, das es nicht nur einen Jungen gibt, sondern der sogar zufällig am Fenster steht!

Wie groß ist sie denn? Und warum?

Tut mir leid, aber ich sehe in dem von dir zitiereten Satz nichts, nach dessen Grösse du gefragt haben könntest. Was bitte meinst du?

Ich denke übrigens das man sehr gut sagen kann: Wenn ein Kind ans Fenster tritt, dann ist es mit Wahrscheinlichkeit 0,5 ein Junge.

Es wurde hier schon oft behauptet, "Ein Junge steht am Fenster" und "Es existiert mindestens ein Junge" wäre äquivalent. Wen aber aus "Es existiert mindestens ein Junge" die Aussage "Ein Junge steht am Fenster" folgt, dann bedeutet dies der Junge drängelt sich immer vor. Dies muss unbedingt beachtet werden!

Bye, TGGC

[finix]

TGGC schrieb:

Du musst in deiner [40%-] Rechnung noch beachten, das es nicht nur einen Jungen gibt, sondern der sogar zufällig am Fenster steht!

Das habe ich getan. Nicht nur das, ich habe sogar euer Ergebnis komplett übernommen

TGGC schrieb:

Es wurde hier schon oft behauptet, "Ein Junge steht am Fenster" und "Es existiert mindestens ein Junge" wäre äquivalent. Wen aber aus "Es existiert mindestens ein Junge" die Aussage "Ein Junge steht am Fenster" folgt, dann bedeutet dies der Junge drängelt sich immer vor. Dies muss unbedingt beachtet werden!

Es ist genau anders herum (du bist ziemlich fix wenn es darum geht anderen etwas in den Mund zu legen, nicht?). Aus "Ein Junge steht am Fenster" folgt "Es existiert mindestens ein Junge", woraus wiederum zu folgern ist "Die Kinder der Nachbarn sind keine Schwestern".

[dooya]

TGGC schrieb:

[...]@dooya: Ich würde eben meinen, das sie nicht auf die Aufgabestellung passt, sondern nur für einen speziellen Fall passt, wenn nur bekannt ist, da mindestens ein Junge existiert. Ich zweifele noch daran, das man diese Lösung so verallgemeinern kann, wie du es tust da sie nur gültig ist, wenn alle gleich wahrscheinlich ist. Was ist z.b. wenn ich frage am Fenster taucht ein Kind auf (also ein Junge oder ein Mädchen) und nun möchte ich wissen, wie hoch ist die Chance, das zweite Kind hat ein unterschiedliches Geschlecht.

Oder mathematisch formuliert: Es tritt ein Kind mit Geschlecht x element {M,J} an das Fenster. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit das für Geschlecht y element {M,J} des anderen Kindes gilt: x != y?

Mich dünkt, das du dies mit deiner Rechnung nicht lösen kannst. Daher muss daran etwas faul sein, denn warum sollte sich das für ein Mädchen anders berechnen? Und das halt nicht beachtet wurde, das es nur ein zufälliges Kind ist, welches Junge ist, riecht für mich halt verdächtig faul.

Bye, TGGC

Ok.

Es gilt immer noch:

$\Omega = \{\{M,M\}, \{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\}$ mit

$P(\{M,M\}) = P(\{M,J\}) = P(\{J,M\}) = P(\{J,J\}) = .25$

Das Ereignis "am Fenster taucht ein Kind auf (also ein Junge oder ein Mädchen) " lässt sich schreiben als

A = \left\{\{x,y\} \in \Omega \,|\, x \in \{J,M\} } \right\} und das ist

$A = \{\{M,M\}, \{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\} = \Omega$ und damit

$P(A) = 1.0$

Das Ereignis "für Geschlecht y element {M,J} des anderen Kindes gilt: x != y?" ist

B = \left\{\{x,y\} \in \Omega \,|\, x \ne y } \right\} und damit

$B = \{\{M,J\}, \{J,M\}\}$ mit
$P(B) = 0.5$

Nun ist

$P(B | A) = \frac{A \cap B}{P(A)}$ mit

$A \cap B = \{\{M,M\}, \{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\} \cap \{\{M,J\}, \{J,M\}\}$
$= \{\{M,J\}, \{J,M\}\}$ also ist

$P(A \cap$ = .5

damit ist

$P(B | A) = \frac{.5}{1}=.5$

Sobald du dich aber auf das Geschlecht des Kindes festlegst, verändert sich das Ereigniss A zu $\{\{M,M\}, \{M,J\}, \{J,M\}\}$ wenn es ein Mädchen ist oder $\{\{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\}$ wenn es ein Junge ist und damit ist in beiden Fällen P(A) =.75 und P(A|B) = .66.

[dooya]

TGGC schrieb:

[...]
Es wurde hier schon oft behauptet, "Ein Junge steht am Fenster" und "Es existiert mindestens ein Junge" wäre äquivalent. Wen aber aus "Es existiert mindestens ein Junge" die Aussage "Ein Junge steht am Fenster" folgt, dann bedeutet dies der Junge drängelt sich immer vor. Dies muss unbedingt beachtet werden!

Bye, TGGC

Ihr habt in diesem Punkt Recht, denn es muss tatsächlich heissen: aus "Ein Junge steht am Fenster" folgt "Es existiert mindestens ein Junge", aber hatten wir das nicht schon gerade geklärt?

[TGGC]

Du hast jetzt doch aber jetzt eine komplett andere Rechnung gemacht, oder etwa nicht! Also gilt deine alte Rechnung garnicht allgemein:

Sei g das Geschlecht des Kindes am Fenster und f das andere Geschlecht (also wenn f=M dann g=J und wenn f=J dann g=M).

$\Omega = \{\{f,f\}, \{f,g\}, \{g,f\}, \{g,g\}\}$
[...]
Wegen "g steht am Fenster"
$A = \left\{\{x,y\} \in \Omega \,|\, x = \{g\} \vee y = \{f\} \right\}$

usw.

Sowas stimmt dann nämlich bei der Aufgabe hier und ganz allgemein nicht, sondern wirklich nur für "Es existiert mindestens ein Junge"...

Und aus der allgemeinen Lösung folgt auch die spezielle Lösung dieser Aufgabe!

Bye, TGGC

[TGGC]

dooya schrieb:

Ihr habt in diesem Punkt Recht, denn es muss tatsächlich heissen: aus "Ein Junge steht am Fenster" folgt "Es existiert mindestens ein Junge", aber hatten wir das nicht schon gerade geklärt?

Ja, aber wir haben schon zig mal versucht das zu klären, weil es immer wieder behauptet wurde. Und das glaubt mir der finix nun nicht und meint ich hätte es erfunden. Derweil ist es der entscheidende Punkt, warum Eure Rechnungen wohl einfahc nicht zur Aufgabe passen.

BTW: Wenn man ein Mädchen am Fenster sieht, kommt dann für weiteres Mädchen 00,33 raus? (Sorry, steht ja schon da...)

Bye, TGGC

[finix]

TGGC schrieb:

dooya schrieb:

Ihr habt in diesem Punkt Recht, denn es muss tatsächlich heissen: aus "Ein Junge steht am Fenster" folgt "Es existiert mindestens ein Junge", aber hatten wir das nicht schon gerade geklärt?

Ja, aber wir haben schon zig mal versucht das zu klären, weil es immer wieder behauptet wurde. Und das glaubt mir der finix nun nicht und meint ich hätte es erfunden. Derweil ist es der entscheidende Punkt, warum Eure Rechnungen wohl einfahc nicht zur Aufgabe passen.

Hör auf rumzutrollen.

TGGC schrieb:

BTW: Wenn man ein Mädchen am Fenster sieht, kommt dann für weiteres Mädchen 0,33 raus?

Ja, für den Fall dass es kein bestimmtes Mädchen ist (die ältere bzw. jüngere).

[TGGC]

Ich möchte dooya's letzes (mir auch einleuchtendes) Ergebnis nochmal als Satz formulieren:

Wenn ein Kind mit Geschlecht x ( x element {M,J} ) an das Fenster tritt, dann gilt: die Wahrscheinlichkeit für x != y mit y = Geschlecht des anderen Kindes ist 0,5.

Das muss nun soweit erstmal stimmen. Damit kommen wir ja vielleicht weiter.

Bye, TGGC

[finix]

TGGC schrieb:

Ich möchte dooya's letzes (mir auch einleuchtendes) Ergebnis nochmal als Satz formulieren:

Wenn ein Kind mit Geschlecht x ( x element {M,J} ) an das Fenster tritt, dann gilt: die Wahrscheinlichkeit für x != y mit y = Geschlecht des anderen Kindes ist 0,5.

Das muss nun soweit erstmal stimmen. Damit kommen wir ja vielleicht weiter.

dooyas Rechnung ist komplett richtig. Geht ja auch um die Ergebnismenge Ω={(M,M), (M,J), (J,M), (J,J)}.

[TGGC]

Na gut, dann stimmen wir in dem Punkt schon alle überein.

Bye, TGGC

[Godot]

[quote="dooya"]

TGGC schrieb:

[...]... (bis hierhin richtig)

Sobald du dich aber auf das Geschlecht des Kindes festlegst, verändert sich das Ereigniss A zu $\{\{M,M\}, \{M,J\}, \{J,M\}\}$ wenn es ein Mädchen ist oder $\{\{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\}$ wenn es ein Junge ist und damit ist in beiden Fällen P(A) =.75 und P(A|B) = .66.

Die Wahrscheinlichkeiten kannst du nicht mit den Einzelwahrscheinlichkeiten von oben ausrechnen. Sie haben sich durch die Beobachtung verändert und sind jetzt (wenn man den Jungen gesehen hat):

P({M, M}) = 0
P({J, M}) = 0.25
P({M, J}) = 0.25
P({J, J}) = 0.5 <- Er kann den einen oder den anderen Jungen gesehen haben. Deshalb hier doppelte Wahrscheinlichkeit.
Mit diesen Wahrscheinlichkeiten ist P(A) wieder 1. Man kann es nicht bei 0.75 lassen, dann gäbs ja auch noch die Möglichkeit, dass es {M, M} ist, was ja durch die Beobachtung ausgeschlossen wurde.
Damit ist P(B|A) = P(A geschnitten / P(A) = 0.5/1 = 0.5

Wenn jetzt einer behauptet, es wäre egal, ob man den einen oder den anderen Jungen sieht, es käme nur darauf an, _dass_ man einen sieht, dann muss er auch {J, M} und {M, J} zusammenschmeißen und hat
P({M, M}) = 0
P({J, M}) = 0.5 oder das andere, aber halt nur eins davon.
P({J, J}) = 0.5

Die Rechnung ergibt dann ebenfalls 0.5