Rätsel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung

empgodot

Irgendwie macht die 2/3-Fraktion immer nen Schritt, den ich nicht nachvollziehen kann.

Von
MM, JM, MJ, JJ
schmeißt ihr MM raus. Das ist soweit ok, aber ihr ordnet außer JJ (was auch ok ist) sowohl JM als auch MJ dem Ereignis "Man sieht einen Jungen am Fenster" zu.

Genauso könnte man JM und MJ auch beide dem Ereignis "Man sieht ein Mädchen am Fenster" zuordnen, wodurch MM, JM und MJ rausfallen. Dann hätte man die (ebenfalls falsche) Wahrscheinlichkeit 0, dass das andere Kind ein Mädchen ist.

Ich meine, ihr mischt hier eine geordnete Betrachtungsweise, also wo man festlegt, ob das linke oder das rechte Kind das ist, was am Fenster erscheint (MJ fällt dann raus, wenn das linke das ist, was am fenster erscheint), mit der ungeordneten Betrachtungsweise, wo die Reihenfolge keine Rolle spielt, also wo JM=MJ ist, was ihr immer ignoriert.

Eine dritte Betrachtungsweise gibt es auch noch, die ich bisher nur bei mir und BlackShadow gesehen habe, nämlich dass zwar geordnete Paare hat, aber sowohl zulässt, dass das erste Kind ans Fenster geht, als auch dass das zweite ans Fenster geht. Dann kann aber bei JJ sowohl das "linke" als auch das "rechte" Kind ans Fenster gehen, wodurch man JJ und MM sozusagen zweimal hat. Dann fallen die beiden MM und die JM und MJ, wo man das Mädchen sieht, raus und man bekommt wieder die 1/2.

empgodot schrieb:

Eine dritte Betrachtungsweise gibt es auch noch, die ich bisher nur bei mir und BlackShadow gesehen habe, nämlich dass zwar geordnete Paare hat, aber sowohl zulässt, dass das erste Kind ans Fenster geht, als auch dass das zweite ans Fenster geht. Dann kann aber bei JJ sowohl das "linke" als auch das "rechte" Kind ans Fenster gehen, wodurch man JJ und MM sozusagen zweimal hat. Dann fallen die beiden MM raus und man bekommt wieder die 1/2.

Du meinst Betrachtun gen wie diese, mit der auch schon mehrfach Fehler in der 2/3 Theorie gezeigt wurden?

TGGC schrieb:

dooya schrieb:

In deinem Beispiel ist P(B) = 0.5

Das ist kein Beispiel, sondern die korrekte Lösung.

dooya schrieb:

Bitte spezifiziere B doch mal als Teilmenge aus der Grundgesamtheit {{M,M},{M,J}, {J,M}, {J,J}}, das gleiche bitte auch für A.

Man kann weder A noch B aus dieser "Grundgesamtheit spezifizieren". Denn A und B werden durch "(nicht) am Fenster stehen" definiert, was in deiner "Grundgesamtheit" nicht vorkommt. Diese beachtet ja nicht, wer am Fenster steht, z.b. {M,J} kann man dies nicht eindeutig A zuordnen. Es geht aber so:

{M,M, Kind 1 am Fenster }
{M,M, Kind 2 am Fenster }
{J,M, Kind 1 am Fenster }
{J,M, Kind 2 am Fenster }
{M,J, Kind 1 am Fenster }
{M,J, Kind 2 am Fenster }
{J,J, Kind 1 am Fenster }
{J,J, Kind 2 am Fenster }

P(A)= P( {J,M, Kind 2 am Fenster }, {M,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 2 am Fenster } ) = 0.5

P(B)= P( {J,M, Kind 1 am Fenster }, {M,J, Kind 2 am Fenster }, {J,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 2 am Fenster } ) = 0.5

zur Vollständigkeit
P(A geschnitten = P( {J,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 2 am Fenster } ) = 0.25

Bye, TGGC

Bye, TGGC

empgodot

TGGC|_work schrieb:

]Du meinst Betrachtungen wie diese, mit der auch schon mehrfach Fehler in der 2/3 Theorie gezeigt wurden?

[...]

{M,M, Kind 1 am Fenster }
{M,M, Kind 2 am Fenster }
{J,M, Kind 1 am Fenster }
{J,M, Kind 2 am Fenster }
{M,J, Kind 1 am Fenster }
{M,J, Kind 2 am Fenster }
{J,J, Kind 1 am Fenster }
{J,J, Kind 2 am Fenster }

[...]

Ja, ok, das ist im Prinzip auch diese Betrachtungsweise

TGGC ist halt auch schlau.

dooya

empgodot schrieb:

Irgendwie macht die 2/3-Fraktion immer nen Schritt, den ich nicht nachvollziehen kann.

Von
MM, JM, MJ, JJ
schmeißt ihr MM raus. Das ist soweit ok, aber ihr ordnet außer JJ (was auch ok ist) sowohl JM als auch MJ dem Ereignis "Man sieht einen Jungen am Fenster" zu.

Genauso könnte man JM und MJ auch beide dem Ereignis "Man sieht ein Mädchen am Fenster" zuordnen, wodurch MM, JM und MJ rausfallen. Dann hätte man die (ebenfalls falsche) Wahrscheinlichkeit 0, dass das andere Kind ein Mädchen ist.
[...]

Betrachtet man Geschwisterpaare sind die Mengen "Man sieht einen Jungen am Fenster" und "Man sieht ein Mädchen am Fenster" sind nicht disjunkt.

"Man sieht einen Jungen am Fenster" = JJ, JM, MJ

"Man sieht ein Mädchen am Fenster" = MM, JM, MJ

Die Ereignismengen enthalten jeweils nur die Ereignisse, nach denen ein Kind des jeweiligen Geschlechts überhaupt am Fenster stehen könnte.

Würde man nur ein einzelnes Kind betrachten, wären die Ereignisse "Man sieht einen Jungen am Fenster" und "Man sieht ein Mädchen am Fenster" allerdings disjunkt:

"Man sieht einen Jungen am Fenster" = J

"Man sieht ein Mädchen am Fenster" = M

empgodot schrieb:

[...]

Ich meine, ihr mischt hier eine geordnete Betrachtungsweise, also wo man festlegt, ob das linke oder das rechte Kind das ist, was am Fenster erscheint (MJ fällt dann raus, wenn das linke das ist, was am fenster erscheint), mit der ungeordneten Betrachtungsweise, wo die Reihenfolge keine Rolle spielt, also wo JM=MJ ist, was ihr immer ignoriert.

Nein, die Reihenfolge ist nicht auf das Fenster bezogen. Sie ergibt sich aus der Definition geordneter Paare. (Habe ich sie innerhalb meiner Lösung benutzt? Ich schau gleich mal nach.)

empgodot schrieb:

[...]
Eine dritte Betrachtungsweise gibt es auch noch, die ich bisher nur bei mir und BlackShadow gesehen habe, nämlich dass zwar geordnete Paare hat, aber sowohl zulässt, dass das erste Kind ans Fenster geht, als auch dass das zweite ans Fenster geht. Dann kann aber bei JJ sowohl das "linke" als auch das "rechte" Kind ans Fenster gehen, wodurch man JJ und MM sozusagen zweimal hat. Dann fallen die beiden MM und die JM und MJ, wo man das Mädchen sieht, raus und man bekommt wieder die 1/2.

Meines Wissens kann es bei geordneten Paaren JJ oder MM nicht doppelt geben. JM und MJ hingegen sind unterschiedliche Paare.

@TGGC:
Danke, kann ich mir aber aber erst nachher im Zug richtig ansehen, wird also später werden.

_edit
@TGGC: Könntest du bitte mal versuchen, die Mengen vollständig in mathematischer Notation anzugeben, also eine Notation ohne Alltagssprache zu verwenden ("1.Kind am Fenster"). Oder gib alternativ die Grundmengen an, aus denen man per kartesischem Produkt die Ergebnismenge bilden kann (bspw. für meine Lösung {J} $\times$ {M} = {{MM}, {JM}, {MJ}, {JJ}}). Danke.

empgodot

dooya schrieb:

Die Ereignismengen enthalten jeweils nur die Ereignisse, nach denen ein Kind des jeweiligen Geschlechts überhaupt am Fenster stehen könnte.

Eben. es könnte bei MJ und JM der Junge ans Fenster gehen, aber genauso das Mädchen.
Diese beiden Möglichkeiten sollte man also mit halber Wahrscheinlichkeit bedenken, und zwar mit der Hälfte der Wahrscheinlichkeit, mit der JJ auftritt, hier geht nämlich immer der Junge ans Fenster.

scrub

finix schrieb:

scrub schrieb:

wenn man aber, wie es hier geschieht, einfach aus der aussage "junge steht am fenster" ein "es gibt einen jungen" macht, dann kann man natürlich daraus auf 2/3 kommen, das ist ja zweifelsohne nachvollziehbar.

Man ändert nicht die Originalaussage. Sondern man gewinnt eine Information aus der Originalaussage mit der man etwas anfangen kann!
Dem Ereignis "ein Junge wird am Fenster stehend gesehen" lässt sich keine Wahrscheinlichkeit zuordnen. Allerdings kann man auch nicht aus beiden Aussagen zusammengenommen schließen, wie geschehen, dass sich Jungen immer vordrängeln. Dass der Junge am Fenster steht ist schlicht ein eingetretenes Ereignis, daraus lässt sich in keinster Weise ableiten dass es ein sicheres Ereignis war, höchstens dass es kein unmögliches gewesen sein kann.

scrub schrieb:

an dieser stelle entbrannte eine diskussion darüber, welche annahme wohl sinnvoller sei; ergebnis ist, daß es ein fehler in der aufgabenstellung ist, daß man überhaupt den obigen punkt diskutieren kann- weil das in der aufgabenstelleung eben, je nach sichtweise, nicht klar forumliert wurde.

Welchen Fehler siehst du in der Aufgabenstellung? Sie ist doch durchaus klar beschrieben.

Man könnte höchstens behaupten dass sie unlösbar ist, da man bei der 2/3-Herleitung einfach annimmt dass das Ereignis "der Junge ist am Fenster zu sehen" eingetreten ist.
Andererseits könnte man bei der 1/2-Herleitung dann bemängeln dass man die Information die Nachbarn haben 2 Kinder als gegeben nimmt und ihr keine frei erfundene Wahrscheinlichkeit zuordnet...

ich mache eine vernünftige annahme darüber, mit welcher wahrscheinlichkeit ein kind am fenster steht oder nicht. dasselbe haben wir alle übrigens gemacht, als wir davon ausgingen, die wahrscheinlichkeit für die paare JJ, MM, MJ, JM sei jeweils 0,5 * 0,5.
natürlich kann ich mich jetzt auch auf den standpunkt stellen, daß man ja gar nicht weiß, mit welcher relativen häufigkeit mädchen und jungen vorhanden sind. sodann ist die aufgabe unlösbar, fertig. das kann doch nicht dein ernst sein?

ich wollte im prinzip nix anderes sagen als empgodot.

daher setze ich nochmal an...

aus "ein junge steht am fenster" lassen sich zwei informationen gewinnen:
1. es gibt mindestens einen jungen
2. er steht am fenster

jetzt kann man entweder ganz einfach nachdenken, die todsichere vorgehensweise ist, alle fälle durchzugehen.

ja, und jetzt muß man eben eine annahme machen, mit welcher wahrscheinlichkeit welches geschlecht am fenster steht.

nehmen wir an, mädchen und junge stehen gleichwahrscheinlich am fenster, gelangt man zum ergebmis 1/2.

zum ergebnis 2/3 kommt man aber nur, wenn bei MJ und JM immer der junge am fenster steht.

jetzt muß man mit nur noch erklären, warum die letztere annahme plausibler ist.

finix

scrub schrieb:

finix schrieb:

scrub schrieb:

wenn man aber, wie es hier geschieht, einfach aus der aussage "junge steht am fenster" ein "es gibt einen jungen" macht, dann kann man natürlich daraus auf 2/3 kommen, das ist ja zweifelsohne nachvollziehbar.

Man ändert nicht die Originalaussage. Sondern man gewinnt eine Information aus der Originalaussage mit der man etwas anfangen kann!
Dem Ereignis "ein Junge wird am Fenster stehend gesehen" lässt sich keine Wahrscheinlichkeit zuordnen. Allerdings kann man auch nicht aus beiden Aussagen zusammengenommen schließen, wie geschehen, dass sich Jungen immer vordrängeln. Dass der Junge am Fenster steht ist schlicht ein eingetretenes Ereignis, daraus lässt sich in keinster Weise ableiten dass es ein sicheres Ereignis war, höchstens dass es kein unmögliches gewesen sein kann.

scrub schrieb:

an dieser stelle entbrannte eine diskussion darüber, welche annahme wohl sinnvoller sei; ergebnis ist, daß es ein fehler in der aufgabenstellung ist, daß man überhaupt den obigen punkt diskutieren kann- weil das in der aufgabenstelleung eben, je nach sichtweise, nicht klar forumliert wurde.

Welchen Fehler siehst du in der Aufgabenstellung? Sie ist doch durchaus klar beschrieben.

Man könnte höchstens behaupten dass sie unlösbar ist, da man bei der 2/3-Herleitung einfach annimmt dass das Ereignis "der Junge ist am Fenster zu sehen" eingetreten ist.
Andererseits könnte man bei der 1/2-Herleitung dann bemängeln dass man die Information die Nachbarn haben 2 Kinder als gegeben nimmt und ihr keine frei erfundene Wahrscheinlichkeit zuordnet...

ich mache eine vernünftige annahme darüber, mit welcher wahrscheinlichkeit ein kind am fenster steht oder nicht.

Du machst eine vernünftige Annahme darüber, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Kind am Fenster steht oder nicht. Sicher? Auf welcher Basis bist du zu dieser Annahme gekommen? Ich kann einsehen dass, ohne weitere Informationen zu kennen, der Junge nicht wahrscheinlicher als seine potentielle Schwester am Fenster. Warum jedoch sollte ich annehmen, wiederum ohne weitere Informationen zu kennen, dass der Junge genau so wahrscheinlich wie jemand anderes am Fenster stehen würde?

scrub schrieb:

dasselbe haben wir alle übrigens gemacht, als wir davon ausgingen, die wahrscheinlichkeit für die paare JJ, MM, MJ, JM sei jeweils 0,5 * 0,5. natürlich kann ich mich jetzt auch auf den standpunkt stellen, daß man ja gar nicht weiß, mit welcher relativen häufigkeit mädchen und jungen vorhanden sind. sodann ist die aufgabe unlösbar, fertig. das kann doch nicht dein ernst sein?

Das scheint mir eine vernünftige Abschätzung der Wahrscheinlichkeit. Sie wird evtl. nicht ganz stimmen aber sie kommt wohl ungefähr hin. Gäbe es erfahrungsgemäß doppelt so viele Jungen wie Mädchen (oder auch umgekehrt) wäre die Wahrscheinlichkeit von 0,5 wiederum nicht vertretbar.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dass bei einem Münzwurf Kopf kommt? 50%? Und die restlichen 50% dass Zahl kommt? Falsch! Daraus müsste man zum Schluss kommen dass die Landung auf der Kante ein unmögliches Ereignis wäre. Denken wir uns also die Kante weg. Aber sind beide Seiten der Münze genau gleich? Natürlich nicht! Spielt es keine Rolle wie die Münze geworfen wird? Natürlich!
Ist es sinnvoll anzunehmen die Chance sei 50/50?
Klar.

scrub schrieb:

aus "ein junge steht am fenster" lassen sich zwei informationen gewinnen:
1. es gibt mindestens einen jungen
2. er steht am fenster

jetzt kann man entweder ganz einfach nachdenken, die todsichere vorgehensweise ist, alle fälle durchzugehen.

ja, und jetzt muß man eben eine annahme machen, mit welcher wahrscheinlichkeit welches geschlecht am fenster steht.

nehmen wir an, mädchen und junge stehen gleichwahrscheinlich am fenster, gelangt man zum ergebmis 1/2.

zum ergebnis 2/3 kommt man aber nur, wenn bei MJ und JM immer der junge am fenster steht.

jetzt muß man mit nur noch erklären, warum die letztere annahme plausibler ist.

Die "letztere Annahme" ist eine Erfindung der 1/2-Fraktion.
Schließt ihr aus der Eingangsformulierung "eine Familie mit zwei Kindern" dass die 2 Kinder ein sicheres Ereignis waren?
Ich für meinen Teil nehme an dass der Junge am Fenster stehend gesehen wurde.
Daraus schließe ich allein dass die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses größer 0% war; alles darüber hinaus ist pure Spekulation, jegliche Annahme reine Willkür.

dooya

Hallo TGGC,
es hat zwar etwas länger gedauert, aber ich habe deine Lösung als auch die Darstellung der entsprechenden Mengen nochmal gelesen und nun doch noch einige Fragen.

Alle Fragen beziehen sich entweder auf diese Version deiner Lösung:

TGGC schrieb:

Aufgabe: Eine Familie hat zwei Kinder. Eines der Kinder steht am Fenster. Dieses Kind ist ein Junge. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind ein Mädchen ist?

Wir wollen den beobachteten Zustand "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge" B nennen. Alle unsere Betrachtungen müssen also unter der Voraussetzung das B eintritt, gemacht werden, kurz "wenn B". Wir wollen das Kind, welches nicht am Fenster steht "anderes Kind" nennen.

Wir stellen fest:
P( "anderes Kind ist ein Mädchen" wenn B ) + P( "anderes Kind ist ein Junge" wenn B ) = 1
P( "anderes Kind ist ein Mädchen" wenn B ) = 1 - P( "anderes Kind ist ein Junge" wenn B )

Die gilt, weil sich die Junge/Mädchen ausschliest, aber auch keine dritte Möglichkeit existiert. Daher muss die Summe 1 beider Wahrscheinlichkeiten sein.

Wie gross ist nun die Wahrscheinlichkeit für "anderes Kind ist ein Junge" unter der Bedingung "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge"? Also A= "anderes Kind ist ein Junge" und B= "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge", kurz geschrieben: gesucht wird P(A|B).

P( "anderes Kind ist ein Junge" wenn B )= P(A|B)= P( A geschnitten B ) / P( B )

Zunächst zu P(B):
Wenn ein Kind am Fenster steht, so ist sein Geschlecht mit einer Chance von 50% männlich, da am Fenster stehen und das Geschlecht unabhängig sind und wir eine Geschlechterverteilung von 1:1 annehmen. Daher gilt P( B )= 0.5.

Kommen wir zu P( A geschnitten B ):
Die Wahrscheinlichkeit das "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge" und "anderes Kind ist ein Junge" ist auch recht einfach zu erkennen! Dies kann nur gelten wenn die Familie zwei Jungen hat. Die Wahrscheinlichkeit, das als erstes Kind ein Junge geboren wird, ist 0.5. Für das zweite Kind ebenso. Da die Geburten unabhängig voneinander sind, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, das beides eintritt, durch Multiplikation. Also P( A geschnitten = 0.5 * 0.5 = 0.25

Damit ergibt sich:

P( anderes Kind ist ein Junge wenn B )= P(A|B) = 0.25 / 0.5
P( anderes Kind ist ein Junge wenn B )= P(A|B) = 0.5

und

P( anderes Kind ist ein Mädchen wenn B ) = 1 - 0.5
P( anderes Kind ist ein Mädchen wenn B ) = 0.5

[rev. 5]

oder diese Version der Mengendarstellung:

TGGC schrieb:

Man kann weder A noch B aus dieser "Grundgesamtheit spezifizieren". Denn A und B werden durch "(nicht) am Fenster stehen" definiert, was in deiner "Grundgesamtheit" nicht vorkommt. Diese beachtet ja nicht, wer am Fenster steht, z.b. {M,J} kann man dies nicht eindeutig A zuordnen. Es geht aber so:

{M,M, Kind 1 am Fenster }
{M,M, Kind 2 am Fenster }
{J,M, Kind 1 am Fenster }
{J,M, Kind 2 am Fenster }
{M,J, Kind 1 am Fenster }
{M,J, Kind 2 am Fenster }
{J,J, Kind 1 am Fenster }
{J,J, Kind 2 am Fenster }

P(A)= P( {J,M, Kind 2 am Fenster }, {M,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 2 am Fenster } ) = 0.5

P(B)= P( {J,M, Kind 1 am Fenster }, {M,J, Kind 2 am Fenster }, {J,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 2 am Fenster } ) = 0.5

zur Vollständigkeit
P(A geschnitten = P( {J,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 2 am Fenster } ) = 0.25

Bevor ich mit den Fragen beginne, nur noch ein kleiner Hinweis: Die Mengendarstellung stimmt nicht mit der Herleitung von $A \cap B$ in deiner Lösung überein. Aber die von dir errechneten Wahrscheinlichkeiten sind in beiden Fällen gleich, man muss also nur beides aufeinander abstimmen.

Der Übersichtlichkeit halber habe ich die Fragen durchnummeriert und trenne sie durch Doppelstriche voneinander. Am Ende jedes Abschnitts versuche ich jedesmal meine Frage noch einmal in einem Satz zusammenzufassen (jeweils im Fettdruck gesetzt).

Nun die Fragen:
===============================================================

(1) Innerhalb deiner Lösung (Textversion) schreibst du:

TGGC schrieb:

Wir wollen das Kind, welches nicht am Fenster steht "anderes Kind" nennen.

Wo steht innerhalb der Aufgabenstellung, dass das andere Kind nicht am Fenster steht?

In der Aufgabenstellung steht lediglich:

Stammtischler schrieb:

Nun sieht man am Fenster einen Jungen stehen

Es steht nicht dort, dass genau ein Junge am Fenster steht. Insbesondere steht dort nicht, dass genau ein Kind am Fenster steht.

Aus welcher Aussage kannst du also ableiten, dass ein "Kind, welches nicht am Fenster steht" existiert?

Zur Bedeutung dieser Frage siehe auch (3).

===============================================================

(2) Innerhalb deiner Lösung (Textversion) schreibst du:

TGGC schrieb:

[...] da am Fenster stehen und das Geschlecht unabhängig sind[...]

Aus welcher Aussage kannst du ableiten, dass "am Fenster stehen und das Geschlecht unabhängig sind"? In der Aufgabe wird diese Information m.E. nicht erwähnt.

Nun könnte man auch ohne Informationen eine Vermutung über den Zusammenhang zwischen "am Fenster stehen" und "Geschlecht" anstellen. Sollte man dann aber nicht von stochastischer Abhängigkeit ausgehen, weil das die schwächere Annahme ist?

Alternativ könnte man natürlich auch aufgrund von Erfahrung oder systematischer empirischer Forschung auf den Zusammenhang zwischen diesen Variablen schließen und ich vermute mal, dass du dies hier getan hast. Allerdings sollte man auch versuchen seine Entscheidung zu begründen oder belegen. Vielleicht kannst du dies ja nachholen.

Wie kannst du also begründen, dass deiner Meinung nach "am Fenster stehen und das Geschlecht unabhängig sind"?

(Ich persönlich würde eher vermuten, dass "Geschlecht" und am "Fenster stehen" nicht unabhängig sind, aber das tut zunächst nichts zur Sache. Bei Bedarf kann ich meine Gedanken hierzu aber gern nachliefern.)

===============================================================

(3) Innerhalb der Mengendarstellung schreibst du:

TGGC schrieb:

{M,M, Kind 1 am Fenster }
{M,M, Kind 2 am Fenster }
{J,M, Kind 1 am Fenster }
{J,M, Kind 2 am Fenster }
{M,J, Kind 1 am Fenster }
{M,J, Kind 2 am Fenster }
{J,J, Kind 1 am Fenster }
{J,J, Kind 2 am Fenster }

Die die Aufstellung der Ergebnismenge sieht für mich so aus, als könne immer nur ein Kind am Fenster stehen. Wie schon unter (1) nachgefragt, ist für mich nicht klar, aus welcher Aussage du dies folgerst. Würde die Variable "welches Kind am Fenster" aber um das 3. Ereignis "beide Kinder am Fenster" erweitert, würde sich die Ergebnismenge ändern.

Woraus kannst du ableiten, dass die Variable "Kind am Fenster" nur die beiden Ausprägungen "Kind 1" und "Kind 2" haben kann?

**
===============================================================**

(4) Innerhalb der Mengendarstellung schreibst du:

TGGC schrieb:

P(A)= P( {J,M, Kind 2 am Fenster }, {M,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 2 am Fenster } ) = 0.5

P(B)= P( {J,M, Kind 1 am Fenster }, {M,J, Kind 2 am Fenster }, {J,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 2 am Fenster } ) = 0.5

zur Vollständigkeit
P(A geschnitten = P( {J,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 2 am Fenster } ) = 0.25

Da du nicht erwähnst, wie du die Wahrscheinlichkeiten von A, B und $A \cap B$ errechnet hast, vermute ich mal, dass du sie durch Abzählen festgestellt hast. Allerdings ist diese Vorgehensweise nur in Laplace-Räumen möglich. Es fehlt aber eine Begründung oder Herleitung, für die Annahme, dass die Ergebnismenge ein Laplace-Raum ist.

Natürlich bieten Erfahrungswissen, empirische Forschung und eine gewisse gebräuchliche Handhabung z.T. recht starke Anhaltspunkte. Beispielsweise ist es allgemein üblich für die Variable P("M")=P("J") = 0.5 als gute Näherung zu benutzen. Insbesondere gibt es für diese Annahme eine vergleichsweise starke empirische Evidenz. Ebenso stark verbreitet ist die Annahme, dass das kartesische Produkt Geschlecht $\times$ Geschlecht = $\{J,M\} \times \{J,M\} = \{\{J,J\}\{J,M\}\{M,J\}\{M,M\}\}$ ein Laplace-Raum ist und auch hier ist die empirische Evidenz vergleichsweise gut. Auch folgt aus diesen Beobachtungen, dass das Geschlecht von Geschwistern unabhängig ist.

Nun führst du aber die Variable "Kind am Fenster" mit den Ausprägungen "Kind 1" und "Kind 2" ein und scheinst vorauszusetzen, dass P("Kind 1") = P("Kind 2") = 0.5 ist, denn sonst könntest du die Ergebnismenge nicht als Laplace betrachten und daher P(A) nicht durch Auszählen feststellen.

Es fehlt jegliche Begründung für diese Setzung. Im Laufe der Diskussion fragte dich finix jedoch in einem anderen Fall, warum du von gleichwahrscheinlichen Ereignissen ausgehst und ich vermute deine damalige Antwort würdest du auch in diesem Fall wiederholen:

TGGC schrieb:

Das ist so gängige Praxis. Nennt sich "Laplace Regel" oder "Regel des unzureichenden Grundes".
Quelle: http://www.c-plusplus.net/forum/viewtopic-var-p-is-838220.html#838220

Mir ist die "Regel des unzureichenden Grundes" bislang nur innerhalb der (wirtschaftwissenschaftlichen) Entscheidungstheorie begegnet, nicht jedoch innerhalb einer Stochastik-Aufgabe. Kannst du ggf. mit Quellen eine solche Verwendung dieser Regel in diesem Kontext angeben, damit man deine Vorgehensweise nachvollziehen kann.

Im Übrigen scheint es neben der Laplace-Regel noch eine ganze Reihe anderer Entscheidungsheuristiken geben, die zu anderen Entscheidungen führen, aber gleichberechtigt neben der Laplace-Regel zu stehen scheinen (z.B. MaxiMin, MaxiMax, Regel des kleinsten Bedauerns). Insbesondere ist für mich nicht ersichtlich, ob "Regel des unzureichenden Grundes" gebräuchlicher ist als eine der anderen Regeln.

Mein wesentlicher Einwand daher jedoch, dass es für die Anwendung der Laplace-Regel keinerlei Grund gibt, man kann es tun oder lassen oder auch eine beliebige andere Regel anwenden. Die solange es keine empirischen Daten zur Verteilung der Variable "Kind am Fenster" gibt, ist die Festsetzung P("Kind 1") = P("Kind 2") = 0.5 genauso gut oder schlecht wie jede andere (z.B. P("Kind 1") = 0.3, P("Kind 2") = 0.7). In diesem Fall wäre deine Ergebnismenge jedoch kein Laplace-Raum mehr und ich vermute, dass dies auch negative Auswirkungen auf deinen Lösungsweg (Textversion) hat.

Warum gilt für die Variable "Kind am Fenster" mit den Ausprägungen "Kind 1" und "Kind 2", dass P("Kind 1") = P("Kind 2") = 0.5?

===============================================================

_edit
Quote repariert und ein Fragezeichen ergänzt.

TGGC

zu 1./3.
Dann ersetzen wir halt "Kind, dass nicht am Fenster" steht durch "Kind, welches nicht gesehen wurde", wenn man solche Spitzfindigkeiten auch noch beachten will.

zu 2./4. Die Regel des unzureichenden Grundes ist Basis der Wachrscheinlichkeitsrechung, die ihr ja übrigens auch benutzt. Aber bitte rechne doch nach mit 1 - P("Kind 1") = P("Kind 2") und x= P("Kind 1"). Das Ergebnis ändert sich nicht.

Bye, TGGC

dooya

TGGC schrieb:

zu 1./3.
Dann ersetzen wir halt "Kind, dass nicht am Fenster" steht durch "Kind, welches nicht gesehen wurde", wenn man solche Spitzfindigkeiten auch noch beachten will.

Das verändert das Problem nicht, da in der Aufgabe nicht steht, dass das zweite Kind nicht gesehen wurde. Dort steht nur "Ein Junge steht am Fenster". Es können also auch beide Kinder am Fenster gestanden haben. Hierdurch verändert sich die Ergebnismenge.

TGGC schrieb:

zu 2./4. Die Regel des unzureichenden Grundes ist Basis der Wachrscheinlichkeitsrechung, [...]

_edit siehe nächsten Beitrag

TGGC schrieb:

zu 2./4. [...] die ihr ja übrigens auch benutzt. [...]

Ich habe die "Regel des unzureichenden Grundes" m.W. nicht benutzt. Die (übliche) Annahme der Gleichverteilung von Jungen und Mädchen basiert auf empirischen Daten.

TGGC schrieb:

[...] Aber bitte rechne doch nach mit 1 - P("Kind 1") = P("Kind 2") und x= P("Kind 1"). Das Ergebnis ändert sich nicht.

Bye, TGGC

Sobald P("Kind 1") $\neq$ P("Kind 2") gilt ist der von dir angegebene Ergebnisraum kein Laplace-Raum mehr, du darfst also die Wahrscheinlichkeiten nicht mehr durch auszählen bestimmen. Auch u.U. könnte auch deine Unabhängikeitsvermutung durch eine solche Konstellation verletzt sein.

TGGC schrieb:

zu 2./4.

Eine Antwort zu Frage (2) kann ich hier nicht entdecken. Kannst du aus der "Regel des des unzureichenden Grundes" auch Aussagen über die Unabhängigkeit von Variablen ableiten?

Kannst du bitte noch die mathematische Notation für deinen Ergebnisraum nachliefern?

dooya

TGGC schrieb:

[...]
zu 2./4. Die Regel des unzureichenden Grundes ist Basis der Wachrscheinlichkeitsrechung, [...]

Bist du sicher, dass man dieses Prinzip tatsächlich als Basis der Wahrscheinlichkeitsrechnung bezeichnen kann?

Im Übrigen ist es nicht unumstritten:

Principle of Insufficient Reason

A principle that was first enunciated by Jakob Bernoulli which states that if we are ignorant of the ways an event can occur (and therefore have no reason to believe that one way will occur preferentially compared to another), the event will occur equally likely in any way.

Keynes (1921, pp. 52-53) referred to the principle as the principle of indifference, formulating it as "if there is no known reason for predicating of our subject one rather than another of several alternatives, then relatively to such knowledge the assertions of each of these alternatives have an equal probability." Keynes strenuously opposed the principle and devoted an entire chapter of his book in an attempt to refute it.

The principle was also considered by Poincaré (1912). Quelle: http://mathworld.wolfram.com/PrincipleofInsufficientReason.html

Für weitere Betrachtungen zur Gültigkeit dieser Regel siehe auch http://en.wikipedia.org/wiki/Principle_of_indifference#History.

Insbesondere ist mir unklar, wie man einen Beweis bzw. eine Aufgabenlösung aus diesem Prinzip ableiten kann, da aus ihr nicht hervorgeht, dass die Annahme einer Gleichverteilung "richtiger" als die Annahme einer beliebigen anderen.

Ein anderer Fall liegt vor, wenn du bspw. im Rahmen einer Bayesianischen Parameterschätzung eine geeignete a priori Verteilung auswählen möchtest, denn hier kann das "Principle of Insufficient Reason" Anwendung finden. Allerdings wird mit zunehmender Datenmenge die Wahl der a priori Verteilung irrelevant für das Ergebnis.
Hervorzuheben ist hierbei, dass es sich bei diesem Verfahren nicht um einen Beweis oder eine Aufgabenlösung handelt, sondern um ein Datenanalyseverfahren.

finix

TGGC schrieb:

zu 1./3.
Dann ersetzen wir halt "Kind, dass nicht am Fenster" steht durch "Kind, welches nicht gesehen wurde", wenn man solche Spitzfindigkeiten auch noch beachten will.

zu 2./4. Die Regel des unzureichenden Grundes ist Basis der Wachrscheinlichkeitsrechung, die ihr ja übrigens auch benutzt. Aber bitte rechne doch nach mit 1 - P("Kind 1") = P("Kind 2") und x= P("Kind 1"). Das Ergebnis ändert sich nicht.

Deine Aussage "Die Regel des unzureichenden Grundes ist Basis der Wachrscheinlichkeitsrechung, die ihr ja übrigens auch benutzt" ist schlicht und einfach falsch, und es müsste dir seit einigen Seiten bekannt sein dass dies der Fall ist. Soviel Lesekompetenz traue ich dir durchaus zu.

TGGC

gähn.

Bye, TGGC

finix

TGGC schrieb:

gähn.

Dachte ich mir.
Bye.

dooya

TGGC schrieb:

gähn.

Bye, TGGC

Schade. Ich hatte zumindest gehofft, dass du die mathematische Notation deiner Ergebnismenge noch nachlieferst; sollte doch eigentlich kein Problem sein, oder?

Ausserdem hätte ich auch noch gern nochmal über diese Aussage diskutiert:

TGGC schrieb:

Ausserdem gings in letzter Zeit nur noch darum, das man nicht einfach mit dem Schluss weiterrechnen kann, sondern Äquivalenz nötig ist.

Bye, TGGC

Siehe hier: http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs7/seite5.html

TGGC

Kapierts doch einfach. Ihr liegt falsch. Nur Weil A => B gilt lang nicht P(A) == P(B).

Bye, TGGC

dooya

Kann es sein, dass du nur auf Fragen antwortest, die dir in den Kram passen? Insbesondere sind noch eine Reihe Fragen zu deiner Lösung offen, aber trotzdem klammerst du dich einzig an die Möglichkeit unsere Lösung als inkorrekt zu überführen. Selbst wenn dir das gelingen sollte, folgt daraus nicht automatisch, dass deine Lösung korrekt ist.
Insofern wäre es schon nett, wenn du die eine oder andere Frage noch beantworten könntest.

Zu deinem letzten Beitrag:

TGGC schrieb:

Kapierts doch einfach. Ihr liegt falsch. Nur Weil A => B gilt lang nicht P(A) == P(B).
Bye, TGGC

Mmhh, mal schauen ob ich's verstanden habe. Wenn ich also aus
den 3 Aussagen:

(1) "Wenn ein Kind am Fenster steht, so ist sein Geschlecht mit einer Chance von 50% männlich"
(2) "am Fenster stehen und das Geschlecht unabhängig sind "
und
(3) "wir eine Geschlechterverteilung von 1:1 annehmen"

schließen würde:
(4) "Daher gilt P( B )= 0.5.",

dürfte ich diesen Schluss nicht benutzen, weil zwar $(1) \wedge (2) \wedge (3) \Rightarrow (4)$ gilt aber nicht $(4) \Rightarrow (1) \wedge (2) \wedge (3)$ , weil ich aus der Tatsache, dass "P( B )= 0.5" ist wohl kaum auf die zuvor genannten Eigenschaften zurückschließen könnte. Eine Lösung die diesen Schluss benutzt, wäre also falsch, weil keine Äquvalenz gilt?

(Darüber hinaus ist dieser von dir benutzte Schluss möglicherweise falsch, doch dazu später.)

Um sicher zu gehen, noch ein zweites Beispiel. Stellen wir uns vor, ich schließe aus
(1) "Die Wahrscheinlichkeit, das als erstes Kind ein Junge geboren wird, ist 0.5. Für das zweite Kind ebenso."
und
(2) "Da die Geburten unabhängig voneinander sind,"

dass gilt (3) "ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, das beides eintritt, durch Multiplikation. Also P( A geschnitten = 0.5 * 0.5 = 0.25" .

Obwohl gilt $(1) \wedge (2) \Rightarrow (3)$ darf ich diesen Schluss nicht benutzen, weil nicht gilt $(3) \Rightarrow (1) \wedge (2)$ , denn für (3) kennst du ja $P(A \cap$ nicht, wenn du diesen Schluss nicht benutzt hast. (Du durftest $P(A \cap$ nur per Multiplikation berechnen, weil du o.g. Schluss benutzt hast. Ohne ihn kennst du $P(A \cap$ nicht. Aber davon abgesehen, selbst wenn du $P(A \cap$ kennen würdest, dürftest du daraus nicht auf die Gleichwahrscheinlichkeit des Geschlechts und die Unabhängigkeit zwischen den Geburten schließen.)
Deiner Meinung nach wäre also jede Lösung die diesen Schluss benutzt falsch, weil keine Äquivalenz gilt?

Bist du da wirklich sicher? Denn andererseits ist es mir schon recht häufig begegnet, dass aus Eigenschaften, die für eine Menge A gelten, geschlossen wurde, dass diese auch für alle Mengen $B \subseteq A$ gelten, obwohl es sich hier nicht um einen Äquvalenzrelation handelt. Insbesondere wird dabei nicht gefordert, dass P(A) = P(B).

Aber vielleicht kannst du mir ja nochmal erklären, wozu es Implikationen gibt, wenn ich sie nirgends verwenden darf.

Nun noch einige Fragen zu deiner Lösung.

TGGC schrieb:

Zunächst zu P(B):
Wenn ein Kind am Fenster steht, so ist sein Geschlecht mit einer Chance von 50% männlich, da am Fenster stehen und das Geschlecht unabhängig sind und wir eine Geschlechterverteilung von 1:1 annehmen. Daher gilt P( B )= 0.5.

Zunächst hast du immer noch nicht erklärt, woher du weisst, dass "am Fenster stehen und das Geschlecht unabhängig sind". Das steht nicht in der Aufgabe und ist insbesondere auch nicht aus der Alltagserfahrung abzuleiten (vielmehr spricht letztere dafür, dass Geschlecht und "am Fenster stehen" nicht unabhängig sind).

Aber nehmen wir doch mal an, dass diese Annahme tatsächlich stimmt. Du berechnest hier die Wahrscheinlichkeit:
B= "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge". Ich folge dir in den Annahmen, dass die Variable Geschlecht die Ausprägungen {M, J} hat und P(M) = P(J) = 0.5 ist. Nun erwähnst du zwar die Variable "am Fenster stehen", nennst aber weder die möglichen Ausprägungen, noch deren Wahrscheinlichkeit. Nun, eine Möglichkeit wäre: entweder man steht am Fenster ("F"), oder man steht nicht am Fenster (" $\neg$ F") = {F, $\neg$ F}. Ohne die Wahrscheinlichkeiten P(F) und P( $\neg$ F) zu kennen, können wir davon ausgehen, dass P(F) + P( $\neg$ F)=1, weil es sich um komplementäre Ereignisse handelt. (Im Gegensatz zu deiner Mengendarstellung, in der du "Kind 1 am Fenster" und "Kind 2 am Fenster" als Komplementärereignisse verkaufst, obwohl davon nichts in der Aufgabe steht.)

Du suchst die Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge am Fenster steht, musst also das Kreuzprodukt

$\{M, J\} \times \{F, \neg F\} = \{\{M, F\}, \{M, \neg F\}, \{J, F\}, \{J, \neg F\}\}$

bilden. (die Ereignisse in Alltagssprache: {"Kind ist ein Mädchen und steht am Fenster", "Kind ist ein Mädchen und steht nicht am Fenster", "Kind ist ein Junge und steht am Fenster", "Kind ist ein Junge und steht nicht am Fenster"}). Insbesondere dürfte gelten:

$P(\{M, F\}) + P(\{M, \neg F\}) + P(\{J, F\}) + P(\{J, \neg F\}) = 1$

Nun hast du berechnet, dass P(B) = P("Junge am Fenster") = P( $\{J, F\}$ ) = 0.5.

Kannst du kurz erklären, warum $P(\{J, F\}) = P(\{M, F\}) + P(\{M, \neg F\}) + P(\{J, \neg F\} = 0.5$ ? Wegen der Annahme von Unabhängigkeit zwischen Geschlecht und "am Fenster stehen" dürfte aus diesem Ergebnis folgen

P( $P(\{J, F\}) = P(J) * P(F) \Leftrightarrow 0.5 = 0.5 * P(F) \Leftrightarrow P(F) = 1 \Leftrightarrow P(\neg F) = 0$

was dazu führt, dass

$P(\{M, F\}) = P(M) * P(F) = 0.5 * 1 = 0.5$ und $P(\{M, \neg F\}) = P(\{J, \neg F\} = 0$

In Alltagssprache heisst dass, dass Jungen als auch Mädchen nur am Fenster stehen - den ganzen Tag und die ganze Nacht!

Davon abgesehen ist der Raum
$\{M, J\} \times \{F, \neg F\} = \{\{M, F\}, \{M, \neg F\}, \{J, F\}, \{J, \neg F\}\}$ dann auch kein Laplace-Raum und damit dürfte die Ergebnismenge für deine Lösung auch keiner sein. Denn von hieraus ist deine Ergebnismenge recht einfach zu konstruieren: die Familie hat 2 Kinder, die beide am Fenster stehen können oder auch nicht, also die Menge:

$\left(\{M, J\} \times \{F, \neg F\}\right) \times ( \{M, J\} \times \{F, \neg F\})$ .

Diese Menge besteht aus 16 4-Tupeln und dürfte wegen der oben errechneten Wahrscheinlichkeit P(F) = 1 nicht Laplace sein; man kann also die Aufgabe nicht mehr durch Auszählen lösen.

Übrigens halte ich es für absolut realistisch, dass $P(F) \neq p(\neg F)$ , nur dürften die Wahrscheinlichkeiten eher genau andersrum als von TGGC "hergeleitet", denn P(F) dürfte im Vergleich zu P( $\neg$ F) sehr (!) klein sein - wie oft am Tag steht man schon am Fenster. Hinzu kommen mehrere Stunden Schlaf, an denen wir auch nicht am Fenster stehen (hoffe ich mal :D). Insofern ist die Annahme einer Gleichverteilung von "am Fenster stehen" und "nicht am Fenster stehen" eher unrealistisch und wäre wohl auch nicht durch die "Regel vom unzureichenden Grund" zu rechtfertigen. Aber ohne diese Gleichverteilung ist der Lösungsweg von TGGC weder durch Auszählen bestimmbar, noch berechenbar.

_edit
Typos.
~edit 2~
More typos.

dooya

Na TGGC, was ist? Argumente nicht neu genug oder aufgegeben?

scrub

dooya schrieb:

B= "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge". Ich folge dir in den Annahmen, dass die Variable Geschlecht die Ausprägungen {M, J} hat und P(M) = P(J) = 0.5 ist. Nun erwähnst du zwar die Variable "am Fenster stehen", nennst aber weder die möglichen Ausprägungen, noch deren Wahrscheinlichkeit.

wenn du mal einen moment deinen mathematischen irrwald beseite ließest, fiele dir auf, daß TGGC genau wie ich die annahme macht, daß beide geschlechter gleichwahrscheinlich am fenster stehen. jetzt brauchst du nur noch alle möglichen geschwisterkombinationen durchzugehen, es kommt 1/2 raus. ich kanns dir auch gerne nochmal vorführen:

JM: 1/2 junge, 1/2 mädchen
MJ: 1/2 junge, 1/2 mädchen
JJ: 1 junge

macht zusammen 1 mädchen und zwei jungen, die durchschnittlich am fenster stehen.
jetzt siehst du: am fenster steht ein junge.
also sehen wir uns die zwei jungen an und merken: aha, 1 junge entfällt auf die kombination JJ, der andere auf ide kombinationen JM und MJ.

dooya

scrub schrieb:

dooya schrieb:

B= "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge". Ich folge dir in den Annahmen, dass die Variable Geschlecht die Ausprägungen {M, J} hat und P(M) = P(J) = 0.5 ist. Nun erwähnst du zwar die Variable "am Fenster stehen", nennst aber weder die möglichen Ausprägungen, noch deren Wahrscheinlichkeit.

wenn du mal einen moment deinen mathematischen irrwald beseite ließest, fiele dir auf, daß TGGC genau wie ich die annahme macht, daß beide geschlechter gleichwahrscheinlich am fenster stehen. [...]

Habe ich das irgendwo beweifelt? Natürlich macht TGGC diese Annahme und in meinem letzten Beitrag habe ich u.a. versucht zu erläutern, warum ich der Meinung bin dass diese Annahme (1) unzulässig hergeleitet und (2) unplausibel ist. Aber selbst wenn man in diesem Punkt nicht so konservativ wäre und diese Annahme gelten liesse -und auch das habe ich schon in meinem letzten Beitrag versucht zu demonstieren- gibt es noch wesentliche Punkte in TGGCs Lösung die unplausibel oder inkorrekt erscheinen.

Aber wo du gerade dabei bist, erkläre doch mal kurz, woraus du ableiten kannst, dass:

daß beide geschlechter gleichwahrscheinlich am fenster stehen.

Steht das irgendwo in der Aufgabe?

scrub schrieb:

dooya schrieb:

B= "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge". Ich folge dir in den Annahmen, dass die Variable Geschlecht die Ausprägungen {M, J} hat und P(M) = P(J) = 0.5 ist. Nun erwähnst du zwar die Variable "am Fenster stehen", nennst aber weder die möglichen Ausprägungen, noch deren Wahrscheinlichkeit.

wenn du mal einen moment deinen mathematischen irrwald beseite ließest, fiele dir auf, daß TGGC genau wie ich die annahme macht, daß beide geschlechter gleichwahrscheinlich am fenster stehen. jetzt brauchst du nur noch alle möglichen geschwisterkombinationen durchzugehen, es kommt 1/2 raus. ich kanns dir auch gerne nochmal vorführen:

JM: 1/2 junge, 1/2 mädchen
MJ: 1/2 junge, 1/2 mädchen
JJ: 1 junge

macht zusammen 1 mädchen und zwei jungen, die durchschnittlich am fenster stehen.
jetzt siehst du: am fenster steht ein junge.
also sehen wir uns die zwei jungen an und merken: aha, 1 junge entfällt auf die kombination JJ, der andere auf ide kombinationen JM und MJ.

Ach so, jetzt versteh ich das: Wenn eine Familie 2 Kinder hat, sehe ich sofort: das

macht zusammen 1 mädchen und zwei jungen, die durchschnittlich am fenster stehen.

Du hast Recht, das kann ja nichts werden mit meinem mathematischen Irrwald. Nie wäre ich damit darauf gekommen, dass wenn ich sehe:

am fenster steht ein junge

mir nur sagen müsste

sehen wir uns die zwei jungen an

und dann sofort auf die Lösung käme.

Werd's mir merken und in Zukunft auf den mathematischen Irrwald verzichten, insbesondere wenn es um mathematische Rätsel in einem Forum mit dem Namen "Mathematik" geht.

(Diese ironische Betrachtungsweise ist nicht als persönlicher Angriff intendiert; sie soll nur aufzeigen, welchen "Irrwald" man auch in deinem Beitrag finden kann, wenn man den möchte. Solltest du Fehler in meinen mathematischen Ausführungen gefunden haben, würde ich mich über einen entsprechenden Hinweis freuen - sie aber pauschal als "mathematischen Irrwald" abzutun empfinde ich als wenig konstruktiv und unangemessen.)

Nein, mal im Ernst, es ist mir schon klar, dass du für deine Lösung eine Mengendarstellung herleiten kannst. TGGC hat dies jedoch in der Textversion seiner Lösung versäumt und dadurch gelingen ihm einige "Rechnereien" die nicht zwingend richtig sind. Die Mengendarstellung die TGGC angeboten hat stimmt jedoch mit der Textversion seiner Lösung nicht überein, ist also zum besseren Verständnis der Textversion nicht zu gebrauchen. Übrigens stimmt TGGCs Mengendarstellung -abgesehen von den letztlich resultierenden Wahrscheinlichkeiten- nicht mit deiner überein.