4. Verknüpfung; Eigenschaften überprüfen

Verknüpfung; Eigenschaften überprüfen

  • N

    Ich hab irgendiwe Probleme bei folgender Aufgabe:

    Auf R sei folgende Verknüpfung definiert:
a ° b = a+b - a*b

Überprüfe die Verknüpfung auf Kommutativität, Assoziativität, und Neutralem Element

    Also irgendwie ist mein Problemn dass ich nicht weiß wie ich das handhaben soll, weil da so viele Operatoren vorkommen... bei "einfachen" Verknüpfungen weiß ich wie das geht.

    Ich hab mir zur Kommutativität folgendes überlegt:
    a ° b = a+b - ab
    b ° a = a    b - (a+b)

    und das ist ungleich, also ist die Verknüpfung nicht kommutativ.
    Aber ob das stimmt, bin ich mir nicht sicher......

    Und bei der Assoziativität hörts dann schon ganz auf... da hab ich mir noch folgendes überlegt:
    a ° (b ° c) = a+b - (b ° c) ...keine ahnung wie ich das b°c auflösen soll.
    Analog bei (a ° b) ° c

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  • S

    nep schrieb:

    Ich hab mir zur Kommutativität folgendes überlegt:
    a ° b = a+b - ab
    b ° a = a    b - (a+b)

    Setz doch einfach formal a für b und b für a ein, dann kommst Du auf
    b ° a = b+a - b*a

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  • ?

    nep schrieb:

    Ich hab mir zur Kommutativität folgendes überlegt:
    a ° b = a+b - ab
    b ° a = a    b - (a+b)

    Ich würde eher sagen:

    b ° a  =  b+a - b*a

    und das scheint mir gleichwertig mit a+b - a*b zu sein.

    Und bei der Assoziativität hörts dann schon ganz auf... da hab ich mir noch folgendes überlegt:
    a ° (b ° c) = a+b - (b ° c) ...keine ahnung wie ich das b°c auflösen soll.
    Analog bei (a ° b) ° c

    Naja, du musst prüfen, ob

    a ° (b ° c) = (a ° b) ° c
<=> a ° (b+c - b*c) = (a+b - a*b) ° c
<=> a + (b+c - bc)  -  a * (b+c - bc) = (a+b - ab) + c  -  (a+b - ab) * c

    gilt. 🙂 Es ist nur stures einsetzen. Du musst halt genügend Abstraktion aufbringen, für a beispielsweise (a+b - a*b) in die Formel einzusetzen.

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  • X

    Also ich wuerd das so machen:

    Kommutativ: a ° b = a+b - a*b
    b ° a = b+a - b*a = a+b - a*b
    Also kommutativ.

    Neutrales Elemtent: a ° e = a
    a+e - ae = a | -a
    e - a    e = 0
    e * (1 - a) = 0 | /(1-a)
    e = 0
    Probe:
    a ° 0 = a+0 - a*0 = a - 0 = a

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  • T

    Kleine Haarspalterei nebenbei: Normalerweise wird für das neutrale Element gefordert: a ° e = a = e ° a
    Das ist hier aber nicht so wichtig, weil ihr schon die Kommutativität gezeigt habt.

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  • N

    Hey, danke für die schnellen Antworten. Jetzt verstehe ich wie das geht, wenn da mehrere Operatoren drinnen sind. Danke schön 🙂

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  • N

    Ahja sry dass ich nochmal jetzt komm, aber mir ist auch noch grad was wegeb dem neutralen Element eingefallen. Also das mit der Kommutativität da ist mir klar.
    Aber wenn man das ausrechnet, dann muss man ja einmal druch (1 - a) teilen. Und das darf man ja nur für a != 1. Muss ich dann auch noch bei der Angabe des neutralen Elements sowas schreiben wie: e = 0 neutrales Element für a ε R \ {1} , oder ist das auch okay wenn ich einfach schreibe: neutrales Element e = 0

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