Rätsel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung

finix schrieb:

$\Omega = \{(M,M), (M,J), (J,M), (J,J)\}$

Jetzt ist besagtes Ereignis eingetreten und die Menge der noch möglichen Elementarereignisse sieht wie folgt aus

$\{(M,J), (J,M), (J,J)\}$

M,J ist kein Elementarereignis. Es setzt sich aus den Elementarereignissen {M,J,Kind 1 am Fenster} und {M,J,Kind 2 am Fenster} zusammen. Daher kann deine Rechnung nicht stimmen.

Es sei denn du willst wieder mal behaupten das J,M == {M,J,Kind 2 am Fenster} ist und sich der Junge immer ans Fenster drängelt.

Bye, TGGC

dooya

TGGC|_work schrieb:

dooya schrieb:

Du hast in deiner "korrekten Lösung" dem hier identischen Ereignis $A \cap B$ eine andere Wahrscheinlichkeit bescheinigt. Da beide Ereignisse genau {{J,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 2 am Fenster }} sind, müssen sie auch die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

Nein, müssen sie nicht, das ist der Charakter einer bedingten Wahrscheinlichkeit. Siehe das Beispiel in wikipedia: Die Chance das man eine Herzkarte hat = 1 / 4, Die Chance das man eine Herzkarte hat, wenn die Karte rot ist = 1 / 2. Gleiche Ereignisse, unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten.

[..]

Nein, es handelt sich nicht um das gleiche Ereignis: das erste Ereignis ist P("Herz") und das zweite Ereignis ist P("Herz" | "Karte ist rot").

dooya schrieb:

Nein, das erste Ereignis ist P("Herz") und das zweite Ereignis ist P("Herz" | "Karte ist rot").

Aber beides ist { "Herz 7", "Herz 8", "Herz 9", "Herz 10", "Herz Junge", "Herz Dame", "Herz König", "Herz As" }. Wie du siehst ist diese Schreibweise für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit nicht ausreichend.

Wenn ich frage, wie hoch ist die Chance für Junge am Fenster unter der Bedingung es gibt 2 Jungen, so sind die Ereignisse auch {{J,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 2 am Fenster }}, die Wahrscheinlichkeit aber 1.

Bye, TGGC

finix

TGGC|_work schrieb:

finix schrieb:

$\Omega = \{(M,M), (M,J), (J,M), (J,J)\}$

Jetzt ist besagtes Ereignis eingetreten und die Menge der noch möglichen Elementarereignisse sieht wie folgt aus

$\{(M,J), (J,M), (J,J)\}$

M,J ist kein Elementarereignis. Es setzt sich aus den Elementarereignissen {M,J,Kind 1 am Fenster} und {M,J,Kind 2 am Fenster} zusammen. Daher kann deine Rechnung nicht stimmen.

(M,J) ist das Elementarereignis das die Frau des Nachbarn zuerst ein Mädchen und dann einen Jungen geboren hat. Was bitte ist daran uneinsichtig?

finix schrieb:

(M,J) ist das Elementarereignis das die Frau des Nachbarn zuerst ein Mädchen und dann einen Jungen geboren hat. Was bitte ist daran uneinsichtig?

Diese Ereignis zerfällt in die beiden Ereignisse (M,J, Kind 1 am Fenster ) und (M,J, Kind 2 am Fenster ) und kann daher kein Elementarereignis sein. Was bitte ist daran uneinsichtig?

Bye, TGGC

Wurde dieses Problem etwa, das nun wirklcih kein sehr spezielles ist, nicht shcon 1000e mal von irgendwelchen schlauen professoren und mathematikern gelöst?
Es kann doch nicht sein, dass sich die Menschheit in ihrer Geschichte bei solch einem Problem noch nicht auf eine Lösung geeinigt hat.

dooya

TGGC|_work schrieb:

dooya schrieb:

Nein, das erste Ereignis ist P("Herz") und das zweite Ereignis ist P("Herz" | "Karte ist rot").

Aber beides ist { "Herz 7", "Herz 8", "Herz 9", "Herz 10", "Herz Junge", "Herz Dame", "Herz König", "Herz As" }. Wie du siehst ist diese Schreibweise für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit nicht ausreichend.

Wenn ich frage, wie hoch ist die Chance für Junge am Fenster unter der Bedingung es gibt 2 Jungen, so sind die Ereignisse auch {{J,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 2 am Fenster }}, die Wahrscheinlichkeit aber 1.

Bye, TGGC

Ja, du hast Recht, ich habe in diesem Punkt falsch gelegen. Insofern ist meine Argumentation von heute früh (http://www.c-plusplus.net/forum/viewtopic-var-p-is-837844.html#837844) auch nicht mehr haltbar.

Black Shadow__ schrieb:

Wurde dieses Problem etwa, das nun wirklcih kein sehr spezielles ist, nicht shcon 1000e mal von irgendwelchen schlauen professoren und mathematikern gelöst?
Es kann doch nicht sein, dass sich die Menschheit in ihrer Geschichte bei solch einem Problem noch nicht auf eine Lösung geeinigt hat.

Spätestens nach folgender Rechnung ist das Ergebnis bekannt:

Wir wollen den beobachteten Zustand "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge" B nennen. Alle unsere Betrachtungen müssen also unter der Voraussetzung das B eintritt, gemacht werden, kurz "wenn B".

Wir stellen fest:
P( "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Mädchen" wenn B ) + P( "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge" wenn B ) = 1
P( "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Mädchen" wenn B ) = 1 - P( "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge" wenn B )

Die gilt, weil sich die Junge/Mädchen ausschliest, aber auch keine 3 Möglichkeit existiert. Daher muss die Summe 1 sein.

Wie gross ist nun die Wahrscheinlichkeit für "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge" unter der Bedingung "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge"? Also A= "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge" und B= "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge", kurz geschrieben: gesucht wird P(A|B).

P( "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge" wenn B )= P(A|B)= P( A geschnitten B ) / P( B )

Zunächst zu P(B):
Wenn ein Kind am Fenster steht, so ist sein Geschlecht mit einer Chance von 50% männlich, da am Fenster stehen und das Geschlecht unabhängig sind und wir eine Geschlechterverteilung von 1:1 annehmen. Daher gilt P( B )= 0.5.

Kommen wir zu P( A geschnitten B ):
Die Wahrscheinlichkeit das "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge" und "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge" ist auch recht einfach zu erkennen! Dies kann nur gelten wenn die Familie zwei Jungen hat. Die Wahrscheinlichkeit, das als erstes Kind ein Junge geboren wird, ist 0.5. Für das zweite Kind ebenso. Da die Geburten unabhängig voneinander sind, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, das beides eintritt, durch Multiplikation. Also P( A geschnitten = 0.5 * 0.5 = 0.25

Damit ergibt sich:

P( Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge wenn B )= P(A|B) = 0.25 / 0.5
P( Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge wenn B )= P(A|B) = 0.5

und

P( Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Mädchen wenn B ) = 1 - 0.5
P( Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Mädchen wenn B ) = 0.5

[rev. 4]

Bye, TGGC

finix

TGGC|_work schrieb:

finix schrieb:

(M,J) ist das Elementarereignis das die Frau des Nachbarn zuerst ein Mädchen und dann einen Jungen geboren hat. Was bitte ist daran uneinsichtig?

Diese Ereignis zerfällt in die beiden Ereignisse (M,J, Kind 1 am Fenster ) und (M,J, Kind 2 am Fenster ) und kann daher kein Elementarereignis sein. Was bitte ist daran uneinsichtig?

Hast du meinen Kommentar zu deinem Herz-Beispiel gelesen?
Und wenn du unbedingt die Wahrscheinlichkeit dass ein Junge am Fenster steht berechnen willst: wo taucht in deiner Rechnung die Wahrscheinlichkeit auf dass es überhaupt einen Jungen gibt auf? Wenn du so darauf beharrst dass es auch ein Mädchen sein könnte obwohl wir wissen dass es ein Junge ist?

dooya

Bei wikipedia gibt es eine Gegenüberstellung der beiden Lösungsansätze:

http://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit#Beispiele

finix schrieb:

Hast du meinen Kommentar zu deinem Herz-Beispiel gelesen?

Ja, welche Relevanz hat das, was soll uns das sagen.

finix schrieb:

Und wenn du unbedingt die Wahrscheinlichkeit dass ein Junge am Fenster steht berechnen willst: wo taucht in deiner Rechnung die Wahrscheinlichkeit auf dass es überhaupt einen Jungen gibt auf?

Wieso sollte die Wahrscheinlichkeit "Es gibt einen Jungen" nötig sein um die Wahrscheinlichkeit "Kind am Fenster ist ein Junge" zu berechnen?

finix schrieb:

Wenn du so darauf beharrst dass es auch ein Mädchen sein könnte obwohl wir wissen dass es ein Junge ist?

[quote="finix"]Das ist keine Frage.

Bye, TGGC

finix

TGGC|_work schrieb:

finix schrieb:

Hast du meinen Kommentar zu deinem Herz-Beispiel gelesen?

Ja, welche Relevanz hat das, was soll uns das sagen.

Dass es auch eine schwarze Karte hätte sein können.

dooya schrieb:

Bei wikipedia gibt es eine Gegenüberstellung der beiden Lösungsansätze:

http://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit#Beispiele

Nein, hier wird gelöst wenn das erste Kind ein Mädchen ist oder mindestens ein Kind ein Mädchen ist. Aber nicht das Kind am Fenster ist ein Mädchen. Wenn uns das was nützen soll, dann zeigen wie man unsere Aufgabe auf einen dieser Fälle zurückführt.

Bye, TGGC

finix schrieb:

TGGC|_work schrieb:

finix schrieb:

Hast du meinen Kommentar zu deinem Herz-Beispiel gelesen?

Ja, welche Relevanz hat das, was soll uns das sagen.

Dass es auch eine schwarze Karte hätte sein können.

Und?

Bye, TGGC

Hier nochmal der entscheidente Unterschied: http://www.mathpages.com/home/kmath036.htm

Bye, TGGC

dooya

TGGC|_work schrieb:

dooya schrieb:

Bei wikipedia gibt es eine Gegenüberstellung der beiden Lösungsansätze:

http://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit#Beispiele

Nein, hier wird gelöst wenn das erste Kind ein Mädchen ist oder mindestens ein Kind ein Mädchen ist. Aber nicht das Kind am Fenster ist ein Mädchen. Wenn uns das was nützen soll, dann zeigen wie man unsere Aufgabe auf einen dieser Fälle zurückführt.

Bye, TGGC

Im Fall 1 wird dort angenommen, dass die beiden thematisierten Ereignisse unabhängig sind, eine Annahme die deine Argumentation teilt. Im zweiten Fall wird nicht von Unabhängigkeit ausgegangen, so wie finix und ich es auch tun.

Von welcher Abhängigkeit sprichst du?

Bye, TGGC

dooya

TGGC|_work schrieb:

Hier nochmal der entscheidente Unterschied: http://www.mathpages.com/home/kmath036.htm

Bye, TGGC

Genau, die folgenden Absätze dürften die entscheidenden sein:

Suppose there are 100 fathers in an auditorium, and each is the father
of two children. Each father is instructed to tell you (truthfully)
if at least one of his children is a boy. This will apply to about
75 of the fathers. Now, of those 75 Dads, 2/3 (i.e., 50) have a
daughter, and 1/3 (i.e., 25) have two sons. Thus, if you want to
guess the gender of their "other" child, the chances are 2/3 that
it is a girl. (Of course, for the remaining 25 fathers - those
who did not report at least one son - you know immediately they
have two daughters.)

However, suppose instead that all 100 fathers were instructed to tell
you either (a) "At least one of my children is a boy" or (b) "At least
one of my children is a girl". Based on what each father tells you,
you try to guess the gender of his "other" child. Strictly speaking
this problem is indeterminate, but if it's also stipulated that fathers
with both a son and a daughter should flip a coin to decide what to
tell you, then the probability that the "other" child is of the
opposite gender is exactly 1/2. The breakdown is

25 have two sons, and they report at least one son
25 have a son and daughter, and report at least one son

25 have a son and daughter, and report at least one daughter
25 have two daughters, and they report at least one daughter

Thus, regardless of what a particular father reports, you have only a
50% chance of correctly guessing the gender of his "other" child.

Nun bleibt zu klären, welcher der beiden Ansätze mit unserer Aufgabenstellung gemeint war.

dooya

TGGC|_work schrieb:

Von welcher Abhängigkeit sprichst du?

Bye, TGGC

Von der von dir benutzten stochastischen Abhängigkeit der Ereignisse A= "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge" und B= "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge".

Im 1. Fall des wikipedia-Beispiels wird von der Unabhängigkeit der Ereignisse "das erste Kind ist ein Mädchen" und "das zweite Kind ist ein Mädchen" ausgegangen.

finix

<a href= schrieb:

At Least One Girl">
Strictly speaking, the problem is underspecified in this form, because
we don't know how the father decides which piece of information to
give us if he has a choice (i.e., if he has one child of each gender).

[...]

However, suppose instead that all 100 fathers were instructed to tell
you either (a) "At least one of my children is a boy" or (b) "At least
one of my children is a girl". Based on what each father tells you,
you try to guess the gender of his "other" child. Strictly speaking
this problem is indeterminate, but if it's also stipulated that fathers
with both a son and a daughter should flip a coin to decide what to
tell you, then the probability that the "other" child is of the
opposite gender is exactly 1/2.

Das heißt also immer wenn wir nicht wissen wie wahrscheinlich etwas ist, werfen wir eine Münze bzw einen Würfel; wir legen also fest dass jede Möglichkeit gleich wahrscheinlich ist, um nicht willkürlich eine Wahrscheinlichkeit anzunehmen. ( )
Darüber hinaus legen wir fest dass eingetretene Ereignisse, sofern sich nicht ermitteln lässt wie wahrscheinlich ihr eintreten war, zu ignorieren. ( )
Auf unser Rätsel angewandt ignorieren wir die Tatsache dass die Familie einen Jungen hat und werfen stattdessen eine Münze um zu ermitteln ob sie ein Mädchen hat. ( )