Rätsel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung

[dooya]

TGGC schrieb:

[...]@dooya: Ich würde eben meinen, das sie nicht auf die Aufgabestellung passt, sondern nur für einen speziellen Fall passt, wenn nur bekannt ist, da mindestens ein Junge existiert. Ich zweifele noch daran, das man diese Lösung so verallgemeinern kann, wie du es tust da sie nur gültig ist, wenn alle gleich wahrscheinlich ist. Was ist z.b. wenn ich frage am Fenster taucht ein Kind auf (also ein Junge oder ein Mädchen) und nun möchte ich wissen, wie hoch ist die Chance, das zweite Kind hat ein unterschiedliches Geschlecht.

Oder mathematisch formuliert: Es tritt ein Kind mit Geschlecht x element {M,J} an das Fenster. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit das für Geschlecht y element {M,J} des anderen Kindes gilt: x != y?

Mich dünkt, das du dies mit deiner Rechnung nicht lösen kannst. Daher muss daran etwas faul sein, denn warum sollte sich das für ein Mädchen anders berechnen? Und das halt nicht beachtet wurde, das es nur ein zufälliges Kind ist, welches Junge ist, riecht für mich halt verdächtig faul.

Bye, TGGC

Ok.

Es gilt immer noch:

$\Omega = \{\{M,M\}, \{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\}$ mit

$P(\{M,M\}) = P(\{M,J\}) = P(\{J,M\}) = P(\{J,J\}) = .25$

Das Ereignis "am Fenster taucht ein Kind auf (also ein Junge oder ein Mädchen) " lässt sich schreiben als

A = \left\{\{x,y\} \in \Omega \,|\, x \in \{J,M\} } \right\} und das ist

$A = \{\{M,M\}, \{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\} = \Omega$ und damit

$P(A) = 1.0$

Das Ereignis "für Geschlecht y element {M,J} des anderen Kindes gilt: x != y?" ist

B = \left\{\{x,y\} \in \Omega \,|\, x \ne y } \right\} und damit

$B = \{\{M,J\}, \{J,M\}\}$ mit
$P(B) = 0.5$

Nun ist

$P(B | A) = \frac{A \cap B}{P(A)}$ mit

$A \cap B = \{\{M,M\}, \{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\} \cap \{\{M,J\}, \{J,M\}\}$
$= \{\{M,J\}, \{J,M\}\}$ also ist

$P(A \cap$ = .5

damit ist

$P(B | A) = \frac{.5}{1}=.5$

Sobald du dich aber auf das Geschlecht des Kindes festlegst, verändert sich das Ereigniss A zu $\{\{M,M\}, \{M,J\}, \{J,M\}\}$ wenn es ein Mädchen ist oder $\{\{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\}$ wenn es ein Junge ist und damit ist in beiden Fällen P(A) =.75 und P(A|B) = .66.

[dooya]

TGGC schrieb:

[...]
Es wurde hier schon oft behauptet, "Ein Junge steht am Fenster" und "Es existiert mindestens ein Junge" wäre äquivalent. Wen aber aus "Es existiert mindestens ein Junge" die Aussage "Ein Junge steht am Fenster" folgt, dann bedeutet dies der Junge drängelt sich immer vor. Dies muss unbedingt beachtet werden!

Bye, TGGC

Ihr habt in diesem Punkt Recht, denn es muss tatsächlich heissen: aus "Ein Junge steht am Fenster" folgt "Es existiert mindestens ein Junge", aber hatten wir das nicht schon gerade geklärt?

[TGGC]

Du hast jetzt doch aber jetzt eine komplett andere Rechnung gemacht, oder etwa nicht! Also gilt deine alte Rechnung garnicht allgemein:

Sei g das Geschlecht des Kindes am Fenster und f das andere Geschlecht (also wenn f=M dann g=J und wenn f=J dann g=M).

$\Omega = \{\{f,f\}, \{f,g\}, \{g,f\}, \{g,g\}\}$
[...]
Wegen "g steht am Fenster"
$A = \left\{\{x,y\} \in \Omega \,|\, x = \{g\} \vee y = \{f\} \right\}$

usw.

Sowas stimmt dann nämlich bei der Aufgabe hier und ganz allgemein nicht, sondern wirklich nur für "Es existiert mindestens ein Junge"...

Und aus der allgemeinen Lösung folgt auch die spezielle Lösung dieser Aufgabe!

Bye, TGGC

[TGGC]

dooya schrieb:

Ihr habt in diesem Punkt Recht, denn es muss tatsächlich heissen: aus "Ein Junge steht am Fenster" folgt "Es existiert mindestens ein Junge", aber hatten wir das nicht schon gerade geklärt?

Ja, aber wir haben schon zig mal versucht das zu klären, weil es immer wieder behauptet wurde. Und das glaubt mir der finix nun nicht und meint ich hätte es erfunden. Derweil ist es der entscheidende Punkt, warum Eure Rechnungen wohl einfahc nicht zur Aufgabe passen.

BTW: Wenn man ein Mädchen am Fenster sieht, kommt dann für weiteres Mädchen 00,33 raus? (Sorry, steht ja schon da...)

Bye, TGGC

[finix]

TGGC schrieb:

dooya schrieb:

Ihr habt in diesem Punkt Recht, denn es muss tatsächlich heissen: aus "Ein Junge steht am Fenster" folgt "Es existiert mindestens ein Junge", aber hatten wir das nicht schon gerade geklärt?

Ja, aber wir haben schon zig mal versucht das zu klären, weil es immer wieder behauptet wurde. Und das glaubt mir der finix nun nicht und meint ich hätte es erfunden. Derweil ist es der entscheidende Punkt, warum Eure Rechnungen wohl einfahc nicht zur Aufgabe passen.

Hör auf rumzutrollen.

TGGC schrieb:

BTW: Wenn man ein Mädchen am Fenster sieht, kommt dann für weiteres Mädchen 0,33 raus?

Ja, für den Fall dass es kein bestimmtes Mädchen ist (die ältere bzw. jüngere).

[TGGC]

Ich möchte dooya's letzes (mir auch einleuchtendes) Ergebnis nochmal als Satz formulieren:

Wenn ein Kind mit Geschlecht x ( x element {M,J} ) an das Fenster tritt, dann gilt: die Wahrscheinlichkeit für x != y mit y = Geschlecht des anderen Kindes ist 0,5.

Das muss nun soweit erstmal stimmen. Damit kommen wir ja vielleicht weiter.

Bye, TGGC

[finix]

TGGC schrieb:

Ich möchte dooya's letzes (mir auch einleuchtendes) Ergebnis nochmal als Satz formulieren:

Wenn ein Kind mit Geschlecht x ( x element {M,J} ) an das Fenster tritt, dann gilt: die Wahrscheinlichkeit für x != y mit y = Geschlecht des anderen Kindes ist 0,5.

Das muss nun soweit erstmal stimmen. Damit kommen wir ja vielleicht weiter.

dooyas Rechnung ist komplett richtig. Geht ja auch um die Ergebnismenge Ω={(M,M), (M,J), (J,M), (J,J)}.

[TGGC]

Na gut, dann stimmen wir in dem Punkt schon alle überein.

Bye, TGGC

[Godot]

[quote="dooya"]

TGGC schrieb:

[...]... (bis hierhin richtig)

Sobald du dich aber auf das Geschlecht des Kindes festlegst, verändert sich das Ereigniss A zu $\{\{M,M\}, \{M,J\}, \{J,M\}\}$ wenn es ein Mädchen ist oder $\{\{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\}$ wenn es ein Junge ist und damit ist in beiden Fällen P(A) =.75 und P(A|B) = .66.

Die Wahrscheinlichkeiten kannst du nicht mit den Einzelwahrscheinlichkeiten von oben ausrechnen. Sie haben sich durch die Beobachtung verändert und sind jetzt (wenn man den Jungen gesehen hat):

P({M, M}) = 0
P({J, M}) = 0.25
P({M, J}) = 0.25
P({J, J}) = 0.5 <- Er kann den einen oder den anderen Jungen gesehen haben. Deshalb hier doppelte Wahrscheinlichkeit.
Mit diesen Wahrscheinlichkeiten ist P(A) wieder 1. Man kann es nicht bei 0.75 lassen, dann gäbs ja auch noch die Möglichkeit, dass es {M, M} ist, was ja durch die Beobachtung ausgeschlossen wurde.
Damit ist P(B|A) = P(A geschnitten / P(A) = 0.5/1 = 0.5

Wenn jetzt einer behauptet, es wäre egal, ob man den einen oder den anderen Jungen sieht, es käme nur darauf an, _dass_ man einen sieht, dann muss er auch {J, M} und {M, J} zusammenschmeißen und hat
P({M, M}) = 0
P({J, M}) = 0.5 oder das andere, aber halt nur eins davon.
P({J, J}) = 0.5

Die Rechnung ergibt dann ebenfalls 0.5

[empgodot]

ups, dooya schrieb... sollte das heißen. ich hätte mich einloggen sollen

[dooya]

TGGC schrieb:

Du hast jetzt doch aber jetzt eine komplett andere Rechnung gemacht, oder etwa nicht! Also gilt deine alte Rechnung garnicht allgemein:

Sei g das Geschlecht des Kindes am Fenster und f das andere Geschlecht (also wenn f=M dann g=J und wenn f=J dann g=M).

$\Omega = \{\{f,f\}, \{f,g\}, \{g,f\}, \{g,g\}\}$
[...]
Wegen "g steht am Fenster"
$A = \left\{\{x,y\} \in \Omega \,|\, x = \{g\} \vee y = \{f\} \right\}$

[...]

Du hast Recht, diese Stelle ist tatsächlich falsch; danke für den Hinweis. Es muss heissen:

A = \left\{\{x,y\} \in \Omega \,|\, x \in \{J,M\} \vee y \in \{J,M\}} \right\}.
aber auch hier ist

$A = \{\{M,M\}, \{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\} = \Omega$ und damit

$P(A) = 1.0$.

Der Rest der Herleitung sollte allerdings korrekt sein.

[dooya]

Godot schrieb:

dooya schrieb:

TGGC schrieb:

[...]... (bis hierhin richtig)

Sobald du dich aber auf das Geschlecht des Kindes festlegst, verändert sich das Ereigniss A zu $\{\{M,M\}, \{M,J\}, \{J,M\}\}$ wenn es ein Mädchen ist oder $\{\{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\}$ wenn es ein Junge ist und damit ist in beiden Fällen P(A) =.75 und P(A|B) = .66.

Die Wahrscheinlichkeiten kannst du nicht mit den Einzelwahrscheinlichkeiten von oben ausrechnen. Sie haben sich durch die Beobachtung verändert und sind jetzt (wenn man den Jungen gesehen hat)[...]

Da sowohl die Einzelwahrscheinlichkeiten "von oben" als auch die durch das Ereignis A zusammengefassten auf Ω bedingt sind, sollte sich die Einzelwahrscheinlichkeit nicht ändern.

Wenn jetzt einer behauptet, es wäre egal, ob man den einen oder den anderen Jungen sieht, es käme nur darauf an, _dass_ man einen sieht, dann muss er auch {J, M} und {M, J} zusammenschmeißen und hat
[...]

Dann erkläre bitte warum im allgemeinen Fall gilt: $P(\{M,M\}) = P(\{M,J\}) = P(\{J,M\}) = P(\{J,J\}) = .25$.

[empgodot]

dooya schrieb:

Da sowohl die Einzelwahrscheinlichkeiten "von oben" als auch die durch das Ereignis A zusammengefassten auf Ω bedingt sind, sollte sich die Einzelwahrscheinlichkeit nicht ändern.

Dein
A = $\{\{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\}$
ist das Ereignis "Es gibt einen Jungen", nicht "der Junge geht ans Fenster".
Zweiteres folgt zwar aus ersterem, ist aber nicht äquivalent.
Du müsstest Paare (M, M), (J, M), (M, J), (J, J) betrachten, wobei z.B. das linke das Kind ist, das ans Fenster geht. Dann hast du
A = $\{(J,M), (J,J)\}$.

[finix]

empgodot schrieb:

Dein
A = $\{\{M,J\}, \{J,M\}, \{J,J\}\}$
ist das Ereignis "Es gibt einen Jungen", nicht "der Junge geht ans Fenster".

Richtig.
Stellt sich nur die Frage warum man aus "der Junge geht ans Fenster" nicht auf "Es gibt einen Jungen" schließen können sollte.

edit: zu deinem "linkes Kind geht ans Fenster": du weißt ganz einfach nicht welches Kind am Fenster steht.

[empgodot]

finix schrieb:

Richtig.
Stellt sich nur die Frage warum man aus "der Junge geht ans Fenster" nicht auf "Es gibt einen Jungen" schließen können sollte.

Schließen kann man schon, aber damit weiterrechnen darf man nur, wenn's äquivalent ist.
Aus "x=1" folgt auch "x ist ungerade" (<edit>lol, gerade ist 1 in der tat nicht), trotzdem liefern diese Aussagen im gleichverteilten Ereignisraum {0, 1, 2, 3} völlig andere Wahrscheinlichkeiten.

finix schrieb:

Richtig.
edit: zu deinem "linkes Kind geht ans Fenster": du weißt ganz einfach nicht welches Kind am Fenster steht.

Stimmt. Es kann sowohl
$A_1 = \{(J,M), (J,J)\}$.[/quote]
als auch
$A_2 = \{(M,J), (J,J)\}$.[/quote]
sein (beides gleichwahrscheinlich).
$P(A\_1 \cup A\_2)$ liefert
0.5\*P(A\_1) + 0.5\*P(A\_2) = 0.5.

[Besserwisser]

empgodot schrieb:

Aus "x=1" folgt auch "x ist gerade"

Soso... Das ist ja interessant.

[finix]

empgodot schrieb:

finix schrieb:

Richtig.
Stellt sich nur die Frage warum man aus "der Junge geht ans Fenster" nicht auf "Es gibt einen Jungen" schließen können sollte.

Schließen kann man schon, aber damit weiterrechnen darf man nur, wenn's äquivalent ist.

Kann's sein dass du hier einige Dinge durcheinander würfelst? Schau mal:

empgodot schrieb:

Aus "x=1" folgt auch "x ist gerade", trotzdem liefern diese Aussagen im gleichverteilten Ereignisraum {0, 1, 2, 3} völlig andere Wahrscheinlichkeiten.

1 ist gerade? Ich ersetze das im folgenden einfach mal mit "ungerade".
Du hast Recht wenn du behauptest dass "x ist 'ungerade'" nicht äquivalent mit "x=1" ist.
Aber wenn du weißt dass "x=1", warum solltest du die Folgerung "x ist 'ungerade'" nicht verwenden dürfen?

empgodot schrieb:

finix schrieb:

Richtig.
edit: zu deinem "linkes Kind geht ans Fenster": du weißt ganz einfach nicht welches Kind am Fenster steht.

Stimmt. Es kann sowohl
$A_1 = \{(J,M), (J,J)\}$.
als auch
$A_2 = \{(M,J), (J,J)\}$.
sein (beides gleichwahrscheinlich).
$P(A\_1 \cup A\_2)$ liefert
0.5\*P(A\_1) + 0.5\*P(A\_2) = 0.5.

Das ist so ähnlich wie meine Wette mit TGGC.

[Black Shadow__]

WIe wäre dieser Denkansatz:
wir wissen, die familie hat 2 kinder.
wir wissen, eines davon ist ein junge.
ergo: es gibt ein kind, dessen geshclecht unbekannt ist.
warum nun nicht einfach die gesamte aufgabenstellung auf dieses unbekannte kind reduzieren?
=>
die familie hat 1 kind, dessen geschlecht unbekannt ist.
Geht man davon aus, dass es gleich viele Jungs und mädels gibt, ist p 50%
Ich dneke man darf die Aufgabe auf das eine Kind reduzieren, da die Kinder völlig unabhängig voneinander geboren wurden. Ob nun ein Kind männlich oder weiblich ist - für das andere ist das doch vollkommen wurst.

[Black Shadow__]

Oder:
Ob es ein Junge oder mädchen wird, weiß nur gott und p ist hier 50%. Vergleichen wir das mit dem Wurf einer idealen Münze.
Wir werfen nun 2 Münzen.
für jeden wurf ist die Wahrscheinlichkeit, dass man "Kopf" erhält, 50%. Kopf sei hier "Junge".
Egal wie oft ich einen Münzwurf mache, p ist immer 0.5. Ich werfe nun 2x. Schaue das eine mal hin: siehe da, es ist Kopf. (bzw der Junge, den sehen wir ja durchs fenster). Und beim besten willen: Warum soll p(Junge) der anderen Müze nicht auch 0.5 sein? die sind doch völlig unabhängig voneinander.

[TGGC]

finix schrieb:

Aber wenn du weißt dass "x=1", warum solltest du die Folgerung "x ist 'ungerade'" nicht verwenden dürfen?

Verwenden kannst du das schon, aber du verlierst Informationen. Daher kommst du zu einem falschen Ergebnis.

@Black Shadow: So könnte man das sehen.