charakteristisches Polynom der Rekursion
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Hallo,
ich habe eine Rekursionsgleichung gegeben:
f(n) = f(n-1) + f(n-2) - f(n-3)
Startwerte: f(0)=0; f(1)=0; f(2)=1
Jetzt soll ich charakteristisches Polynom der Rekursion bestimmen, welches die Form X(t) := t^r − c1 t^(r−1) − . . . − cr
Ich verstehe aber diese Formel leider nicht!
Wie muss ich an die Aufgabe rangehen?
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Andreas XXL schrieb:
Hallo,
ich habe eine Rekursionsgleichung gegeben:
f(n) = f(n-1) + f(n-2) - f(n-3)
Startwerte: f(0)=0; f(1)=0; f(2)=1
Jetzt soll ich charakteristisches Polynom der Rekursion bestimmen, welches die Form X(t) := t^r − c1 t^(r−1) − . . . − cr
Ich verstehe aber diese Formel leider nicht!
Wie muss ich an die Aufgabe rangehen?keine ahnung, wie man da rangehen sollte. geht bestimmt eleganter, als wie ich das mache. aber wie ich das mache, geht's zur not auch.
mach zuerst eine wertetabelle, sagen wie mal von f(0) bis f(10).
dann ist normalerweise der erste weg die differenzenrechnung, aber diese kust ist nicht mehr modern (ka, warum).naja, stellen wir einfach mal 5 gleichungen mit 5 unbekannten auf.
f(x) = a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + d*x + e
f(0)=0
f(1)=0
usw, noch drei weitere wie wertetabelle.damit haste ein lineares gleichungssystem aus 5 gleichungen mit 5 unbekannten und kriegst was raus. schau ob das ergebnis auch zu weiteren punkten der werteabelle passt. wenn nicht, ist wohl ein noch größeres polynom gesucht.
dann zeig mit vollständiger induktion, daß dein polynom für alle n paßt.
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Ansatz: f(n) = t^n
t^n = t^(n-1) + t^(n-2) - t^(n-3)
t^3 = t^2 + t - 1
Lösen und eine Linearkombination so finden, dass die Anfangsbedingungen erfüllt sind.