Rätsel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung

[TGGC]

dooya schrieb:

Der Rest der Herleitung sollte allerdings korrekt sein.

Ja, aber eine ganz andere als die 2/3 Rechnung. Ergo die 2/3 Rechnung ist falsch.

"g steht am Fenster"
$A = \left\{\{x,y\} \in \Omega \,|\, x = \{g\} \vee y = \{g\} \right\}$

Offensichtlich ist
$A = \{\{f,g\}, \{g,f\}, \{g,g\}\}$ mit

$P(A | \Omega) = P(A) = .75$

"mindestens ein Kind hat Geschlecht f"

$B = \left\{\{x,y\} \in \Omega \,|\, x = \{f\} \vee y = \{f\} \right\}$

$B = \{\{f,f\}, \{f,g\}, \{g,f\}\}$ mit

$P(B|\Omega) = P(B) = .75$

Naja sieht man schon, das da nix sinnvolles rauskommt... IMHO wird die Menge A falsch betrachtet.

Bye, TGGC

[finix]

TGGC schrieb:

finix schrieb:

Aber wenn du weißt dass "x=1", warum solltest du die Folgerung "x ist 'ungerade'" nicht verwenden dürfen?

Verwenden kannst du das schon, aber du verlierst Informationen. Daher kommst du zu einem falschen Ergebnis.

LOFL! Du verlierst informationen? Was verlierst du?
Man darf aus "x ist 'ungerade'" nicht schließen dass "x=1",
aber durch "x=1" ist zweifelsfrei zu schließen "x ist 'ungerade'".

[TGGC]

Aus den Aussagen:
x = 1
y + x = 10
folgt y= 9

Aus den Aussagen:
x ist ungerade
y + x = 10
folgt das nicht.

Es ist Information verloren gegangen.

Bye, TGGC

[TGGC]

TGGC schrieb:

Wenn ein Kind mit Geschlecht x ( x element {M,J} ) an das Fenster tritt, dann gilt: die Wahrscheinlichkeit für x != y mit y = Geschlecht des anderen Kindes ist 0,5.

Wartet mal, das kann doch eigentlich nicht stimmen!

Bye, TGGC

[finix]

TGGC schrieb:

Aus den Aussagen:
x = 1
y + x = 10
folgt y= 9

Aus den Aussagen:
x ist ungerade
y + x = 10
folgt das nicht.

Das habe ich nie behauptet. Ihr hingegen behauptet dass man "x ist ungerade" nicht verwenden darf falls "x=1" bekannt ist.

[TGGC]

finix schrieb:

TGGC schrieb:

Aus den Aussagen:
x = 1
y + x = 10
folgt y= 9

Aus den Aussagen:
x ist ungerade
y + x = 10
folgt das nicht.

Das habe ich nie behauptet. Ihr hingegen behauptet dass man "x ist ungerade" nicht verwenden darf falls "x=1" bekannt ist.

Siehst ja, das man für y so plötzlich eine andere Lösung bekommt. Es ist doch allgemein bekannt, das man nur äquivalent Umformen darf, weil sonst das Ergebnis falsch werden kann.

Bye, TGGC

[finix]

TGGC schrieb:

TGGC schrieb:

Wenn ein Kind mit Geschlecht x ( x element {M,J} ) an das Fenster tritt, dann gilt: die Wahrscheinlichkeit für x != y mit y = Geschlecht des anderen Kindes ist 0,5.

Wartet mal, das kann doch eigentlich nicht stimmen!

Genau, ist immer noch 2/3.
Für deine Rechnung von oben doch einfach fort.
$P(\exists f) = 3/4$ hast du ja schon ausgerechnet, fehlt nur noch $P(\exists g) = 3/4$ und $P(\exists f | \exists g) = 2/3$.

[finix]

TGGC schrieb:

finix schrieb:

TGGC schrieb:

Aus den Aussagen:
x = 1
y + x = 10
folgt y= 9

Aus den Aussagen:
x ist ungerade
y + x = 10
folgt das nicht.

Das habe ich nie behauptet. Ihr hingegen behauptet dass man "x ist ungerade" nicht verwenden darf falls "x=1" bekannt ist.

Siehst ja, das man für y so plötzlich eine andere Lösung bekommt. Es ist doch allgemein bekannt, das man nur äquivalent Umformen darf, weil sonst das Ergebnis falsch werden kann.

Es geht hier um keine Äquivalenzumformung. (Vor allem formst du nichts um, du kannst einfach den Wahrheitsgehalt einer weiteren Aussage feststellen.)
Darüber hinaus habe ich nie behauptet das die beiden Aussagen äquivalent sind, im Gegenteil.
Aber erklär mir doch endlich warum man die Frage "ist x gerade?" nicht unter zuhilfenahme von "x=1" beantworden darf?

[TGGC]

Bitte was? Ich habe kein Rechnung gemacht, sondern nur die falsche Rechnung umgeschrieben, so das man es besser sieht.

Bye, TGGC

[TGGC]

finix schrieb:

Es geht hier um keine Äquivalenzumformung. (Vor allem formst du nichts um, du kannst einfach den Wahrheitsgehalt einer weiteren Aussage feststellen.)
Darüber hinaus habe ich nie behauptet das die beiden Aussagen äquivalent sind, im Gegenteil.
Aber erklär mir doch endlich warum man die Frage "ist x gerade?" nicht unter zuhilfenahme von "x=1" beantworden darf?

Na dann wird Euere Ergebnis natürlich nicht äquivalent zur Aufgabe sein.

Die Frage "ist x gerade?" kann man natürlich so beantworten, da die Frage für alle ungeraden x gleich beantwortet wird. Aber was ist mit der Frage "Ist x = 3?".

Bye, TGGC

[finix]

TGGC schrieb:

Bitte was? Ich habe kein Rechnung gemacht, sondern nur die falsche Rechnung umgeschrieben, so das man es besser sieht.

Zweifelst du die Richtigkeit deiner Rechnung für P("mindestens ein Kind hat Geschlecht f") = 3/4 an?

[Black Shadow__]

[quote="finix"]

Black Shadow__ schrieb:

Gut zusammengefasst. Und jetzt rechne aus wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist zuerst einen Jungen zu werfen und danach ein Mädchen.

es geht hier nicht um die wahrscheinlichkeit von junge -> mädchen sondern um die wahrscheinlichkeit junge bzw wahrscheinlichkeit mädchen. und wie du aus dem münzversuch entnehmenkannst - das resultat ist völlig unabhängig vom wurf mit der anderen münze. genauso wie der wurf selbst völlig unabhängig vom anderen ausgeführt wird.

[finix]

Black Shadow__ schrieb:

finix schrieb:

Gut zusammengefasst. Und jetzt rechne aus wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist zuerst einen Jungen zu werfen und danach ein Mädchen.

es geht hier nicht um die wahrscheinlichkeit von junge -> mädchen sondern um die wahrscheinlichkeit junge bzw wahrscheinlichkeit mädchen. und wie du aus dem münzversuch entnehmenkannst - das resultat ist völlig unabhängig vom wurf mit der anderen münze. genauso wie der wurf selbst völlig unabhängig vom anderen ausgeführt wird.

Vielleicht solltest du dir einfach das Rätsel noch mal in aller Ruhe durchlesen. Du fragst nicht die erste Münze ob sie eine Schwester hat, sondern es stellt sich zufällig heraus dass eine der beiden ein Junge ist. Ich hätte meinen Tipp wohl doch eher gaaaaanz langsam und deutlich schreiben sollen.

[scrontch]

*stöhn*
Könnte hier nicht vielleicht endlich mal einer der Kontrahenten die Nazis oder Hitler ins Spiel bringen?

[TGGC]

Ich habe da noch einen weiteren fatalen Fehler in deiner Rechnung endeckt!

dooya schrieb:

$P(B | A) = \frac{A \cap B}{P(A)}$

Müsste eigentlich heissen:
$P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
Das über dem Bruchstrich bezeichnet die Wahrscheinlichkeit das A und B eintreten, also hier konkret: Mit welcher Wahrscheinlichkeit steht ein Junge am Fenster und existiert ein Mädchen. Und um das auszurechenen brauchst du erstmal das Ergebnis der Aufgabe! Daher kannst du das nicht so machen! Oder du rechnest das durch auszählen, es gibt diese Möglichkeiten:
{M,M, Kind 1 am Fenster }
{M,M, Kind 2 am Fenster }
{J,M, Kind 1 am Fenster }
{J,M, Kind 2 am Fenster } => hier!
{M,J, Kind 1 am Fenster }
{M,J, Kind 2 am Fenster } => hier!
{J,J, Kind 1 am Fenster }
{J,J, Kind 2 am Fenster }

Macht 2/8 und nicht wie du sagst 1/2

Bye, TGGC

[Jester]

Hab ihr inzwischen eigentlich schon bemerkt, daß man beide Lösungen vertreten kann?

Sorry, hab grad keine Lust den ganzen Kram durchzulesen. Daher bitte ich hier um ne kleine Zusammenfassung.

[finix]

TGGC schrieb:

Ich habe da noch einen weiteren fatalen Fehler in deiner Rechnung endeckt!

dooya schrieb:

$P(B | A) = \frac{A \cap B}{P(A)}$

Müsste eigentlich heissen:
$P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
Das über dem Bruchstrich bezeichnet die Wahrscheinlichkeit das A und B eintreten, also hier konkret: Mit welcher Wahrscheinlichkeit steht ein Junge am Fenster und existiert ein Mädchen. Und um das auszurechenen brauchst du erstmal das Ergebnis der Aufgabe! Daher kannst du das nicht so machen! Oder du rechnest das durch auszählen, es gibt diese Möglichkeiten:
{M,M, Kind 1 am Fenster }
{M,M, Kind 2 am Fenster }
{J,M, Kind 1 am Fenster }
{J,M, Kind 2 am Fenster } => hier!
{M,J, Kind 1 am Fenster }
{M,J, Kind 2 am Fenster } => hier!
{J,J, Kind 1 am Fenster }
{J,J, Kind 2 am Fenster }

Macht 2/8 und nicht wie du sagst 1/2

Bye, TGGC

LOFL

[TGGC]

Ok, jetzt meine Rechnung zum richtigen Ergebnis.

P( "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Mädchen" unter der Bedingung "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge" ) = 1 - P( "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge" unter der Bedingung "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge" )

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge" unter der Bedingung "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge"? Also A= "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge" und B= "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge", gesucht wird P(A|B).

P( "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge" unter der Bedingung "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge" )= P(A|B)= P( A geschnitten B ) / P( B )

Wenn ein Kind am Fenster steht, so ist sein Geschlecht mit einer Chance von 50% männlich, da am Fenster stehen und das Geschlecht unabhängig sind und wir eine Geschlechterverteilung von 1:1 annehmen. Daher gilt P( B )= 0.5.

Die Wahrscheinlichkeit das "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge" und "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge" ist auch recht einfach zu erkennen! Es gibt die bekannten 4 Fälle MM, JM, MJ und JJ und beide Bedingungen können nur bei JJ gelten. Also P( A geschnitten = 1 / 4 = 0.25

Damit ergibt sich:

P( Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge )= P(A|B) = 0.25 / 0.5
P( Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge )= P(A|B) = 0.5

und

P( Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Mädchen ) = 1 - 0.5
P( Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Mädchen ) = 0.5

q.e.d.

Bye, TGGC

//edit kleiner Formulierungsfehler
//jetzt aber

[TGGC]

Jester schrieb:

Hab ihr inzwischen eigentlich schon bemerkt, daß man beide Lösungen vertreten kann?

Ja hab ich. Man trifft ja hier viele, welche die falsche Lösung vertreten.

Bye, TGGC

[Gast]

finix schrieb:

LOFL

Hast du dir auf die Zunge gebissen?