Rätsel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung

dooya

Plotter schrieb:

Ist doch wirklich unglaublich, dass man über 50 Seiten über so ein triviales Problem reden kann.
Völlig unvoreingenommen stehen die Chancen bei 2 Kindern wie folgt:

Ein Mädchen und ein Junge -> 50%
Zwei Mädchen oder zwei Jungen je 25%

Sieht man nun einen der Jungen, dann entfällt die Chance, dass es zwei Mädchen sind. Von den drei übrig gebliebenen Möglichkeiten, gibt es in 2 Fällen ein Mädchen und im anderen einen Jungen.
Also ist die Chance, dass es sich beim zweiten Kind um ein Mädchen handelt, bei 2/3! Da kann man noch lange Argumentieren, dass es beim Zufall keine Rolle spielt, was zuvor war. Mit der Beobachtung des Jungen entfällt nun mal eine Teilmenge der ursprünglichen Möglichkeiten (die zwar auch für jeden Fall zufällig sind, aber über kurz oder lang eine gleichmässige Verteilung bringen), weswegen es zu einer grösseren Wahrscheinlichkeit kommt, dass es beim anderen Kind eben um ein Mädchen handelt.

Dein Wort in Gottes Gehörgang. Ich weiss echt nicht, wie ich es noch besser erklären soll und hab schon wunde Finger.

dooya

scrub schrieb:

dooya schrieb:

Meines Wissens kannst du weder in der Mengenlehre, noch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung die Menge bzw. das Ereignis {M, J} in $\frac{1}{6}$ "J" und $\frac{1}{6}$ "M" zerlegen. Ich kann mir vorstellen, dass du das gerne möchtest, aber m.W. darfst du es nicht. Sollte ich hier falsch liegen, würde ich mich über einen entsprechenden Hinweis nebst Quelle (!) freuen.

dooya schrieb:

Meines Wissens lassen sich laut der Mengenlehre die Elemente {M, M}´und {M, M} nicht unterscheiden und werden als ein einziges Element behandelt (gleiches gilt für {J, J} und {J, J}). Ich kann mir auch hier vorstellen, dass du gerne so rechnen möchtest, wie du es demonstriert hast, aber dies ist m.W. nicht erlaubt. Und auch hier würde ich mich über einen Hinweis nebst Quelle freuen, wenn ich mich irren sollte.

wir zerlegen es ja auch nicht wirklich in JJ und JJ, sondern in jJ und Jj. der eine junge j und der andere junge J. völlig egal, welcher zuerst geboren wurde.
und: keine quelle. welche denn? wikipedia? wie wir wissen, gibt es mehrere bücher mit widersprüchlichen aussagen, also können wir es uns mE sparen, quellen heranzuziehen. es sei denn, du hast nen guten draht "nach oben".

Wenn du JJ in j und J zerlegst, musst du das für alle Ms auch machen. Was dabei rauskommt habe ich hier (http://www.c-plusplus.net/forum/viewtopic-var-p-is-842347.html#842347 ) versucht zu demonstrieren. Dein J entspricht {J, F} und dein j enspricht {J, $\neg$ F}. Die Ergebnissmenge erweitert sich so auf 16 4-Tupel. Wie auch schon im verlinkten Beitrag aufgeführt, ist diese Menge nur unter sehr speziellen Bedingungen ein Laplace Raum.

scrub schrieb:

dooya schrieb:

scrub schrieb:

an dieser stelle will ich noch mal klarstellen, wo meiner meinung nach dein fehler liegt: du schmeißt einen teil der information einfach weg. die aussagen sind eben nicht äquivalent, also auch nicht austauschbar, und du tauschst sei einfach aus.

Ich vernachlässige lediglich die Information, dass es ein Fenster gibt, da sie in meinen Augen nicht relevant für die Lösung ist. Es steht dir natürlich frei, diese Einschätzung nicht zu teilen.

nein, du unterschlägst, daß das eine kind am fenster steht und das andere nicht. es steht am fenster, weil es irgendwie dahingekommen ist.
jetzt scheiden sich unsere geister: du sagst "egal, wie es dahingekommen ist, es ist einfach da!", ich spiele aber in gedanken alle fälle durch. dann erst betrachte ich diejenigen, in denen der junge am fenster steht, und dann komme ich erst zu meinem ergebnis.

In der Aufgabe steht, dass der Junge da steht. Dies ist gleichbedeutend mit der Anweisung die Aufgabe zu lösen unter der Voraussetzung dass der Junge da steht, das Ereignis also bereits eingetreten ist.

scrub schrieb:

ich sage es gerne nochmal: das ist die perfekte gelegenheit für einen feldversuch. wir schicken einfach ein paar leute durch deutschland, lassen sie sämtliche fenster filmen und nachher ermitteln, welche von diesen zu häusern mit familien von zwei kindern gehören (oder umgekehrt). dann zählt man aus.

Auch mit dieser Methode wirst du auf die gleichen Interpretationschwierigkeiten treffen, denn ich wäre der Meinung, dass du laut der Aufgabenstellung nur die Fenster in denen ein Junge stand berücksichtigen sollte, während TGGC das vermutlich nicht so sieht.

Diese ganze Diskussion beruht allein auf einem Unterschied in der Interpretion der Aufgabe.

scrub schrieb:

dooya schrieb:

Da das Kind noch nicht geboren ist, ist die Wahrscheinlichkeit natürlich 0.5. In der Aufgabe wird im Unterschied zu deinem Beispiel davon ausgegangen, dass die beiden Kinder bereits geboren sind, die Konstellation der Kinder also dem Laplace-Raum {{J, J}, {M, J}, {J, M}, {M, M}} enstammt.

ernstgemeinte frage: warum unterscheidest du zwischen JM und MJ?

Ergibt sich aus der Definition des kartesischen Produktes (Kreuzprodukt). Hier versinnbildlicht es die Geburtsreihenfolge.

scrub

dooya schrieb:

Wenn du JJ in j und J zerlegst, musst du das für alle Ms auch machen. Was dabei rauskommt habe ich hier (http://www.c-plusplus.net/forum/viewtopic-var-p-is-842347.html#842347 ) versucht zu demonstrieren. Dein J entspricht {J, F} und dein j enspricht {J, $\neg$ F}. Die Ergebnissmenge erweitert sich so auf 16 4-Tupel. Wie auch schon im verlinkten Beitrag aufgeführt, ist diese Menge nur unter sehr speziellen Bedingungen ein Laplace Raum.

dein alter beitrag endet mit einer behauptung, die man beliebig benutzen kann, die aufgabenstellung von vornherein zu sabotieren ("wie oft am tag steht man wohl am fenster" usw.).
wenn ich JJ in j und J zerlege, muß ich auch die Ms zerlegen? kein problem...

mögliche konstellationen: Mm, mM, MJ, JM, Jj, jJ. bei den gemischten paaren unterscheide ich nicht, weils von jedem ja nur eins gibt.
hinter dem unterscheiden verbirgt sich idee, aus der aufgabenstellung herzuleiten, daß zwischen "steht am fenster" und "steht nicht am fenster" unterschieden wird.

scrub schrieb:

In der Aufgabe steht, dass der Junge da steht. Dies ist gleichbedeutend mit der Anweisung die Aufgabe zu lösen unter der Voraussetzung dass der Junge da steht, das Ereignis also bereits eingetreten ist.

ja, das bedeutet, man sieht sich alle fälle an, die unter der bedingung eintreten können, und benutzt dann zum lösen diejenigen, bei denen das zweite ereignis eingtetreten ist.
hierzu unterscheiden wir jetzt nicht zwischen J und j. (das war im übrigen auch mein vorgehen beim allerersten lösungsversuch).
es führt zum folgenden baum...

MM            JJ             MJ                   JM
        |             |             /\                   /\
        |             |            /  \                 /  \
       M|            J|          M/    \J             M/    \J  steht am femster                              
        |             |          /      \             /      \
        |             |         /        \           /        \
        1             1        0.5      0.5         0.5      0.5

dooya schrieb:

scrub schrieb:

wir schicken einfach ein paar leute durch deutschland, lassen sie sämtliche fenster filmen und nachher ermitteln, welche von diesen zu häusern mit familien von zwei kindern gehören (oder umgekehrt). dann zählt man aus.

Auch mit dieser Methode wirst du auf die gleichen Interpretationschwierigkeiten treffen, denn ich wäre der Meinung, dass du laut der Aufgabenstellung nur die Fenster in denen ein Junge stand berücksichtigen sollte, während TGGC das vermutlich nicht so sieht.

ich sehe das jedenfalls so wie du, und TGGC wahrscheinlich auch. schließlich entsprechen diejenigen fenster, an denen ein mädchen steht, nicht der aufgabenstellung.
wir können natürlich völlig berechtigt die aufgabe folgendermaßen umformulieren (weil es kein drittes geschlecht gibt): "man sieht am fenster ein kind. mit welcher wahrscheinlichkeit hat das andere kind das andere geschlecht als das, was man am fenster sieht"

Diese ganze Diskussion beruht allein auf einem Unterschied in der Interpretion der Aufgabe.

dooya schrieb:

scrub schrieb:

ernstgemeinte frage: warum unterscheidest du zwischen JM und MJ?

Ergibt sich aus der Definition des kartesischen Produktes (Kreuzprodukt). Hier versinnbildlicht es die Geburtsreihenfolge.

dann würde ich dich doch darum bitten, auch bei zwei jungen die reihenfolge einzuführen. und so unterscheidest du doch schon zwischen 1. kind und 2. kind. das würde für meine interpretation sprechen, die ich zu anfang dieses beitrags mache.

Plotter

Ihr solltet etwas weniger mit mathematischen Formeln um euch werfen, sondern das mal einfach komplett durchdenken. Vielleicht sollten wir nochmals ganz vorne Anfagen.
Sind wir uns einig, dass es bei zwei Kindern folgende 4 Möglichkeiten gibt, nämlich {MM, JM, MJ, JJ}, wovon jeder Zustand eine Wahrscheinlichkeit von 25% hat?

scrub

wenn wir uns darauf einigen- bitte. man kanns auch anders sehen, aber rechnen wir zunächst mal damit. (sollte man mit dem baum oben auch tun)

Plotter

Soll ich das als ein "Ja" verstehen? Anscheinend kannst du auch bei dieser Ausgangsstellung noch etwas hineininterpretieren.

scrub

ich sage nur (mit hinweis auf meinen versuch, zwischen Jj und jJ zu unterscheiden): es gibt auch noch andere möglichkeiten. lese ich dein JJ als "es gibt zwie jungen", dann ist alles perfekt. ja, dann kann ich da mitmachen.

Plotter

Das mit jJ und Jj ist meiner Meinung nach Unsinn, da es absolut irrelevant ist.

Also zweites müssen wir uns darauf einigen, dass wir am Fenster, genau wie in der Aufgabe geschildert, einen Jungen sehen. Eine unumstössliche Tatsache. Richtig?

scrub

richtig. unbestritten.

dooya schrieb:

Warum wirst du unsachlich? Wenn du eines deiner Argument nicht vernünftig erklären möchtest, dann wirf es doch gar nicht erst ein.

Das folgt wie gesagt aus deinem eigenen Mist, daher kann ich es nicht erklären.

dooya schrieb:

Es ist nicht meine Notation, sondern m.W. die allgemein übliche. Es ist nicht mein Problem, wenn du damit nichts anfangen kannst.

Dass in der Aufgabe etwas anderes beschrieben ist, ist nur deine persönliche Interpretation, so wie von mir dargestellte Lösung auf meiner persönlichen Interpretation beruht.

Scheissegal wie verbreitet die Notation ist. Das ändert nichts daran. Ein Junge steht am Fenster ist nicht äquivalent zu "Es gibt einen Jungen" und "Es gibt ein Fenster". Dazu brauch man nicht interpretieren.

dooya schrieb:

TGGC|_work schrieb:

(1) Mädchen-Jungen Verteilung = 50%. Wenn am Fenster ein Kind steht, gibt es die Möglichkeiten Mädchen oder Jungen Da es keinen Grund gibt was anderes anzunehmen 50% für beides => unabhängig weil P(A)=P(A|B)
[...]

Du benutzt das Ergebnis deiner Lösung als Begründung für deren Herleitung. Zirkelschluss.

LOL. Nur weil die Zahl zufällig auch 0.5 ist, muss das noch lange kein Zirkelschluss sein. Weil ich 0.5 ausrechne kann die Chance für Geschlecht des Kindes am Fenster nicht 1:1 sein? Was soll der Humbug?

dooya schrieb:

TGGC|_work schrieb:

[...](2)wahr und falsch (entweder man steht am Fenster oder nicht)
[...]

Sehe ich genauso. Du hast allerdings geschrieben:

{M,M, Kind 1 am Fenster }
{M,M, Kind 2 am Fenster }
{J,M, Kind 1 am Fenster }
{J,M, Kind 2 am Fenster }
{M,J, Kind 1 am Fenster }
{M,J, Kind 2 am Fenster }
{J,J, Kind 1 am Fenster }
{J,J, Kind 2 am Fenster }

Dort steht "Kind 1 am Fenster" und "Kind 2 am Fenster" obwohl es laut deiner Antwort hier heissen müsste: "Kind 1 am Fenster" und "Kind 1 nicht am Fenster" und auch "Kind 2 am Fenster" und "Kind 2 nicht am Fenster". Es fehlen also einige Ereignisse in deiner Mengendarstellung.

Dann ergänze halt die Ereignisse und rechne dann unter der Bedingung, das eins der 8 Ereignisse oben eingetreten ist. Ergebnis ist gleich. (Wieder wegen der Unabhängigkeit, Familien mit Kindern am Fenster sind genauso aufgebaut wie alle anderen)

dooya schrieb:

TGGC|_work schrieb:

[...](3)egal, Ergebnis immer gleich
[...]

Das ist falsch. Sobald diese Wahrscheinlichkeiten nicht mehr gleich sind, handelt es sich nicht mehr um einen Laplace-Raum und damit ist weder das Ergebnis deiner Textversion das gleiche, noch deine Mengendarstellung nicht mehr durch auszählen bestimmbar.

Was? Nur weil ich nicht abzählen kann _muss_ das Ergebnis anders sein? Was ist das für eine Logik? Du erzählst Schwachsinn.

dooya schrieb:

TGGC|_work schrieb:

[...](4)Weil deine Implikation falsch ist. Du sagt ( A => B ) => P(A)=P(B). Ist falsch, durch Gegenbeispiele gezeigt
[...]

Ich habe nicht gefragt, was deiner Meinung nach an meiner Lösung nicht stimmt, denn das wiederholst du ja regelmäßig, sondern warum es bei dir erlaubt ist.

Weil meine Schlüsse korrekt sind. Wenn nicht, zeige welcher es nicht sein soll.

dooya schrieb:

TGGC|_work schrieb:

[...](5)Welche Mengendarstellung genau?
Bye, TGGC

Diese:

Man kann weder A noch B aus dieser "Grundgesamtheit spezifizieren". Denn A und B werden durch "(nicht) am Fenster stehen" definiert, was in deiner "Grundgesamtheit" nicht vorkommt. Diese beachtet ja nicht, wer am Fenster steht, z.b. {M,J} kann man dies nicht eindeutig A zuordnen. Es geht aber so:

{M,M, Kind 1 am Fenster }
{M,M, Kind 2 am Fenster }
{J,M, Kind 1 am Fenster }
{J,M, Kind 2 am Fenster }
{M,J, Kind 1 am Fenster }
{M,J, Kind 2 am Fenster }
{J,J, Kind 1 am Fenster }
{J,J, Kind 2 am Fenster }

P(A)= P( {J,M, Kind 2 am Fenster }, {M,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 2 am Fenster } ) = 0.5

P(B)= P( {J,M, Kind 1 am Fenster }, {M,J, Kind 2 am Fenster }, {J,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 2 am Fenster } ) = 0.5

zur Vollständigkeit
P(A geschnitten = P( {J,J, Kind 1 am Fenster }, {J,J, Kind 2 am Fenster } ) = 0.25

Bye, TGGC

Quelle: http://www.c-plusplus.net/forum/viewtopic-var-p-is-839929.html#839929

Da hast du sie.

Bye, TGGC

Plotter

Sehr gut, wir nähern uns an

Wenn wir nun den Jungen sehen, dann können wir davon ausgehen, dass die Familie, wenn sie wie beschrieben zwei Kinder hat, sicher nicht zwei Mädchen hat.

Es bleiben also noch die Möglichkeiten {JM, MJ, JJ}, wovon ursprüngliche jede zu 25% wahr sein konnte. Da eine unumstössliche Möglichkeit nun ausgefallen ist (schliesslich müssen wir auf 100% kommen), ist nun jede der Möglichkeiten bei 1/3. Ich gehe mal davon aus, dass nun hier ein Einspruch von dir kommt. Wenn nicht, auch gut, dann stimmst du mir zu.

dooya schrieb:

scrub schrieb:

ich sage es gerne nochmal: das ist die perfekte gelegenheit für einen feldversuch. wir schicken einfach ein paar leute durch deutschland, lassen sie sämtliche fenster filmen und nachher ermitteln, welche von diesen zu häusern mit familien von zwei kindern gehören (oder umgekehrt). dann zählt man aus.

Auch mit dieser Methode wirst du auf die gleichen Interpretationschwierigkeiten treffen, denn ich wäre der Meinung, dass du laut der Aufgabenstellung nur die Fenster in denen ein Junge stand berücksichtigen sollte, während TGGC das vermutlich nicht so sieht.

Falsch. Wenn du nur die Familien mit Jungen am Fenster siehst, wirst du 50% Schwester und 50% Brüder treffen. So ist es.

Denk einfach drüber nach. Stell dir vor du hast 1000 Nachbarn, bei denen du beobachten kannst. Bei 100 steht nun grad ein Kind am Fenster. Wegen perfekter Verteilung 25 JJ; 25 MM und 50 JM/MJ. Bei den 25 J steht ein Junge am Fenster. Bei den 25 M ein Mädchen. Bei den 50 JM/MJ stehen 25 Jungen und 25 Mädchen. d.h. 50 Nachbarn mit Jungen am Fenster, davon 25 mit JJ. So ist es.

Bye, TGGC

scrub

Plotter schrieb:

Sehr gut, wir nähern uns an

Wenn wir nun den Jungen sehen, dann können wir davon ausgehen, dass die Familie, wenn sie wie beschrieben zwei Kinder hat, sicher nicht zwei Mädchen hat.

Es bleiben also noch die Möglichkeiten {JM, MJ, JJ}, wovon ursprüngliche jede zu 25% wahr sein konnte. Da eine unumstössliche Möglichkeit nun ausgefallen ist (schliesslich müssen wir auf 100% kommen), ist nun jede der Möglichkeiten bei 1/3. Ich gehe mal davon aus, dass nun hier ein Einspruch von dir kommt. Wenn nicht, auch gut, dann stimmst du mir zu.

wenn du der meinung bist, hier widerspräche ich, hast du nicht verstanden, was ich sagen wollte.
da wir ja den ganzen alten krempel hinter uns lassen wollen: ja, ich stimme dir zu.

Plotter

Kannst du denn meiner bisherigen Erklärung nicht folgen? Tatsache ist die statistische Verteilung bei zwei Kindern. Und dass ein Junge beobachtet wurde. Ein Junge!!! Das ist gegeben. Oder hast du in der Schule mit dem Lehrer auch darüber diskutiert, ob nicht noch etwas zusätzliches eingetroffen sein könnte? Vielleicht, aber dann hat dein Lehrer dir hoffentlich nochmals deutlich die Aufgabe gezeigt.

Plotter schrieb:

Wenn wir nun den Jungen sehen, dann können wir davon ausgehen, dass die Familie, wenn sie wie beschrieben zwei Kinder hat, sicher nicht zwei Mädchen hat.

Es bleiben also noch die Möglichkeiten {JM, MJ, JJ}, wovon ursprüngliche jede zu 25% wahr sein konnte. Da eine unumstössliche Möglichkeit nun ausgefallen ist (schliesslich müssen wir auf 100% kommen), ist nun jede der Möglichkeiten bei 1/3. Ich gehe mal davon aus, dass nun hier ein Einspruch von dir kommt. Wenn nicht, auch gut, dann stimmst du mir zu.

Unsinn! Wenn du den Jungen am Fenster siehst, dann wird auch MJ und JM unwahrscheinlicher. Und wie sagt dooya dann immer so schön: Dannn geht es nicht durch abzählen. Eure primitive Denkweise ist einfach falsch, denn bei MJ und JM steht nicht _immer_ der Junge am Fenster, daher nur halb so wahrscheinlich wie JJ, wenn ich den Jungen am Fenster sehe. Ergo du falsch.

Bye, TGGC

Plotter

Nein, denn nur weil du den Jungen siehst, sind die Familien statistisch gesehen noch immer genau gleich aufgebaut. Jede Kombination bleibt genau die gleiche, auch wenn am Fenster ein Junge gesehen wurde!!!

scrub

du kannst aber einen beliebigen J der beiden JJ sehen.

das geht außerdem auch aus meinem baum hervor...

MM            JJ             MJ                   JM
        |             |             /\                   /\
        |             |            /  \                 /  \
       M|            J|          M/    \J             M/    \J  steht am femster                              
        |             |          /      \             /      \
        |             |         /        \           /        \
        1             1        0.5      0.5         0.5      0.5

Plotter

Mir ist doch egal, welchen Jungen ich da sehe. Dort am Fenster steht ein Junge. Mehr wissen wir nicht und brauchen auch nicht zu wissen.

scrub

zähl doch oben einfach alle jungen, die am fenster stehen. dann guck, wie viele darauf auf JJ entfallen und wie viele nicht.

Plotter schrieb:

Nein, denn nur weil du den Jungen siehst, sind die Familien statistisch gesehen noch immer genau gleich aufgebaut. Jede Kombination bleibt genau die gleiche, auch wenn am Fenster ein Junge gesehen wurde!!!

Falsch. Dann würde ja auch MM gleich bleiben müssen. Weil Junge steht am Fenster abhängig von Anzahl Junge in der Familie ist, bleiben die Wahrscheinlichkeiten eben nihct gleich. Wenn A="Junge steht am Fenster", dann P("MM"|B)= 0 (wie korrekt erkannt) P("JM"|B)= 0.25; P("MJ"|B)= 0.25 und P("JJ"|B)= 0.5.

Analog dazu folgendes. Angenommen dir wird erzählt der neue Nachbar hätte gleich 10(!) Kinder. Alle haben das gleiche Geschlecht, bis auf eines. Nun siehst du zufällig einen Jungen. Würdest du eher darauf wetten, das du einen der 9 Jungen oder gerade den einzigen Jungen gesehen hast? (Nach deiner Argumentation ist ja JMMMMMMMMM und JJJJJJJJJM gleich wahrscheinlich.)

Bye, TGGC